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Unzählbar Definition

Uncountable otherwise known as uncountable set or uncountably infinite is an infinite set that contains too many elements to be countable. The uncountability of a set is closely related to its cardinal number. A set is uncountable if its cardinal number is larger than that of the set of all natural numbers. For instance, the set of real numbers is uncountable. If an uncountable set X is a subset of set Y, then Y is uncountable.

Charakterisierungen

Es gibt viele äquivalente Charakterisierungen der unzähligen Achterheit. Ein Set X ist unzulässig , wenn und nur, wenn eine der folgenden Bedingungen festhalten:

  • Es gibt keine injektivfunktion von x zum Satz von natürlichen Zahlen.

  • X ist nicht leer und für jeden, und für jedes Element von X existieren X, es gibt mindestens ein Element von X, das nicht darin enthalten ist. Das heißt, x ist nicht leer und es gibt keine surjektivfunktion von der natürlichen Zahlen zu X.

  • Die -Kardinalität von x ist weder endlich noch gleich ? 8501; 0 ( aleph-null , kardinalität der natürlichen Zahlen).

  • Das Set x hat kardinalität streng größer als ℵ 0 .

Die ersten drei dieser Charakterisierungen können in Zermelo-Fraenkel-Set-Theorie ohne das Axiom der Wahl nachgewiesen werden, aber die Äquivalenz des dritten und vierten kann nicht ohne zusätzliche Wahlgrundsätze nachgewiesen werden.

Beispiele

Beispiele für unzählbarkeit:

  • Das bekannteste Beispiel eines unzähligen Satzes ist der Satz R aller reellen Zahlen. Das Diagonalargument des Kantors zeigt, dass dieses Set unzählig ist. Die Diagonalisierungs-Proof-Technik kann auch verwendet werden, um zu zeigen, dass mehrere andere Sätze unzählbar sind, beispielsweise der Satz aller unendlichen Sequenzen von natürlichen Zahlen und dem Satz aller Untermengen des Satzes von natürlichen Zahlen. Die Kardinalität von R wird häufig als Kardinalität des Kontinuums bezeichnet und von C oder 2 0 (Beth-on) bezeichnet.

  • Der Cantor-Set ist eine unzählige Teilmenge von R. Der Cantor-Set ist ein fraktal und hat Hausdorff-Abmessung größer als Null, aber weniger als eins (r hat Bemaßung eins). Dies ist ein Beispiel für folgende Tatsache: Jede Teilmenge von R von Hausdorff-Dimension, die streng größer als Null ist, muss unzulässig sein.

  • Ein anderes Beispiel eines unzählbaren Satzes ist der Satz aller Funktionen von R bis R. Dieser Satz ist noch unzulässig als R in dem Sinne, dass die Kardinalität dieses Sets Beth-zwei ist, was größer ist als Beth-One.

  • Ein abstrakteres Beispiel eines unzählbaren Satzes ist der Satz aller zählbaren Ordnungszahlen , die von Ω bezeichnet wird; oder ω 1 . Die Kardinalität von Ω ist bezeichnet und # 8501; 1 (Aleph-on). Es kann mit dem Axiom der Wahl gezeigt werden, dass ℵ 1 die kleinste unzählige Kardinalzahl ist. Entweder entweder BETH-ONE, die Kardinalität der Realen, ist gleich ? 8501; 1 oder es ist streng größer. Georg Cantor war der erste, der die Frage vorschlägt, ob Beth-One gleich ist, ℵ 1 . 1900 stellte David Hilbert diese Frage als erste seiner 23 Probleme auf. Die Aussage, die ℵ 1 < Axiom der Wahl).

Ohne das Axiom der Wahl

Ohne das Axiom der Wahl kann es Kardinalitäten existieren, die nicht komprimierbar sind, um ℵ 0 (nämlich die Kardinalitäten von Dedekind-Finite Infinite-Sets). Sätze dieser Kardinalitäten erfüllen die ersten drei Eigenschaften darüber, aber nicht die vierte Charakterisierung. Da diese Sets nicht größer als die natürlichen Zahlen im Sinne der Kardinalität sind, möchten einige möglicherweise nicht unzählbar angerufen werden. Wenn der Axiom der Wahl gilt, sind die folgenden Bedingungen auf einem Kardinal κ sind gleichwertig:

  • κ ≰ ℵ0;

  • κ ≻ ℵ0; and

  • κ ≥ ℵ 1 , wobei ℵ 1 = | ω 1 | und ω 1 ist am wenigsten initial ordinal größer als ω.

Diese können jedoch alle unterscheiden, wenn der Axiom der Wahl fehlschlägt. Es ist also nicht offensichtlich, welcher die angemessene Verallgemeinerung der Achterheit ist, wenn der Axiom fehlschlägt. Es kann am besten sein, das Wort in diesem Fall nicht mit dem Wort zu vermeiden, und geben Sie an, welches dieser dieser dieser ein bedeutet.

Verwandte Definitionen

Quellen

“Uncountable Set.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 23 Mar. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Uncountable_set.

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