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Arithmetik Definition

Arithmetic is a branch of mathematics dealing with integers or, more generally, numerical computation. Arithmetic operations include addition, congruence calculation, division, factorization, multiplication, power computation, root extraction, subtraction, logarithms, and calculations involving modulo n. Arithmetic is an elementary part of number theory, and number theory is considered to be one of the top-level divisions of modern mathematics, along with algebra, geometry, and analysis. Arithmetic is derived from the Greek terms arithmos and tiké meaning number and art respectively. The terms arithmetic and higher arithmetic were used until the beginning of the 20th century as synonyms for number theory and are sometimes still used to refer to a wider part of number theory. Arithmetic was part of the quadrivium taught in medieval universities. A mnemonic for the spelling of arithmetic is a rat in the house may eat the ice cream.

Modularer Arithmetik ist die Arithmetik der Kongruenz. Floating-Point-Arithmetik ist die Arithmetik, die mit echten Zahlen mit Computern oder anderen automatisierten Geräten unter Verwendung einer festen Anzahl von Bits ausgeführt wird. Der grundlegende theorem der arithmetischen , auch als eindeutige Faktorisierungs-Satz bezeichnet, gibt an, dass jede positive Ganzzahl in genau auf eine Weise als -produkt von Primes . Der löwenheim-skolem theorem , ein grundlegendes Ergebnis der -Modellheorie , legt das Vorhandensein von nicht standardisierten Arithmetikmodellen fest.

Historie

Die Vorgeschichte der Arithmetik ist auf eine kleine Anzahl von Artefakten begrenzt, die die Vorstellung von Zugabe und Subtraktion hinweisen, das bekannteste Wesen der Ishango-Knochen aus Zentralafrika, von irgendwo zwischen 20.000 und 18.000 v. Chr. Die frühesten schriftlichen Aufzeichnungen deuten darauf hin, dass die Ägypter und Babylonianer bereits 2000 v. Chr. Alle elementaren arithmetischen Operationen eingesetzt wurden. Diese Artefakte zeigen nicht immer den spezifischen Prozess, der zum Lösen von Problemen verwendet wird, aber die Eigenschaften des jeweiligen Ziffernsystems beeinflussen jedoch stark die Komplexität der Methoden. Das hieroglyphische System für ägyptische Ziffern, wie die späteren römischen Ziffern , stammt von Tally Marks, die zum Zählen verwendet werden. In beiden Fällen führte dieser Ursprung zu Werten, die eine dezimale Base verwendet haben, jedoch keine Positionsnotation enthalten. Komplexe Berechnungen mit römischen Ziffern erforderten die Unterstützung einer Zählplatine oder der römischen Abakus , um die Ergebnisse zu erhalten. Frühe Zahlensysteme, in der die Positionsnotation gehörte, waren nicht dezimal, einschließlich des sexuierenden (Basis 60) -Systems für babylonische Ziffern und das Vignesimal-System (Base 20) -System, das Maya-Ziffern definierte. Aufgrund dieses Punkt-Wert-Konzepts hat die Möglichkeit, dieselben Ziffern für verschiedene Werte wiederzuverwenden, zu einfacheren und effizienteren Berechnungsmethoden beigetragen.

The continuous historical development of modern arithmetic starts with the Hellenistic civilization of ancient Greece, although it originated much later than the Babylonian and Egyptian examples. Prior to the works of Euclid around 300 BC, Greek studies in mathematics overlapped with philosophical and mystical beliefs. For example, Nicomachus summarized the viewpoint of the earlier Pythagorean approach to numbers, and their relationships to each other, in his Introduction to Arithmetic. Greek numerals were used by Archimedes, Diophantus and others in a positional notation not very different from ours. The ancient Greeks lacked a symbol for zero until the Hellenistic period, and they used three separate sets of symbols as digits: one set for the units place, one for the tens place, and one for the hundreds. For the thousands place they would reuse the symbols for the units place, and so on. Their addition algorithm was identical to ours, and their multiplication algorithm was only very slightly different. Their long division algorithm was the same, and the digit-by-digit square root algorithm, popularly used as recently as the 20th century, was known to Archimedes, who may have invented it. He preferred it to Hero's method of successive approximation because, once computed, a digit doesn't change, and the square roots of perfect squares, such as 7485696, terminate immediately as 2736. For numbers with a fractional part, such as 546.934, they used negative powers of 60 instead of negative powers of 10 for the fractional part 0.934.

Die alten Chinesen hatten erweiterte Arithmetikstudien aus der Shang-Dynastie und der Fortsetzung der Tang-Dynastie, von grundlegenden Zahlen bis hin zu fortgeschrittenen Algebra. Die alten Chinesen nutzten eine positionelle Notation, die dem der Griechen ähnelt. Da sie auch ein Symbol für Null fehlten, hatten sie einen Satz von Symbolen für den Ort, und ein zweites Set für den TENS-Ort. Für den hunderten Ort verbrauchte sie dann die Symbole für den Ort der Einheiten und so weiter. Ihre Symbole basierten auf den alten Zählstäben. Es ist eine komplizierte Frage, genau zu bestimmen, wann die Chinesen mit der Bereitstellung mit der Positionsdarstellung begonnen wurden, jedoch definitiv vor 400 v. Chr. Die alten Chinesen waren der erste, der negativ sinnvoll entdeckt, verstanden und negative Zahlen anwenden, wie in den neun Kapiteln auf der mathematischen Kunst (Jiuzhang Suanshu) erklärt, die von Liu Hui geschrieben wurde.

Die allmähliche Weiterentwicklung des hindu-arabischen Ziffernsystems hat unabhängig voneinander das Platzierungs-Konzept und die Positionsnotation entwickelt, das die einfacheren Methoden für Berechnungen mit einer Dezimalbasis und der Verwendung einer Ziffer, die 0 darstellt, zusammengearbeitet hat, dadurch, dass das System konsequent sowohl groß darstellt und kleine ganze Zahlen. Dieser Ansatz ersetzte schließlich alle anderen Systeme. Im frühen 6. Jahrhundert nagelte der indische Mathematiker Aryabhata eine bestehende Version dieses Systems in seine Arbeit und experimentierte mit unterschiedlichen Notationen. Im 7. Jahrhundert hat Brahmagupta die Verwendung von 0 als separate Nummer eingerichtet und die Ergebnisse für Multiplikation, Division, Addition und Subtraktion von Null und allen anderen Nummern ermittelt, mit Ausnahme des Ergebnisses der -Digital über Null . Sein Zeitgenosse, der syrische Bischof Severus sebokht (650 n. 650 [5] Die Araber lernten auch diese neue Methode und rief es Hesab an.

Obwohl der Codex Vigilanus eine frühe Form arabischer Ziffern (weglassen 0) um 976 n. Chr., War Leonardo von Pisa (Fibonacci) in erster Linie dafür verantwortlich, ihre Verwendung in ganz Europa nach der Veröffentlichung seines Buches Liber Abaci im Jahr 1202 zu verbreiten. Er schrieb: "Das Die Methode der Indianer (lateinischer Modus Indoram) übertrifft jegliche bekannte Methode zum Berechnen. Es ist eine wunderbare Methode. Sie erledigen ihre Berechnungen mit neun Figuren und Symbol Null ". Im Mittelalter war Arithmetikum eine der sieben liberalen Künste in Universitäten. Das Blühen von Algebra in der mittelalterlichen islamischen Welt und in Renaissance Europa war ein Auswuchs der enormen Vereinfachung von Berechnung durch Dezimalnotation. Verschiedene Arten von Instrumenten wurden erfunden und verbreitet verwendet, um in numerischen Berechnungen zu helfen. Vor der Renaissance waren sie verschiedene Arten von Abaci. Neuere Beispiele umfassen Gleitregeln, Nomogramme und mechanische Taschenrechner, wie Pascal's Rechner. Derzeit Sie wurden von elektronischen Rechner und Computern ergänzt.

Der oben dargestellte stufenlose Rekoner von Leibniz war der erste Rechner, der alle vier arithmetischen Operationen ausführen könnte.

Rechenoperationen

The basic arithmetic operations are addition, subtraction, multiplication and division, although this subject also includes more advanced operations, such as manipulations of percentages, square roots, exponentiation, logarithmic functions, and even trigonometric functions, in the same vein as logarithms (prosthaphaeresis). Arithmetic expressions must be evaluated according to the intended sequence of operations. There are several methods to specify this, either most common, together with infix notation explicitly using parentheses, and relying on precedence rules, or using a prefix or postfix notation, which uniquely fix the order of execution by themselves. Any set of objects upon which all four arithmetic operations (except division by zero) can be performed, and where these four operations obey the usual laws (including distributivity), is called a field.

Addition (+)

Addition ist der grundlegendste Betrieb der Arithmetik. In seiner einfachen Form kombiniert die Zugabe zwei Zahlen, die Addends oder Begriffe in eine einzige Zahl, in einer einzelnen Zahl (z. B. 2 + 2 = 4 oder 3 + 5 = 8). Das Hinzufügen von endlich vielen Zahlen kann als wiederholte einfache Ergänzung angezeigt werden. Dieses Verfahren ist als summation bekannt, ein Begriff, der auch verwendet wird, um die Definition zu bezeichnen, um in einer unendlichen Serie unendlich viele Zahlen hinzuzufügen. Wiederholte Zugabe der Nummer 1 ist die grundlegendste Form von counting . Das Ergebnis des Additions 1 wird in der Regel als nachfolger der ursprünglichen Zahl bezeichnet.

Addition ist Commutative und assoziativ , sodass die Reihenfolge, in der endlich viele Begriffe hinzugefügt werden, keine Rolle spielt. Das Identitätselement für einen Binary Operation ist die Zahl, die in Kombination mit einer beliebigen Zahl die gleiche Zahl wie das Ergebnis ergibt. Nach den Additionsregeln ergibt das Hinzufügen von 0 zu einer beliebigen Zahl dieselbe Zahl, sodass 0 die -Auszusatzidentität ist. Der inverse einer Zahl in Bezug auf eine binäre Operation ist die Zahl, die in Kombination mit einer beliebigen Zahl die Identität in Bezug auf diesen Vorgang ergibt. Daher ist die Umkehrung einer Zahl in Bezug auf die Addition (ihre additive inverse oder die entgegengesetzte Zahl) die Zahl, die die additive Identität 0 ergibt, wenn es zur ursprünglichen Zahl hinzugefügt wird. Es ist sofort offensichtlich, dass dies das Negativ der ursprünglichen Zahl ist. Zum Beispiel beträgt die additive Inverse von 7 –7, da 7 + (–7) = 0.

Die Zugabe kann wie in der folgenden Instanz geometrisch interpretiert werden. Wenn wir zwei Längen-Längen 3 und 6 haben, dann, wenn wir die Sticks nacheinander setzen, ist die Länge des so gebildeten Stocks 9, seit 3 ??+ 6 = 9.

Subtraktion (-)

Die Subtraktion ist der inverse Betrieb zur Addition. Die Subtraktion ermittelt den Unterschied zwischen zwei Zahlen, dem Minus abzüglich der Subtrahend: D = M - S. Auf die zuvor festgelegte Addition zurückgreifen, heißt dies, dass die Differenz die Zahl ist, die, wenn sie zum Subtrahend hinzugefügt wird, zu dem Minuend führt: D + S = M. für positive Argumente m und s hält:

  • Wenn der Minuend größer ist als der Subtrahend, ist der Unterschied D positiv.

  • Wenn der Minuend kleiner ist als der Subtrahend, ist der Unterschied D negativ.

  • In jedem Fall, wenn minuend und subtrahend gleich sind, ist der Unterschied d = 0.

Subtraction is neither commutative nor associative. For that reason, in modern algebra the construction of this inverse operation is often discarded in favor of introducing the concept of inverse elements, as noted under Addition, and to look at subtraction as adding the additive inverse of the subtrahend to the minuend, that is a − b = a + (−b). The immediate price of discarding the binary operation of subtraction is the introduction of the (trivial) unary operation, delivering the additive inverse for any given number, and losing the immediate access to the notion of difference, which is potentially misleading when negative arguments are involved.

Für jede Darstellung von Zahlen gibt es Verfahren zum Berechnen von Ergebnissen, von denen einige besonders vorteilhaft bei der Ausnutzungsprozeduren sind, die für einen Betrieb vorhanden sind, von kleinen Änderungen auch für andere. Beispielsweise können digitale Computer vorhandene Addierkreise wiederverwenden und sparen zusätzliche Schaltungen zur Implementierung einer Subtraktion durch Verwendung des Verfahrens von zwei Komplement zum Darstellen der additiven Invers, was extrem einfach in Hardware ( Negation ). Der Kompromiss ist die Halbierung des Zahlenbereichs für eine feste Wortlänge.

Eine früher weit verbreitete Methode, um einen korrekten Änderungsbetrag zu erreichen, das die fälligen und gegebenen Beträge kennen, ist die Zählmethode, die den Wert der Differenz nicht explizit generiert. Angenommen, ein Betrag P wird angegeben, um den erforderlichen Betrag Q zu zahlen, wobei P größer als Q. anstatt die Subtraktion p - q = c ausdrücklich auszuführen und diesen Betrag C in Veränderung auszusetzen, wird das Geld beginnend mit dem Nachfolger von ausgezeichnet Q, und in den Schritten der Währung fortsetzen, bis P erreicht ist. Obwohl der auszählte Betrag dem Ergebnis der Subtraktion p - q entsprechen muss, wurde die Subtraktion nie wirklich durchgeführt und der Wert von p - q wird nach dieser Methode nicht geliefert.

Multiplikation (X oder ∙ oder *)

Multiplikation ist der zweite Grundbetrieb von Arithmetik. Die Multiplikation kombiniert auch zwei Zahlen in eine einzige Zahl, das Produkt. Die beiden Originalnummern werden als Multiplizierer bezeichnet und der Multiplikand, hauptsächlich werden beide einfach als Faktoren genannt.

Die Multiplikation kann als Skalierungsvorgang betrachtet werden. Wenn die Zahlen als in einer Linie liegen, Multiplikation durch eine Zahl, sagen, x, mehr als 1 ist das gleiche wie das Dehnen von alles von 0 gleichmäßig, so dass die Zahl 1 selbst so gestreckt ist, wo X war. In ähnlicher Weise kann multipliziert mit einer Zahl von weniger als 1 so eingestellt sein, dass sie in Richtung 0 drückt, um 0 (wieder zu drehen, dass 1 in den Multiplikand fährt.)

Eine weitere Ansicht über die Multiplikation von Integernummern, die für Rationals erweitert werden, aber nicht sehr zugänglich für echte Zahlen, ist, indem er sie als wiederholter Zugabe berücksichtigt. Also entspricht 3 × 4 entweder das Hinzufügen von 3-mal A 4 oder 4-mal A 3, wodurch das gleiche Ergebnis ergibt. Es gibt unterschiedliche Meinungen über die Vorteilhaftigkeit dieser Paradigmata in der mathematischen Bildung.

Multiplikation ist kommutativ und assoziativ; Darüber hinaus ist es distrivutive über Zusatz und Subtraktion. Die Multiplikative Identität ist 1, da die Multiplikation einer beliebigen Zahl um 1 die gleiche Anzahl ergibt. Der multiplikative Inverse für eine beliebige Zahl mit Ausnahme von 0 ist der wechselseitige dieser Anzahl, da das Multiplizieren des Kinzials einer beliebigen Nummer durch die Zahl selbst die multiplikative Identität 1. 0 ist der einzige Zahl ohne multiplikativer Invers und das Ergebnis der Multiplikation einer beliebigen Anzahl und 0 ist erneut 0. Man sagt, dass 0 nicht in der Multiplikations- -Gruppe der Zahlen enthalten ist.

Das Produkt von A und B ist als × B oder A ∙ geschrieben; B. Wenn A oder B Ausdrücke sind, die nicht einfach mit Ziffern geschrieben sind, wird es auch von einfacher Gegenüberstellung: ab. In Computerprogrammiersprachen und Softwarepaketen, in denen man nur Zeichen verwenden kann, die normalerweise auf einer Tastatur gefunden werden, wird es häufig mit einem Asterisk geschrieben: a * b.

Algorithmen, die den Betrieb der Multiplikation für verschiedene Zahlenrepräsentationen implementieren, sind weitaus kostspieliger und mühsamer als die zur Ergänzung. Diejenigen, die für die manuelle Berechnung zugänglich sind, verlassen entweder darauf, die Faktoren auf einzelne Platzwerte abzubauen und wiederholte Zugabe anzuwenden oder -tabellen-Regeln einzusetzen, wodurch die Multiplikation auf Addition und Rücken gestellt wird . Diese Methoden sind veraltet und durch mobile Geräte ersetzt. Computer nutzen diverse anspruchsvolle und hochoptimierte Algorithmen, um Multiplikation und Abteilung für die verschiedenen in ihrem System unterstützten Nummernformaten zu implementieren.

Abteilung (÷ oder /)

Division ist im Wesentlichen der umgekehrte Betrieb zur Multiplikation. Division findet den Quotienten von zwei Zahlen, die Dividende, die vom Divisor geteilt wird. Jede Dividende geteilt durch Null ist undefiniert. Bei unterschiedlichen positiven Zahlen, wenn die Dividende größer als der Divisor ist, ist der Quotient größer als 1, andernfalls ist es weniger als 1 (eine ähnliche Regel gilt für negative Zahlen). Der vom Divisor multiplizierte Quotiente ergibt immer die Dividende.

Division ist weder kommutativ noch assoziativ. So, wie es für subtraktion erläutert wird, in der modernen Algebra wird der Bau der Division zugunsten des Aufbauens der inversen Elemente in Bezug auf Multiplikation, wie dorthin eingeführt, konstruiert. Das heißt, Division ist eine Multiplikation mit der Dividende und der wechselseitigkeit des divisors als Faktoren, das ist ein A ÷ B = A × 1 / b.

Innerhalb der natürlichen Zahlen gibt es auch eine andere, aber verwandte Begriffe, die euklidean-Division , wodurch zwei Ergebnisse der Teilen eines natürlichen N (Numerators) durch einen natürlichen D (Nenner), zuerst ein natürliches Q (Quotient ) und zweitens ein natürlicher R (Rest), so dass n = d × q + r und R

Grundlegender Satz von Arithmetik

Der grundlegende Satz von Arithmetik gibt an, dass jede ganze Zahl größer als 1 eine eindeutige -Prime-Faktorisierung hat (eine Darstellung einer Zahl wie das Produkt von Prime-Faktoren), ohne die Reihenfolge der Faktoren auszuschließen. Zum Beispiel hat 252 nur eine Prime-Faktorisierung: 252 = 2 2 x 7 1 . EUCLIDs Elemente stellte zuerst diesen Satz ein, ergab einen Teilnachweis (das heißt euklids Lemma ). Der grundlegende Theorem der Arithmetik wurde erstmals von Carl Friedrich Gauß bewährt. Der grundlegende Theorem der Arithmetik ist einer der Gründe, warum 1 nicht als Prime-Nummer angesehen wird. Andere Gründe umfassen das Sieb von eratosthenes und die Definition einer Primzahl selbst (eine natürliche Zahl größer als 1, die nicht durch Multiplizieren von zwei kleineren natürlichen Zahlen gebildet werden kann.).

Dezimalarithmetik

Dezimalvertretung bezieht sich ausschließlich im gemeinsamen Gebrauch auf das schriftliche Ziffernsystem mit arabischen Ziffern als Ziffern für a Radix 10 (Dezimal-) Positionsnotation. Jedes Ziffernsystem, das auf Befugnissen von 10 basiert, wie z. B. griechische, kyrillische, römische oder chinesische Ziffern, kann konzeptionell als Dezimalnotation oder Dezimaldarstellung beschrieben werden.

Moderne Methoden für vier grundlegende Operationen (Zusatz, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung) wurden erstmals von Brahmagupta of India entwickelt. Dies war während des mittelalterlichen Europas als Modus Indoram oder Methode der Indianer bekannt. Positionsnotation (auch als Place-Value-Notation bekannt) bezieht sich auf die Darstellung oder die Kodierung von Zahlen mit demselben Symbol für die unterschiedlichen Größenordnungen (der Ort, Zehner, Hunderte) und mit Ein Radix Point , wobei dieselben Symbole verwendet werden, um Fraktionen (der Zehntel-Platz, Hundertstel) darzustellen. Zum Beispiel bezeichnet 507,36 5 Hunderte (10 2 ), plus 0 Zehnungen (10 1 ), plus 7 Einheiten (10 0 ), plus 3 Zehntel (10 -1 ) plus 6 Hundertstel (10 -2 ).

Das Konzept von Null als Zahl, die mit den anderen Basisziffern vergleichbar ist, ist für diese Notation von wesentlicher Bedeutung, ebenso wie das Konzept der Verwendung von 0 als Platzhalter, und ebenso wie die Definition der Multiplikation und Ergänzung mit 0. Die Verwendung von 0 als Platzhalter und Es wird daher zunächst die Verwendung einer Positionsnotation, die in den Jaintext aus Indien bezeugt wird, mit dem Titel Lokavibhâga, datiert 458 n. Chr. in Europa von Fibonacci mit dem Hindu-arabischen Ziffernsystem.

Algorismus umfasst alle Regeln für die Durchführung von arithmetischen Berechnungen mit dieser Art von schriftlichen Ziffer. Zum Beispiel erzeugt Addition die Summe zweier willkürlicher Nummern. Das Ergebnis wird durch die wiederholte Zugabe von einzelnen Ziffern aus jeder Zahl berechnet, die in derselben Position einnimmt und von rechts nach links fortgesetzt wird. Eine Additionstabelle mit zehn Reihen und zehn Spalten zeigt für jede Summe alle möglichen Werte an. Wenn eine einzelne Summe den Wert 9 überschreitet, ist das Ergebnis mit zwei Ziffern dargestellt. Die rechte Ziffer ist der Wert für die aktuelle Position, und das Ergebnis zum anschließenden Zugabe der Ziffern steigt um den Wert der zweiten (linken) Ziffer, der immer eins ist (wenn nicht Null). Diese Einstellung wird als Übertragung des Werts 1 bezeichnet. Das Verfahren zum Multiplizieren von zwei beliebigen Zahlen ist dem Prozess zur Zugabe ähnlich. Eine Multiplikationstabelle mit zehn Reihen und zehn Spalten listet die Ergebnisse für jedes Ziffernpaar auf. Wenn ein einzelnes Produkt eines Ziffernpaares 9 übersteigt, erhöht die Übertragseinstellung das Ergebnis einer beliebigen nachfolgenden Multiplikation von Ziffern nach links um einen Wert, der gleich der zweiten (linken) Ziffer, einem beliebigen Wert von 1 bis 8 (9 × 9 = 81). Zusätzliche Schritte definieren das Endergebnis. Ähnliche Techniken gibt es auch für Subtraktion und Abteilung.

Die Erstellung eines korrekten Prozesss zur Multiplikation setzt sich auf die Beziehung zwischen Werten benachbarter Ziffern. Der Wert für jede einzelne Ziffer in einer Zahl hängt von seiner Position ab. Jede Position nach links stellt auch einen Wert dar, der zehnmal größer ist als die Position nach rechts. In mathematischen Begriffen steigt der -exponent für den radix (base) von 10 um 1 (nach links) oder nimmt um 1 (nach rechts) ab. Daher wird der Wert für beliebige Ziffer mit einem Wert des Formulars 10 n mit Ganzzahl n multipliziert. Die Liste der Werte, die allen möglichen Positionen für eine einzelne Stelle entsprechen, wird als {..., 10 2 , 10, 1, 10 -1 , 10 geschrieben -2 , ...}.

Die wiederholte Multiplikation eines beliebigen Werts in dieser Liste von 10 erzeugt einen weiteren Wert in der Liste. In der mathematischen Terminologie ist diese Kennlinie als closure definiert, und die vorherige Liste wird unter Multiplikation geschlossen beschrieben. Es ist die Grundlage, um die Ergebnisse der Multiplikation mit der vorherigen Technik korrekt zu finden. Dieses Ergebnis ist ein Beispiel für die Verwendung der Zahlentheorie.

Compound-Einheit-Arithmetik

Die Verbindungseinheit-Arithmetik ist die Anwendung von arithmetischen Operationen auf gemischte Radix Mengen wie Füße und Zoll, Gallonen und Pints ??Pfund, Schilling und Pence usw. Bevor dezimalbasierte Geldsysteme und Maßnahmen der Maßeinheit, der Verbundeinheit-Arithmetik, wurde in Handel und Industrie weit verbreitet.

Grundlegende arithmetische Operationen

Die in der Arithmetik verwendeten Techniken wurden über viele Jahrhunderte entwickelt und sind in vielen Lehrbüchern in vielen verschiedenen Sprachen gut dokumentiert. Zusätzlich zu den grundlegenden arithmetischen Funktionen, die in Dezimalarithmetik auftreten, verwendet die zusammengesetzte Einheitsarithmetik drei weitere Funktionen:

  • Reduktion , in der eine Verbindungsgröße auf eine einzelne Menge verringert wird, zum Beispiel, um die Umwandlung einer Entfernung in Meter, Füßen und Zentimeter zu einem in Zoll ausgedrückten Zentimeter.

  • Erweiterung, die Inverse-Funktion zur Reduktion, ist die Umwandlung einer Menge, die als eine einzige Maßeinheit an eine Verbindungseinheit ausgedrückt wird, wie etwa 24 oz bis 1 lb 8 oz.

  • Normalisierung ist die Umwandlung eines Satzes von zusammengesetzten Einheiten auf ein Standardformular. Zum Beispiel das Umschreiben von 1 ft 13 in als 2 ft 1 in.

Das Kenntnis der Beziehung zwischen den verschiedenen Maßeinheiten, ihrer Vielfalt und ihrer Subnips bildet einen wesentlichen Teil der Verbundeinheit-Arithmetik.

Prinzipien der Verbundeinheit Arithmetik

Es gibt zwei grundlegende Ansätze für die Arithmetik für zusammengesetzte Einheiten:

  • Reduktions-Erweiterungsmethode, bei der alle Verbindungseinheit-Variablen auf Einzelheitsvariablen reduziert werden, wird die durchgeführte Berechnung und das Ergebnis auf Verbindungseinheiten erweitert. Dieser Ansatz eignet sich für automatisierte Berechnungen. Ein typisches Beispiel ist die Handhabung von Zeit von Microsoft Excel, wo alle Zeitintervalle innen als Tage- und Dezimalfraktionen eines Tages verarbeitet werden.

  • Das laufende Normalisierungsverfahren, in dem jede Einheit separat behandelt wird und das Problem kontinuierlich normalisiert wird, da sich die Lösung entwickelt. Dieser Ansatz, der in klassischen Texten häufig beschrieben ist, eignet sich am besten für manuelle Berechnungen. Ein Beispiel für das laufende Normalisierungsverfahren, wie er auf die Zugabe angewendet wird, ist unten gezeigt.

Bemerkungen

4 Talthings (F) = 1 Penny

12 Pennies (d) = 1 Schilling

20 Schilling (en) = 1 Pfund (£)

Der Zusatzvorgang erfolgt von rechts nach links. In diesem Fall werden zunächst die Pence bearbeitet, dann schilligend mit Pfund. Die Zahlen unter der Antwortzeile sind Zwischenergebnisse. Die Summe in der Pence-Säule ist 25. Da 12 Pfennige in einem Schilling sind, wird 25 durch 12 geteilt, um 2 mit einem Rest von 1 zu ergeben. Der Wert 1 wird dann in die Antwortzeile geschrieben, und der Wert 2, der an die Shillings-Säule. Dieser Vorgang wird mit den Werten in der SHILLINGS-Spalte wiederholt, wobei der zusätzliche Schritt des Hinzufügens des Werts, der von der Säule der Pfennige weitergeleitet wurde. Die Zwischengesagte ist durch 20 geteilt, da es 20 Schilling in einem Pfund gibt. Die Pfundsäule wird dann verarbeitet, aber da Pfund die größte Einheit, die in Betracht gezogen wird, werden keine Werte von der Pfundsäule vorangetrieben. Der Einfachheit halber hatte dieses Beispiel keine Talthings.

Operationen in der Praxis

Während des 19. und 20. Jahrhunderts wurden verschiedene AIDS entwickelt, um die Manipulation von Verbundeinheiten, insbesondere in kommerziellen Anwendungen, zu unterstützen. Die häufigsten AIDS waren mechanische Köden, die in Ländern wie dem Vereinigten Königreich angepasst wurden, um Pfund, Schilling, Pfennige und Tittens und Fertigrekoner aufzunehmen (Bücher, die an Händler richten, die die Ergebnisse verschiedener routinemäßiger Berechnungen wie den Prozentsätzen oder Vielfachen verschiedener Multiple katalogten Geldbeträge). Eine typische Broschüre, die auf 150 Seiten laufende Multiples von einem bis zehn Tausend zu den verschiedenen Preisen von einem Falting bis zu einem Pfund tabelliert.

Die umständliche Natur der Bindeeinheit Arithmetik wurde seit vielen Jahren anerkannt. Im Jahre 1586 veröffentlichte der flämische Mathematiker Simon Stevin eine kleine Broschüre mit dem Namen de Thiende (Zehntel), in der er die universelle Einführung von Dezimalmünzen, Maßnahmen und Gewichten erklärte, nur eine Zeitfrage zu sein. In der modernen Epoche zeigen viele Konvertierungsprogramme, wie z. B. in dem Microsoft Windows 7-Betriebssystemrechner, zeigen Verbundeinheiten in einem reduzierten Dezimalformat an, anstatt ein erweitertes Format (z. B. 2,5 ft (z. B. 2,5 ft) anstelle von 2 ft 6 dargestellt ).

Das untenstehende Bild zeigt eine Skala, die in kaiserlichen Einheiten mit einer damit verbundenen Kostenanzeige kalibriert ist.

Zahlentheorie

Bis zum 19. Jahrhundert war die Zahlentheorie ein Synonym für Arithmetik. Die adressierten Probleme standen in direktem Zusammenhang mit den grundlegenden Betriebsvorgängen und der betroffenen -Primalität , Teilbarkeit , und die Lösung von Gleichungen in Ganzzahlen, wie beispielsweise Fermat's Last theorem . Es schien, dass die meisten dieser Probleme, obwohl sehr elementar zu Staat, sehr schwierig sind und nicht ohne sehr tiefe Mathematik gelöst werden dürfen, die Konzepte und Methoden von vielen anderen Zweigen der Mathematik beteiligt sind. Dies führte zu neuen Zweigen der Zahlentheorie, z. B. analytische Nummerntheorie , algebraic numbertheory , diophantinische geometrie und arithmetische algebraische Geometrie . Wiles-Beweis von Fermat's Last theorem ist ein typisches Beispiel für die Notwendigkeit von anspruchsvoller Methoden, die weit über die klassischen Arithmetikmethoden hinausgeht, um Probleme zu lösen, die in der elementaren Arithmetik angegeben werden können.

In Bildung

Die Grundschulbildung in der Mathematik stellt häufig einen starken Fokus auf Algorithmen für die Arithmetik von natürlichen Nummern , ganzgerechten, fraktionen und dezimals (mit dem Dezimalstellen -Wertesystem). Diese Studie ist manchmal als Algorismus bekannt. Die Schwierigkeit und das unmotivierte Erscheinungsbild dieser Algorithmen hat lange LED-Pädagogen, um diesen Lehrplan zu fragen, um den frühen Lehre mehr zentraler und intuitiver mathematischer Ideen zu befürworten. Eine bemerkenswerte Bewegung in dieser Richtung war die neue Mathematik der 1960er und 1970er Jahre, die versuchte, Arithmetik im Geist der axiomatischen Entwicklung von der Settheorie, einem Echo des vorherrschenden Trends in höherer Mathematik, zu unterrichten.

Verwandte Definitionen

Quellen

“Arithmetic.” From Wolfram MathWorld, mathworld.wolfram.com/Arithmetic.html.

“Arithmetic.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 9 July 2020, en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic.

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