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Transversal Definition

Ein Transversal ist eine linie , die zwei Leitungen in derselben -Apfel an zwei unterschiedlichen -Punkte durchläuft. Transversals spielen eine Rolle bei der Feststellung, ob zwei andere Zeilen in der euklidischen Ebene parallel sind. Die Kreuzungen eines Querschnitts mit zwei Leitungen erzeugen verschiedene Arten von Winkelpaaren: aufeinanderfolgende Innenwinkel , entsprechende Winkelwinkel und alternative Winkel . Als Folge von Euclids parallel postuliert , wenn die beiden Linien parallel sind, sind aufeinanderfolgende Innenwinkel ergänzend , entsprechende Winkel gleich, und alternative Winkel sind gleich. Das folgende Diagramm veranschaulicht ein Transversal.

Winkel eines transversalen

Eine transversale erzeugt 8 winkel, wie in der grafik oben gezeigt:

  • 4 mit jeder der beiden Linien, nämlich α β γ und δ und dann β 1 δ 1 1 1 < / sub>; und

  • 4 davon sind innen (zwischen den beiden Zeilen), nämlich α, β, γ 1 und δ davon sind außen, nämlich α 1 , β 1 , γ und δ.

Ein Transversal, der zwei parallele Linien bei rechter Winkel schneidet, wird als senkrechter transversal bezeichnet. In diesem Fall sind alle 8 Winkel rechtwinklig. Wenn die Linien parallel sind, ein Fall, der häufig in Betracht gezogen wird, erzeugt ein Transversal mehrere congruent und mehrere ergänzende Winkel . Einige dieser Winkelpaare haben bestimmte Namen und werden unten diskutiert:

Alternative Winkel

Ein Paar alternative Winkel. Mit parallelen Linien sind sie kongruent.

Alternative winkel sind die vier winkelpaare die:

  • Have distinct vertex points,

  • Liegen auf gegenüberliegenden Seiten des Transversals und

  • Beide Winkel sind Innenraum oder beide Winkel sind außen.

Wenn die beiden Winkel eines Paares kongruent sind, sind auch die Winkel jedes der anderen Paare kongruent. Ein Satz der absoluten Geometrie (somit gültig sowohl in der hyperbolischen und euclidean-Geometrie ) beweist, dass, wenn die Winkel eines Paares alternierender Winkel eines Querschnitts kongruent sind, dann die beiden Linien sind parallel (nicht schneidend). Es folgt von Euclids parallelem Postulat, dass, wenn die beiden Linien parallel sind, dann die Winkel eines Paares alternierender Winkel eines Quertransvers kongruent sind.

Entsprechende Winkel

Ein Paar entsprechender Winkel. Mit parallelen Linien sind sie kongruent.

Korrespondierende winkel sind die vier winkelpaare, die:

  • Verschiedene vertex-Punkte haben,

  • Auf der gleichen Seite des Querens liegen und

  • Ein Winkel ist Innenraum und der andere ist äußerlich.

Zwei Linien sind parallel, wenn und nur, wenn die beiden Winkel eines beliebigen Paars entsprechender Winkel jeder Querträger kongruent sind. Ein Satz von absoluter Geometrie (somit sowohl in hyperbolischer als auch in der euklidischen Geometrie gültig), dass, wenn die Winkel eines Paares entsprechender Winkel eines Transversales kongruent sind, dann die beiden Linien parallel sind (nicht sichtbar) . Es folgt von Euclids parallelem Postulat, dass, wenn die beiden Linien parallel sind, dann die Winkel eines Paares entsprechender Winkel eines Transversales kongruent sind. Wenn die Winkel eines Paares entsprechender Winkel kongruent sind, sind auch die Winkel jedes der anderen Paare kongruent. In den verschiedenen Bildern mit parallelen Linien auf dieser Seite sind entsprechende Winkelpaare: α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 und δ = δ 1 .

Aufeinanderfolgende Innenwinkel

Ein Paar aufeinanderfolgender Winkel. Mit parallelen Linien summieren sie bis zu zwei rechte Winkel.

Aufeinanderfolgende innenwinkel sind die beiden winkelpaare, die:

  • Verschiedene vertex-Punkte haben,

  • Auf der gleichen Seite des Querens liegen und

  • Sind beide Inneren.

Zwei Linien sind parallel, wenn und nur dann, wenn die beiden Winkel eines beliebigen Paars aufeinanderfolgender Innenwinkel jedes Transversales ergänzend sind (Summe bis 180 °). Ein Satz der absoluten Geometrie (somit sowohl in hyperbolischer als auch in der euklidischen Geometrie gültig), beweist, dass, wenn die Winkel eines Paares aufeinanderfolgender Innenwinkel ergänzend sind, dann die beiden Linien parallel sind (nicht kreuzend). Es folgt von Euclids parallelem Postulat, dass, wenn die beiden Linien parallel sind, dann die Winkel eines Paares aufeinanderfolgender Innenwinkel eines Transversales ergänzend sind. Wenn ein Paar aufeinanderfolgender Innenwinkel ergänzend ist, wird das andere Paar auch ergänzend.

Andere Eigenschaften

Wenn drei Leitungen in der allgemeinen Position bilden, werden dann ein Dreieck von einem Transversal geschnitten, die Längen der sechs resultierenden Segmente erfüllen menelaus's theorem .

Verwandte Theoreme

Die Formulierung der Euclid-Formulierung des parallelen Postulats kann in Bezug auf einen Transversal angegeben werden. Wenn der Innenwinkel auf derselben Seite des Querschnitts weniger als zwei rechte Winkel sind, müssen Linien schneiden. Tatsächlich verwendet EUCLID denselben Satz in Griechisch, der normalerweise als Transversal übersetzt wird.

Euclids Vorschlag 27 besagt, dass, wenn ein Transversal zwei Linien schneidet, so dass alternative Innenwinkel kongruent sind, dann sind die Linien parallel. Euclid beweist dies durch Widerspruch: Wenn die Linien nicht parallel sind, müssen sie kreuzen, und ein Dreieck wird gebildet. Dann ist eines der alternativen Winkel ein Außenwinkel, der dem anderen Winkel entspricht, der ein entgegengesetzter Innenwinkel im Dreieck ist. Dies widerspricht dem Vorschlag 16, der besagt, dass ein Außenwinkel eines Dreiecks immer größer ist als die gegenüberliegenden Innenwinkel.

Euclids Vorschlag 28 erweitert dieses Ergebnis auf zwei Arten. Wenn zunächst ein Transversal zwei Linien schneidet, so dass entsprechende Winkel kongruent sind, dann sind die Linien parallel. Zweitens, wenn ein Transversal zwei Linien schneidet, so dass Innenwinkel auf derselben Seite des Querens ergänzend sind, sind die Linien parallel. Dies folgt aus dem vorherigen Vorschlag, indem er die Tatsache anwenden, dass entgegengesetzte Winkel der Kreuzungsleitungen gleich sind und dass benachbarte Winkel auf einer Linie ergänzend sind. Wie von Proclus erwähnt, ergibt EUCLID nur drei mögliche sechs solcher Kriterien für parallele Linien.

Euclids Vorschlag 29 ist ein Converse zu den vorherigen beiden. Erstens, wenn ein Transversal zwei parallele Linien schneidet, sind die alternativen Innenwinkel kongruent. Wenn nicht, dann ist einer größer als der andere, der seine Ergänzung impliziert, ist weniger als der Ergänzung des anderen Winkels. Dies bedeutet, dass es Innenwinkel auf derselben Seite des Transversals gibt, die weniger als zwei rechte Winkel sind, was dem fünften Postulat widerspricht. Der Vorschlag wird fortgesetzt, indem er angibt, dass auf einem Transversal von zwei parallelen Linien entsprechende Winkel kongruent sind und die Innenwinkel auf derselben Seite gleich zwei rechten Winkeln sind. Diese Aussagen folgen auf dieselbe Weise, wie Prop. 28 folgt von der Prop. 27.

Der Beweis von Euclids nutzt das fünfte Postulat wesentlicher Nutzung, jedoch moderne Behandlungen der Geometrie von Playfairs Axiom stattdessen. Um den Vorschlag 29 anzunehmen, das Axiom von Playfair anzunehmen, lassen Sie einen Querschnitt zwei parallele Linien überqueren und nehme an, dass die alternativen Innenwinkel nicht gleich sind. Zeichnen Sie eine dritte Linie durch den Punkt, an dem der Transversal die erste Zeile überquert, jedoch mit einem Winkel, der dem Winkel gleich dem Winkel ist, macht der Transversal mit der zweiten Zeile. Dies erzeugt zwei verschiedene Linien durch einen Punkt, sowohl parallel zu einer anderen Linie, widerspricht dem Axiom.

Höhere Dimensionen

In höheren Dimensionsräumen ist eine Linie, die jeden einer Reihe von Linien in unterschiedlichen Punkten schneidet, ein Querschnitt dieses Reihe von Linien. Im Gegensatz zu dem zweidimensionalen (Ebene) Fall sind Transvers für Sätze von mehr als zwei Zeilen nicht garantiert. In euklidischen 3-Raum-3-Raum ist ein regulus ein Satz von skew linien , r, so dass durch jeden Punkt auf jeder Zeile von R ein Querschnitt von R und Durchging passiert Jeder Punkt eines Quertransvers von r gibt dort eine Linie von R. Der Satz von Quertransvers eines Regulus R ist auch ein Regulus, der als entgegengesetzte Regulus, R ° bezeichnet wird. In diesem Raum können drei einseitig skew-Linien immer auf einen Regulus ausgedehnt werden.

Verwandte Definitionen

Quellen

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).

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