نظام المعادلات غير المحدد تعريف

لا يحتوي النظام الخطي غير المحدد بشكل كافٍ على حل أو يحتوي على العديد من الحلول اللانهائية. على سبيل المثال ، x + y + z = 1 و x + y + z = 0 هو نظام غير محدد دون أي حل ؛ يقال إن أي نظام معادلات ليس لها حل غير متناسق. من ناحية أخرى ، فإن النظام x + y + z = 1 و x + y + 2z = 3 متسق وله عدد لا نهائي من الحلول ، مثل (x ، y ، z) = (1، −2، 2) ، (2 ، −3 ، 2) ، (3 ، −4 ، 2). يمكن وصف كل هذه الحلول بطرح المعادلة الأولى من الثانية أولاً ، لتوضيح أن جميع الحلول تخضع لـ z = 2 ؛ استخدام هذا في أي من المعادلتين يوضح أن أي قيمة لـ y ممكنة ، مع x = –1 - y.

وبشكل أكثر تحديدًا ، وفقًا لنظرية روشيه كابيلي ، فإن أي نظام من المعادلات الخطية (غير محدد أو غير ذلك) يكون غير متسق إذا كانت رتبة المصفوفة المعززة أكبر من رتبة مصفوفة المعامل . من ناحية أخرى ، إذا كانت رتب هاتين المصفوفتين متساوية ، يجب أن يحتوي النظام على حل واحد على الأقل ؛ نظرًا لأن هذه الرتبة في نظام غير محدد بشكل أقل من عدد المجهول ، فهناك بالفعل عدد لا حصر له من الحلول ، مع الحل العام الذي يحتوي على معلمات حرة k حيث k هو الفرق بين عدد المتغيرات والرتبة.

There are algorithms to decide whether an underdetermined system has solutions, and if it has any, to express all solutions as linear functions of k of the variables (same k as above). The simplest one is Gaussian elimination. See System of linear equations for more details.

إن النظام الخطي المتجانس (مع كل الشروط الثابتة التي تساوي الصفر) دائمًا ما يكون له حلول غير تافهة (بالإضافة إلى الحل التافه حيث تكون جميع المجهولات صفرًا). هناك عدد لا نهائي من هذه الحلول ، والتي تشكل فضاء متجه ، والذي يمثل بُعده الفرق بين عدد المجهول وترتيب مصفوفة النظام.

تمتد الخاصية الرئيسية للأنظمة الخطية غير المحددة ، وهي عدم وجود حل أو عدم وجود عدد غير محدود ، إلى أنظمة المعادلات متعددة الحدود بالطريقة التالية.

يقال إن نظام المعادلات متعددة الحدود الذي يحتوي على معادلات أقل من المجهول غير محدد. يحتوي إما على عدد لا نهائي من الحلول المعقدة (أو بشكل عام ، حلول في مجال مغلق جبريًا) أو غير متسق. يكون غير متسق إذا وفقط إذا كان 0 = 1 عبارة عن تركيبة خطية (مع معاملات متعددة الحدود) من المعادلات (هذا هو Nullstellensatz الخاص بهيلبرت). إذا كان لنظام معادلات t غير محدد في متغيرات n (t

بشكل عام ، نظام المعادلات الخطية غير محدد بشكل كاف له عدد لا حصر له من الحلول ، إن وجدت. ومع ذلك ، في مشاكل التحسين التي تخضع لقيود المساواة الخطية ، يكون حل واحد فقط مناسبًا ، وهو الحل الذي يعطي أعلى أو أدنى قيمة لوظيفة موضوعية.

تحدد بعض المشكلات أن واحدًا أو أكثر من المتغيرات مقيد ليأخذ قيمًا صحيحة. يؤدي القيد الصحيح إلى برمجة عدد صحيح ومشاكل معادلات ديوفانتين ، والتي قد تحتوي فقط على عدد محدود من الحلول. نوع آخر من القيود ، الذي يظهر في نظرية التشفير ، خاصة في أكواد تصحيح الخطأ ومعالجة الإشارات (على سبيل المثال الاستشعار المضغوط) ، يتكون من حد أعلى لعدد المتغيرات التي قد تكون مختلفة عن الصفر. في رموز تصحيح الأخطاء ، يتوافق هذا الحد مع الحد الأقصى لعدد الأخطاء التي يمكن تصحيحها في وقت واحد.

• الخوارزمية

“Underdetermined System.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 16 June 2019, en.wikipedia.org/wiki/Underdetermined_system.