وطن / كل التعاريف / أسس الرياضيات / مجموعات ، منطق ، & البراهين / لا حصر له لانهائية تعريف

لا حصر له لانهائية تعريف

Uncountably infinite otherwise known as uncountable or uncountable set is an infinite set that contains too many elements to be countable. The uncountability of a set is closely related to its cardinal number. A set is uncountable if its cardinal number is larger than that of the set of all natural numbers. For instance, the set of real numbers is uncountable. If an uncountable set X is a subset of set Y, then Y is uncountably infinite set.

التوصيفات

هناك العديد من التوصيفات المتكافئة لعدم القدرة على العد. تعتبر المجموعة X غير قابلة للعد إذا وفقط إذا أي من الشروط التالية ينطبق:

  • لا توجد دالة حقن من X إلى مجموعة الأعداد الطبيعية.

  • X غير فارغ ولكل & # 969 ؛ -تتالية لعناصر X ، يوجد عنصر واحد على الأقل من X غير مدرج فيه. أي أن X غير فارغة ولا توجد دالة تخمين من الأعداد الطبيعية إلى X.

  • الأصل لـ X ليست منتهية ولا تساوي & # 8501؛ 0 ( aleph-null ، أصل الأعداد الطبيعية).

  • المجموعة X لها علاقة أساسية أكبر من & # 8501 ؛ 0 .

يمكن إثبات تكافؤ أول ثلاثة من هذه التوصيفات في نظرية مجموعة Zermelo-Fraenkel بدون بديهية الاختيار ، ولكن لا يمكن إثبات تكافؤ الثالث والرابع بدون مبادئ اختيار إضافية.

أمثلة

أمثلة على عدم القدرة على العد:

  • أفضل مثال معروف لمجموعة غير معدودة هو المجموعة R لجميع الأرقام الحقيقية. تظهر حجة كانتور القطرية أن هذه المجموعة غير معدودة. يمكن أيضًا استخدام تقنية الإثبات القطري لإظهار أن عدة مجموعات أخرى غير معدودة ، مثل مجموعة جميع التسلسلات اللانهائية للأعداد الطبيعية ومجموعة كل المجموعات الفرعية لمجموعة الأعداد الطبيعية. غالبًا ما يُطلق على العلاقة الأساسية لـ R مجموعة أصل السلسلة المتصلة ويُشار إليها بـ c ، أو 2 & # 8501؛ 0 (beth-one).

  • مجموعة Cantor هي مجموعة فرعية غير معدودة من R. مجموعة Cantor هي كسورية ولها بعد Hausdorff أكبر من الصفر ولكن أقل من واحد (R لها بعد واحد). هذا مثال على الحقيقة التالية: أي مجموعة فرعية من أبعاد Hausdorff أكبر من الصفر يجب أن تكون غير قابلة للعد.

  • مثال آخر على مجموعة غير معدودة هو مجموعة جميع الوظائف من R إلى R. هذه المجموعة غير قابلة للعد أكثر من R بمعنى أن عدد العناصر الأساسية لهذه المجموعة هو beth-two ، وهو أكبر من beth-one.

  • المثال الأكثر تجريدًا لمجموعة غير معدودة هو مجموعة الأرقام الترتيبية القابلة للعد ، والتي يُرمز إليها بـ & # 937؛ أو & # 969 ؛ 1 . أصل & # 937 ؛ يرمز إلى & # 8501 ؛ 1 (aleph-one). يمكن توضيح أن & # 8501؛ 1 هو أصغر عدد أصلي لا يحصى ، وذلك باستخدام بديهية الاختيار. وبالتالي ، فإما أن يكون beth-one ، وهو أصل القيم الحقيقية ، مساويًا لـ & # 8501 ؛ 1 أو أكبر تمامًا. كان جورج كانتور أول من طرح مسألة ما إذا كان بيت واحد يساوي & # 8501 ؛ 1 . في عام 1900 ، طرح ديفيد هيلبرت هذا السؤال باعتباره أول مشكلة من أصل 23 مشكلة. العبارة التي & # 8501؛ 1 = beth-one تسمى الآن فرضية الاستمرارية ومن المعروف أنها مستقلة عن بديهيات Zermelo – Fraenkel لـ نظرية المجموعة (بما في ذلك بديهية الاختيار).

بدون بديهية الاختيار

بدون بديهية الاختيار ، قد توجد عناصر أساسية لا تضاهى & # 8501 ؛ 0 (أي العناصر الأساسية لمجموعات Dedekind اللانهائية). مجموعات من هذه العناصر الأساسية تفي بالخصائص الثلاثة الأولى أعلاه ولكن ليس التوصيف الرابع. نظرًا لأن هذه المجموعات ليست أكبر من الأعداد الطبيعية بمعنى العلاقة الأساسية ، فقد لا يرغب البعض في تسميتها غير المعدودة. إذا كانت بديهية الاختيار صحيحة ، فإن الشروط التالية على الكاردينال & # 954 ؛ متكافئة:

  • κ ≰ ℵ0;

  • κ ≻ ℵ0; and

  • & # 954 ؛ & # 8805 ؛ & # 8501؛ 1 ، حيث & # 8501؛ 1 = | & # 969؛ 1 | و & # 969 ؛ 1 أقل ترتيبيًا أوليًا أكبر من & # 969 ؛.

ومع ذلك ، قد تكون هذه كلها مختلفة إذا فشلت بديهية الاختيار. لذلك ليس من الواضح أيهما هو التعميم المناسب لعدم إمكانية الحساب عندما تفشل البديهية. قد يكون من الأفضل تجنب استخدام الكلمة في هذه الحالة وتحديد أي من هذه الوسائل.

مصادر

“Uncountable Set.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 23 Mar. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Uncountable_set.

تطبيق

تحقق من تطبيقنا المجاني لنظامي التشغيل iOS و Android.

لمزيد من المعلومات حول تطبيقنا زيارة هنا!

وطن

أضف Math Converse كتطبيق إلى شاشتك الرئيسية.

تطبيق

Check out our free desktop application for macOS, Windows & Linux.

For more information about our desktop application زيارة هنا!

ملحق المتصفح

تحقق من امتداد المتصفح المجاني لمتصفح Chrome و Firefox و Edge و Safari و Opera.

لمزيد من المعلومات حول امتداد المتصفح الخاص بنا زيارة هنا!

رياضيات

عنصر نائب

عنصر نائب

استشهد بهذه الصفحة

رمز الاستجابة السريعة

التقط صورة لرمز الاستجابة السريعة هذه الصفحة أو لفتحها بسرعة على هاتفك:

حصة

استشهد بالصفحة
بريد إلكتروني
فيسبوك
تويتر
واتس اب
رديت
الرسائل القصيرة
سكايب
خط
جوجل كلاس روم
الإشارة من Google
الفيسبوك رسول
إيفرنوت
برقية
لينكد إن
جيب
دوبان
وي تشات
ماي سبيس
تريلو
رمز الاستجابة السريعة