علم الحساب تعريف

تقتصر عصور ما قبل التاريخ في الحساب على عدد صغير من القطع الأثرية التي قد تشير إلى مفهوم الجمع والطرح ، وأشهرها هو عظام Ishango من وسط إفريقيا ، والتي يرجع تاريخها إلى ما بين 20000 و 18000 قبل الميلاد ، على الرغم من أن تفسيرها محل خلاف. تشير أقدم السجلات المكتوبة إلى أن المصريين والبابليين استخدموا جميع العمليات الحسابية الأولية منذ عام 2000 قبل الميلاد. لا تكشف هذه المصنوعات اليدوية دائمًا عن العملية المحددة المستخدمة لحل المشكلات ، ولكن خصائص نظام الأرقام المعين تؤثر بشدة على تعقيد الطرق. ينحدر النظام الهيروغليفي للأرقام المصرية ، مثل الأرقام الرومانية المتأخرة ، من علامات الإحصاء المستخدمة في العد. في كلتا الحالتين ، نتج عن هذا الأصل قيم استخدمت أساس عشرية ولكنها لم تتضمن تدوينًا موضعيًا. تطلبت العمليات الحسابية المعقدة ذات الأرقام الرومانية مساعدة لوحة العد أو العداد الروماني للحصول على النتائج. لم تكن أنظمة الأرقام المبكرة التي تضمنت تدوينًا موضعيًا عشريًا ، بما في ذلك النظام الستيني (الأساس 60) للأرقام البابلية والنظام vigesimal (الأساس 20) الذي حدد أرقام المايا. بسبب مفهوم القيمة المكانية هذا ، ساهمت القدرة على إعادة استخدام نفس الأرقام لقيم مختلفة في طرق حساب أبسط وأكثر كفاءة.

The continuous historical development of modern arithmetic starts with the Hellenistic civilization of ancient Greece, although it originated much later than the Babylonian and Egyptian examples. Prior to the works of Euclid around 300 BC, Greek studies in mathematics overlapped with philosophical and mystical beliefs. For example, Nicomachus summarized the viewpoint of the earlier Pythagorean approach to numbers, and their relationships to each other, in his Introduction to Arithmetic. Greek numerals were used by Archimedes, Diophantus and others in a positional notation not very different from ours. The ancient Greeks lacked a symbol for zero until the Hellenistic period, and they used three separate sets of symbols as digits: one set for the units place, one for the tens place, and one for the hundreds. For the thousands place they would reuse the symbols for the units place, and so on. Their addition algorithm was identical to ours, and their multiplication algorithm was only very slightly different. Their long division algorithm was the same, and the digit-by-digit square root algorithm, popularly used as recently as the 20th century, was known to Archimedes, who may have invented it. He preferred it to Hero's method of successive approximation because, once computed, a digit doesn't change, and the square roots of perfect squares, such as 7485696, terminate immediately as 2736. For numbers with a fractional part, such as 546.934, they used negative powers of 60 instead of negative powers of 10 for the fractional part 0.934.

كان لدى الصينيين القدماء دراسات حسابية متقدمة تعود إلى عهد أسرة شانغ وتستمر حتى عهد أسرة تانغ ، من الأعداد الأساسية إلى الجبر المتقدم. استخدم الصينيون القدماء تدوينًا موضعيًا مشابهًا لذلك الذي استخدمه الإغريق. نظرًا لأنهم يفتقرون أيضًا إلى رمز الصفر ، فقد كان لديهم مجموعة واحدة من الرموز لمكان الوحدات ومجموعة ثانية لخانة العشرات. بالنسبة لمكان المئات ، قاموا بإعادة استخدام الرموز الخاصة بمكان الوحدات ، وما إلى ذلك. استندت رموزهم على قضبان العد القديمة. إنه سؤال معقد أن نحدد بالضبط متى بدأ الصينيون في الحساب بالتمثيل الموضعي ، لكنه كان بالتأكيد قبل 400 قبل الميلاد. كان الصينيون القدماء هم أول من اكتشف وفهم وتطبيق الأعداد السالبة بشكل هادف كما هو موضح في تسعة فصول عن الفن الرياضي (Jiuzhang Suanshu) ، والتي كتبها ليو هوي.

ابتكر التطور التدريجي لنظام الأرقام الهندوسية العربية بشكل مستقل مفهوم القيمة المكانية والتدوين الموضعي ، والذي يجمع بين الطرق الأبسط للحسابات مع قاعدة عشرية واستخدام رقم يمثل 0. وهذا سمح للنظام بتمثيل كلٍّ من الحجم الكبير باستمرار. وأعداد صحيحة صغيرة. استبدل هذا النهج في النهاية جميع الأنظمة الأخرى. في أوائل القرن السادس الميلادي ، أدرج عالم الرياضيات الهندي أريابهاتا نسخة موجودة من هذا النظام في عمله ، وجرب رموزًا مختلفة. في القرن السابع ، أسس Brahmagupta استخدام 0 كرقم منفصل وحدد نتائج الضرب والقسمة والجمع والطرح للصفر وجميع الأرقام الأخرى ، باستثناء نتيجة القسمة على صفر . قال معاصره الأسقف السرياني سيفيروس سيبوخت (650 م): يمتلك الهنود طريقة حساب لا يمكن لأي كلمة أن تمدحها بما فيه الكفاية. نظامهم المنطقي في الرياضيات ، أو أسلوبهم في الحساب. أعني النظام الذي يستخدم تسعة رموز. [5] تعلم العرب أيضًا هذه الطريقة الجديدة وأطلقوا عليها اسم حساب.

على الرغم من أن Codex Vigilanus وصف شكلًا مبكرًا من الأرقام العربية (حذف 0) بحلول عام 976 بعد الميلاد ، كان ليوناردو من بيزا (فيبوناتشي) مسؤولاً بشكل أساسي عن نشر استخدامها في جميع أنحاء أوروبا بعد نشر كتابه Liber Abaci في عام 1202 م. طريقة الهنود (طريقة لاتينية إندورام) تفوق أي طريقة معروفة للحساب. إنها طريقة رائعة. يقومون بحساباتهم باستخدام تسعة أرقام والرمز صفر . في العصور الوسطى ، كان الحساب أحد الفنون الليبرالية السبعة التي يتم تدريسها في الجامعات. كان ازدهار علم الجبر في العالم الإسلامي في العصور الوسطى وفي عصر النهضة في أوروبا ثمرة للتبسيط الهائل لـ الحساب من خلال التدوين العشري. تم اختراع أنواع مختلفة من الأدوات واستخدامها على نطاق واسع للمساعدة في العمليات الحسابية الرقمية. قبل عصر النهضة ، كانت أنواعًا مختلفة من المعدادات. وتشمل الأمثلة الحديثة قواعد الشرائح ، والرسوم البيانية والآلات الحاسبة الميكانيكية ، مثل حاسبة باسكال. في الوقت الحالي ، فقد حلت محلها الآلات الحاسبة الإلكترونية وأجهزة الكمبيوتر.

كان حساب Leibniz's Stepped Reckoner الموضح أعلاه هو الآلة الحاسبة الأولى التي يمكنها إجراء جميع العمليات الحسابية الأربع.

The basic arithmetic operations are addition, subtraction, multiplication and division, although this subject also includes more advanced operations, such as manipulations of percentages, square roots, exponentiation, logarithmic functions, and even trigonometric functions, in the same vein as logarithms (prosthaphaeresis). Arithmetic expressions must be evaluated according to the intended sequence of operations. There are several methods to specify this, either most common, together with infix notation explicitly using parentheses, and relying on precedence rules, or using a prefix or postfix notation, which uniquely fix the order of execution by themselves. Any set of objects upon which all four arithmetic operations (except division by zero) can be performed, and where these four operations obey the usual laws (including distributivity), is called a field.

إضافة (+)

الجمع هو أبسط عملية حسابية. في شكلها البسيط ، تجمع الجمع بين رقمين ، الإضافات أو المصطلحات ، في رقم واحد ، مجموع الأرقام (مثل 2 + 2 = 4 أو 3 + 5 = 8). يمكن اعتبار إضافة عدد محدود من الأرقام بمثابة إضافة بسيطة متكررة. يُعرف هذا الإجراء باسم التجميع ، وهو مصطلح يُستخدم أيضًا للإشارة إلى تعريف إضافة عدد لا نهائي من الأرقام في سلسلة لانهائية . الإضافة المتكررة للرقم 1 هي أبسط أشكال العد . عادة ما تسمى نتيجة إضافة 1 اللاحقة للرقم الأصلي.

تعتبر الإضافة استبدالية و ارتباطية ، لذلك لا يهم الترتيب الذي تتم به إضافة العديد من المصطلحات بشكل محدد. عنصر الهوية لـ عملية ثنائية هو الرقم الذي ، عند دمجه مع أي رقم ، ينتج عنه نفس الرقم الناتج. وفقًا لقواعد الجمع ، فإن إضافة 0 إلى أي رقم ينتج عنه نفس الرقم ، لذا فإن الرقم 0 هو الهوية المضافة . يمثل معكوس الرقم فيما يتعلق بالعملية الثنائية الرقم الذي ينتج عنه ، عند دمجه مع أي رقم ، الهوية فيما يتعلق بهذه العملية. لذا فإن معكوس الرقم فيما يتعلق بالجمع ( المعكوس الجمعي ، أو الرقم المقابل) هو الرقم الذي ينتج عنه الهوية المضافة ، 0 ، عند إضافته إلى الرقم الأصلي ؛ من الواضح على الفور أن هذا هو الرقم السلبي للرقم الأصلي. على سبيل المثال ، المعكوس الجمعي للعدد 7 هو −7 ، لأن 7 + (−7) = 0.

يمكن تفسير الإضافة هندسيًا كما في المثال التالي. إذا كان لدينا عودان بطول 3 و 6 ، إذا وضعنا العصا واحدة تلو الأخرى ، فسيكون طول العصا المكونة على هذا النحو 9 ، حيث أن 3 + 6 = 9.

الطرح (-)

الطرح هو العملية العكسية للجمع. يجد الطرح الفرق بين رقمين ، المطروح مطروحًا منه المطروح: D = M - S. بالرجوع إلى الإضافة المحددة مسبقًا ، وهذا يعني أن الاختلاف هو الرقم الذي ، عند إضافته إلى المطروح ، ينتج عنه الحد الأدنى: D + S = M. للحجج الإيجابية M و S.:

• إذا كان الحد الأدنى أكبر من المطروح ، يكون الفرق D موجبًا.

• إذا كان الحد الأدنى أصغر من المطروح ، يكون الفرق D سالبًا.

• في أي حال ، إذا كان الحد الأدنى والعرض الفرعي متساويين ، فإن الفرق D = 0.

Subtraction is neither commutative nor associative. For that reason, in modern algebra the construction of this inverse operation is often discarded in favor of introducing the concept of inverse elements, as noted under Addition, and to look at subtraction as adding the additive inverse of the subtrahend to the minuend, that is a − b = a + (−b). The immediate price of discarding the binary operation of subtraction is the introduction of the (trivial) unary operation, delivering the additive inverse for any given number, and losing the immediate access to the notion of difference, which is potentially misleading when negative arguments are involved.

بالنسبة لأي تمثيل للأرقام ، توجد طرق لحساب النتائج ، بعضها مفيد بشكل خاص في استغلال الإجراءات ، الموجودة في عملية واحدة ، عن طريق إجراء تعديلات صغيرة أيضًا في عمليات أخرى. على سبيل المثال ، يمكن لأجهزة الكمبيوتر الرقمية إعادة استخدام دوائر الإضافة الحالية وحفظ دوائر إضافية لتنفيذ عملية طرح من خلال استخدام طريقة مكمل اثنين لتمثيل الانعكاسات المضافة ، والتي يسهل تنفيذها في الأجهزة ( > النفي ). المفاضلة هي النصف من النطاق الرقمي لطول كلمة ثابت.

الطريقة الشائعة سابقًا لتحقيق مبلغ التغيير الصحيح ، مع معرفة المبالغ المستحقة والمحددة ، هي طريقة العد ، والتي لا تولد قيمة الفرق صراحة. لنفترض أن المبلغ P قد تم إعطاؤه لدفع المبلغ المطلوب Q ، مع P أكبر من Q. بدلاً من إجراء الطرح صراحةً P - Q = C وإحصاء هذا المبلغ C في التغيير ، يتم احتساب المال بدءًا من الخلف س ، والاستمرار في خطوات العملة ، حتى الوصول إلى P. على الرغم من أن المبلغ المحسوب يجب أن يساوي نتيجة الطرح P - Q ، إلا أن الطرح لم يتم فعلاً ولم يتم توفير قيمة P - Q بهذه الطريقة.

X هو Y ٪ من أي عدد؟

الضرب هو العملية الحسابية الأساسية الثانية. يجمع الضرب أيضًا رقمين في رقم واحد ، وهو المنتج. يسمى الرقمان الأصليان بالمضاعف والمضرب ، وكلاهما في الغالب يسمى ببساطة عوامل.

يمكن النظر إلى الضرب كعملية تحجيم. إذا تم تخيل الأرقام على أنها مستقيمة في خط ، فإن الضرب في رقم ، لنقل x ، أكبر من 1 هو نفس تمديد كل شيء بعيدًا عن 0 بشكل موحد ، بحيث يتم تمديد الرقم 1 نفسه إلى حيث كان x. وبالمثل ، فإن الضرب في رقم أقل من 1 يمكن تخيله على أنه ضغط باتجاه الصفر. (مرة أخرى ، بطريقة يذهب 1 إلى المضاعف).

هناك وجهة نظر أخرى حول مضاعفة الأعداد الصحيحة ، والتي يمكن توسيعها إلى الأسس المنطقية ، ولكن لا يمكن الوصول إليها بسهولة بالنسبة للأعداد الحقيقية ، وهي اعتبارها إضافة متكررة. إذن ، 3 × 4 تقابل إما إضافة 3 مرات في 4 ، أو 4 مرات في 3 ، مما يعطي نفس النتيجة. هناك آراء مختلفة حول فائدة هذه النماذج في تعليم الرياضيات.

الضرب هو تبادلي وترابطي ؛ علاوة على ذلك ، فهو توزيع على الجمع والطرح. الهوية المضاعفة هي 1 ، نظرًا لأن ضرب أي رقم في 1 ينتج عنه نفس الرقم. المقلوب المضاعف لأي رقم باستثناء 0 هو مقلوب لهذا الرقم ، لأن ضرب مقلوب أي رقم في الرقم نفسه ينتج عنه هوية المضاعفة 1. 0 هو الوحيد رقم بدون معكوس ضربي ، ونتيجة ضرب أي رقم و 0 هي مرة أخرى 0. يقول أحدهم أن 0 غير موجود في المجموعة المضاعفة للأرقام.

يتم كتابة حاصل ضرب a و b بالصيغة a × b أو a & # 8729 ؛ ب. عندما تكون a أو b تعبيرات غير مكتوبة بالأرقام ببساطة ، يتم كتابتها أيضًا عن طريق التجاور البسيط: ab. في لغات برمجة الكمبيوتر وحزم البرامج التي يمكن للمرء فيها فقط استخدام الأحرف الموجودة عادةً على لوحة المفاتيح ، غالبًا ما تتم كتابتها بعلامة النجمة: a * b.

تعد الخوارزميات التي تنفذ عملية الضرب لتمثيلات مختلفة للأرقام أكثر تكلفة وشاقة بكثير من الخوارزميات الخاصة بالإضافة. تلك التي يمكن الوصول إليها للحساب اليدوي تعتمد إما على تقسيم العوامل إلى قيم مكان واحد وتطبيق إضافة متكررة ، أو استخدام جداول أو قواعد الشريحة ، وبالتالي تعيين عملية الضرب إلى الإضافة والعودة . هذه الأساليب قديمة واستبدلت بالأجهزة المحمولة. تستخدم أجهزة الكمبيوتر خوارزميات متنوعة ومتطورة ومحسنة للغاية لتنفيذ عمليات الضرب والقسمة لمختلف تنسيقات الأرقام المدعومة في نظامها.

تقسيم (& # 247 ؛ أو /)

القسمة هي في الأساس العملية العكسية للضرب. القسمة تجد حاصل قسمة رقمين ، المقسوم على المقسوم عليه. أي أرباح مقسومة على صفر تكون غير محددة. بالنسبة للأرقام الموجبة المتميزة ، إذا كان المقسوم أكبر من المقسوم عليه ، يكون حاصل القسمة أكبر من 1 ، وإلا فهو أقل من 1 (تنطبق قاعدة مماثلة على الأرقام السالبة). دائمًا ما ينتج عن حاصل ضرب المقسوم عليه المقسوم.

القسمة ليست تبادلية ولا ترابطية. لذلك ، كما هو موضح في الطرح ، في الجبر الحديث يتم تجاهل بناء القسمة لصالح بناء العناصر العكسية فيما يتعلق بالضرب ، كما هو مقدم هناك. أي أن القسمة هي عملية ضرب مع المقسوم و المقلوب للمقسوم عليه كعوامل ، أي & # 247 ؛ ب = أ × 1 / ب.

ضمن الأعداد الطبيعية ، هناك أيضًا مفهوم مختلف ، ولكنه ذو صلة ، وهو القسمة الإقليدية ، مما يعطي نتيجتين لتقسيم N الطبيعي (البسط) على D الطبيعي (المقام) ، أولاً ، Q الطبيعي (حاصل القسمة ) والثاني ، R الطبيعي (الباقي) ، مثل N = D × Q + R و R

تنص النظرية الحسابية الأساسية على أن أي عدد صحيح أكبر من 1 له تحليل أولي فريد (تمثيل للرقم باعتباره حاصل ضرب العوامل الأولية) ، باستثناء ترتيب العوامل. على سبيل المثال ، يحتوي 252 على عامل أولي واحد فقط: 252 = 2 ² x 3 ² x 7 ¹ . قدمت عناصر إقليدس هذه النظرية لأول مرة ، وقدمت دليلًا جزئيًا (يُسمى إقليدس لمة ). تم إثبات النظرية الأساسية في الحساب لأول مرة بواسطة Carl Friedrich Gauss . النظرية الحسابية الأساسية هي أحد أسباب عدم اعتبار الرقم 1 عددًا أوليًا . تشمل الأسباب الأخرى منخل إراتوستينس ، وتعريف الرقم الأولي نفسه ( عدد طبيعي أكبر من 1 لا يمكن تكوينه بضرب عددين طبيعيين أصغر.).

يشير التمثيل العشري حصريًا ، في الاستخدام الشائع ، إلى نظام الأرقام المكتوب الذي يستخدم الأرقام العربية باعتباره أرقامًا من أجل الجذر 10 (عشري) التدوين الموضعي. ومع ذلك ، يمكن وصف أي نظام رقمي يعتمد على قوى 10 ، مثل الأرقام اليونانية أو السيريلية أو الرومانية أو الصينية ، من الناحية المفاهيمية ، على أنها تدوين عشري أو تمثيل عشري.

تم ابتكار الأساليب الحديثة لأربع عمليات أساسية (الجمع والطرح والضرب والقسمة) لأول مرة بواسطة Brahmagupta من الهند. كان هذا معروفًا خلال العصور الوسطى في أوروبا باسم Modus Indoram أو طريقة الهنود. يشير الترميز الموضعي (المعروف أيضًا باسم تدوين القيمة المكانية) إلى تمثيل أو ترميز الأرقام باستخدام نفس الرمز لـ أوامر الحجم المختلفة (خانة الآحاد ، وخانة العشرات ، ومئات الخانات) ، و a نقطة أساسية ، باستخدام تلك الرموز نفسها لتمثيل الكسور (خانة العُشر ، خانة المئات). على سبيل المثال ، تشير القيمة 507.36 إلى 5 مئات (10 ² ) ، بالإضافة إلى 0 عشرات (10 ¹ ) ، بالإضافة إلى 7 وحدات (10 ⁰ ) ، بالإضافة إلى 3 أعشار (10 ^-1 ) زائد 6 أجزاء (10 ^-2 ).

يعتبر مفهوم الصفر كرقم مشابه للأرقام الأساسية الأخرى أمرًا ضروريًا لهذا الترميز ، وكذلك مفهوم استخدام الصفر كعنصر نائب ، وكذلك تعريف الضرب والجمع مع 0. استخدام 0 كعنصر نائب و ، لذلك ، تم إثبات استخدام التدوين الموضعي لأول مرة في نص جاين من الهند بعنوان Lokavibhâga ، بتاريخ 458 م ، ولم يتم تقديم هذه المفاهيم ، التي تم نقلها عبر منحة العالم العربي ، إلا في أوائل القرن الثالث عشر إلى أوروبا عن طريق فيبوناتشي باستخدام نظام العد الهندوسي العربي.

يشتمل Algorism على جميع قواعد إجراء العمليات الحسابية باستخدام هذا النوع من الأرقام المكتوبة. على سبيل المثال ، ينتج عن الجمع مجموع رقمين تعسفيين. تُحسب النتيجة عن طريق الإضافة المتكررة للأرقام المفردة من كل رقم يشغل نفس الموضع ، بدءًا من اليمين إلى اليسار. يعرض جدول إضافة مكون من عشرة صفوف وعشرة أعمدة جميع القيم الممكنة لكل مجموع. إذا تجاوز مجموع فردي القيمة 9 ، يتم تمثيل النتيجة برقمين. الرقم الموجود في أقصى اليمين هو قيمة الموضع الحالي ، وتزيد نتيجة الإضافة اللاحقة للأرقام إلى اليسار بقيمة الرقم الثاني (أقصى اليسار) ، والذي يكون دائمًا واحدًا (إن لم يكن صفرًا). يُطلق على هذا التعديل حمل القيمة 1. تشبه عملية ضرب رقمين تعسفيين عملية الجمع. يسرد جدول الضرب المكون من عشرة صفوف وعشرة أعمدة نتائج كل زوج من الأرقام. إذا تجاوز منتج فردي من زوج من الأرقام 9 ، فإن تعديل الحمل يزيد من نتيجة أي مضاعفة لاحقة من الأرقام إلى اليسار بقيمة تساوي الرقم الثاني (أقصى اليسار) ، وهو أي قيمة من 1 إلى 8 (9 ×) 9 = 81). خطوات إضافية تحدد النتيجة النهائية. توجد تقنيات مماثلة للطرح والقسمة أيضًا.

يعتمد إنشاء عملية الضرب الصحيحة على العلاقة بين قيم الأرقام المتجاورة. تعتمد قيمة أي رقم فردي على موضعه. أيضًا ، يمثل كل موضع على اليسار قيمة أكبر بعشر مرات من الموضع على اليمين. بعبارات رياضية ، يزيد الأس لـ الجذر (الأساس) لـ 10 بمقدار 1 (إلى اليسار) أو ينقص بمقدار 1 (إلى اليمين). لذلك ، يتم ضرب قيمة أي رقم عشوائي بقيمة في الشكل 10 ⁿ مع عدد صحيح n. تتم كتابة قائمة القيم المقابلة لجميع المواضع المحتملة لرقم واحد على النحو {... ، 10 ² ، 10 ، 1 ، 10 ^-1 ، 10 ^-2 ، ...}.

الضرب المتكرر لأي قيمة في هذه القائمة بمقدار 10 ينتج عنه قيمة أخرى في القائمة. في المصطلحات الرياضية ، تُعرَّف هذه الخاصية على أنها إغلاق ، ويتم وصف القائمة السابقة بأنها مغلقة عند الضرب. إنه الأساس لإيجاد نتائج الضرب بشكل صحيح باستخدام التقنية السابقة. هذه النتيجة هي أحد الأمثلة على استخدامات نظرية الأعداد.

حساب الوحدة المركبة هو تطبيق العمليات الحسابية على كميات مختلطة مثل الأقدام والبوصات والجالونات والمكاييل جنيه والشلن والبنس وما إلى ذلك. قبل أنظمة النقود ووحدات القياس العشرية ، كان حساب الوحدة المركبة يستخدم على نطاق واسع في التجارة والصناعة.

العمليات الحسابية الأساسية

تم تطوير التقنيات المستخدمة في حساب الوحدات المركبة على مدى عدة قرون وتم توثيقها جيدًا في العديد من الكتب المدرسية بالعديد من اللغات المختلفة. بالإضافة إلى الوظائف الحسابية الأساسية المصادفة في الحساب العشري ، يستخدم حساب الوحدة المركبة ثلاث وظائف أخرى:

• تقليل ، حيث يتم تقليل الكمية المركبة إلى كمية واحدة - على سبيل المثال ، تحويل المسافة معبرًا عنها بالياردات والقدم والبوصة إلى واحدة معبر عنها بالبوصة.

• التوسيع ، الدالة العكسية للتقليل ، هو تحويل الكمية التي يتم التعبير عنها كوحدة قياس واحدة إلى وحدة مركبة ، مثل توسيع 24 أونصة إلى 1 رطل 8 أونصات.

• التطبيع هو تحويل مجموعة من الوحدات المركبة إلى شكل قياسي. على سبيل المثال ، إعادة كتابة 1 قدم 13 بوصة كـ 2 قدم 1 بوصة.

تشكل معرفة العلاقة بين وحدات القياس المختلفة ومضاعفاتها ومضاعفاتها جزءًا أساسيًا من حساب الوحدة المركبة.

مبادئ حساب الوحدة المركبة

هناك طريقتان أساسيتان لحساب الوحدة المركبة:

• طريقة الاختزال والتوسيع حيث يتم تقليل جميع متغيرات الوحدة المركبة إلى متغيرات وحدة مفردة ، ويتم الحساب ويتم توسيع النتيجة مرة أخرى إلى الوحدات المركبة. هذا النهج مناسب للحسابات الآلية. مثال نموذجي هو معالجة الوقت بواسطة Microsoft Excel حيث تتم معالجة جميع الفواصل الزمنية داخليًا كأيام وكسور عشرية من اليوم.

• طريقة التطبيع المستمرة التي يتم فيها معالجة كل وحدة على حدة ويتم تسوية المشكلة باستمرار مع تطور الحل. هذا النهج ، الموصوف على نطاق واسع في النصوص الكلاسيكية ، هو الأنسب للحسابات اليدوية. فيما يلي مثال لطريقة التطبيع المستمرة كما هو مطبق على الإضافة.

تتم عملية الإضافة من اليمين إلى اليسار ؛ في هذه الحالة ، تتم معالجة البنس أولاً ، ثم الشلن متبوعًا بالجنيه. الأرقام الموجودة أسفل سطر الإجابة هي نتائج وسيطة. الإجمالي في عمود البنس هو 25. نظرًا لوجود 12 بنسًا في الشلن ، يتم تقسيم 25 على 12 لإعطاء 2 مع باقي 1. تتم كتابة القيمة 1 بعد ذلك في صف الإجابة ويتم ترحيل القيمة 2 إلى عمود شلن. تتكرر هذه العملية باستخدام القيم الموجودة في عمود الشلنات ، مع الخطوة الإضافية لإضافة القيمة التي تم ترحيلها للأمام من عمود البنسات. يتم قسمة الإجمالي المتوسط على 20 حيث يوجد 20 شلن في الجنيه. تتم معالجة عمود الجنيه بعد ذلك ، ولكن نظرًا لأن الجنيهات هي أكبر وحدة يتم أخذها في الاعتبار ، فلا يتم ترحيل أي قيم من عمود الجنيهات. من أجل البساطة ، لم يكن لهذا المثال مسافات طويلة.

العمليات في الممارسة

خلال القرنين التاسع عشر والعشرين ، تم تطوير مساعدات مختلفة للمساعدة في معالجة الوحدات المركبة ، لا سيما في التطبيقات التجارية. كانت الأدوات المساعدة الأكثر شيوعًا هي الحراثات الميكانيكية التي تم تكييفها في دول مثل المملكة المتحدة لاستيعاب الجنيهات والشلن والبنسات والأثاث والحسابات الجاهزة (الكتب التي تستهدف المتداولين والتي تصنف نتائج الحسابات الروتينية المختلفة مثل النسب المئوية أو مضاعفات الحسابات المختلفة). مبالغ من المال). كتيب واحد نموذجي يصل إلى 150 صفحة وجدولاً مضاعفات من واحد إلى عشرة آلاف بأسعار مختلفة من رطل واحد إلى رطل واحد.

تم التعرف على الطبيعة المرهقة لحساب الوحدة المركبة لسنوات عديدة. في عام 1586 ، نشر عالم الرياضيات الفلمنكي سيمون ستيفين كتيبًا صغيرًا يسمى De Thiende (العاشر) أعلن فيه أن الإدخال العالمي للعملات والمقاييس والأوزان العشرية مجرد مسألة وقت. في العصر الحديث ، تعرض العديد من برامج التحويل ، مثل تلك المضمنة في حاسبة نظام التشغيل Microsoft Windows 7 ، وحدات مركبة بتنسيق عشري منخفض بدلاً من استخدام تنسيق موسع (على سبيل المثال ، يتم عرض 2.5 قدم بدلاً من 2 قدم 6 بوصة ).

توضح الصورة أدناه مقياسًا تم معايرته بوحدات إمبراطورية مع عرض تكلفة مرتبط.

حتى القرن التاسع عشر ، كانت نظرية الأعداد مرادفًا للحساب. كانت المشكلات التي تمت معالجتها مرتبطة ارتباطًا مباشرًا بالعمليات الأساسية و الأولية و القابلية للقسمة وحل المعادلات في أعداد صحيحة ، مثل نظرية فيرما الأخيرة . يبدو أن معظم هذه المشكلات ، على الرغم من كونها أولية جدًا ، إلا أنها صعبة للغاية وقد لا يتم حلها بدون رياضيات عميقة جدًا تتضمن مفاهيم وأساليب من العديد من فروع الرياضيات الأخرى. أدى ذلك إلى ظهور فروع جديدة لنظرية الأعداد مثل نظرية الأعداد التحليلية و نظرية الأعداد الجبرية و الهندسة الديوفانتية و الهندسة الجبرية الحسابية . يُعد إثبات وايلز لنظرية فيرما الأخيرة مثالًا نموذجيًا على ضرورة الأساليب المعقدة ، التي تتجاوز كثيرًا الأساليب الحسابية الكلاسيكية ، لحل المشكلات التي يمكن ذكرها في الحساب الأولي.

غالبًا ما يركز التعليم الابتدائي في الرياضيات على خوارزميات حساب الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة و الكسور و الكسور العشرية (باستخدام المكان العشري -نظام القيمة). تُعرف هذه الدراسة أحيانًا باسم algorism. أدت صعوبة هذه الخوارزميات وظهورها غير المحفز إلى إثارة المعلمين للتشكيك في هذا المنهج ، والدعوة إلى التدريس المبكر لأفكار رياضية أكثر مركزية وبديهية. كانت إحدى الحركات البارزة في هذا الاتجاه هي الرياضيات الجديدة في الستينيات والسبعينيات ، والتي حاولت تعليم الحساب بروح التطور البديهي من نظرية المجموعة ، وهو صدى للاتجاه السائد في الرياضيات العليا.

• الأرقام اليونانية
• بادئة
• فرق

“Arithmetic.” From Wolfram MathWorld, mathworld.wolfram.com/Arithmetic.html.

“Arithmetic.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 9 July 2020, en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic.