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Sistema Indeterminado de Ecuaciones Definición

El sistema subdesterino de ecuaciones es un sistema de ecuaciones lineales o un sistema de ecuaciones polinomiales si hay menos ecuaciones que las variables (en contraste con un < Span> Sistema sobremandado de ecuaciones , donde hay más ecuaciones que las variables). Por ejemplo, un sistema con dos ecuaciones y tres variables desconocidas está fuera deteriorado. De la nota es el hecho de que un sistema subdesterino puede ser consistente o inconsistente , dependiendo de las ecuaciones. La terminología se puede explicar utilizando el concepto de conteo de restricciones. Cada desconocido puede verse como un grado disponible de libertad. Cada ecuación introducida en el sistema se puede ver como una restricción que restringe un grado de libertad.

Por lo tanto, se produce el caso crítico (entre ateternatino y subdesterino) cuando el número de ecuaciones y el número de variables libres son iguales. Por cada variable que da un grado de libertad, existe una restricción correspondiente que elimina un grado de libertad. El caso subdesterino, por el contrario, ocurre cuando el sistema ha sido subestapado, es decir, cuando las incógnitas superan en número a las ecuaciones.

Soluciones de Sistemas Indeterminados

Un sistema lineal subdesterino no tiene ninguna solución o infinitamente muchas soluciones. Por ejemplo, x + y + z = 1 y x + y + z = 0 es un sistema sin protección sin ninguna solución; Se dice que cualquier sistema de ecuaciones que no tenga solución es inconsistente. Por otro lado, el sistema x + y + z = 1 y x + y + 2z = 3 es consistente y tiene una infinitud de soluciones, tales como (x, y, z) = (1, -2, 2), (2, -3, 2), y (3, -4, 2). Todas estas soluciones se pueden caracterizar primero restando la primera ecuación desde el segundo, para mostrar que todas las soluciones obedecen z = 2; El uso de esto en cualquiera de las ecuaciones muestra que cualquier valor de Y es posible, con x = -1 - y.

Más específicamente, de acuerdo con el teorema de ROCHÉ-CAPELLI, cualquier sistema de ecuaciones lineales (subdesterminadas o de otro tipo) es inconsistente si el rango de la matriz aumentó es mayor que el rango de la matriz coeficiente . Si, por otro lado, las filas de estas dos matrices son iguales, el sistema debe tener al menos una solución; Dado que en un sistema subdesterino, este rango es necesariamente menor que el número de incógnitas, de hecho, existen una infinitud de soluciones, con la solución general que tiene par parámetros libres donde k es la diferencia entre el número de variables y el rango.

There are algorithms to decide whether an underdetermined system has solutions, and if it has any, to express all solutions as linear functions of k of the variables (same k as above). The simplest one is Gaussian elimination. See System of linear equations for more details.

Caso homogéneo

El homogéneo (con todos los términos constantes iguales a cero), el sistema lineal no protegido siempre tiene soluciones no triviales (además de la solución trivial donde todas las incógnitas son cero). Hay una infinidad de tales soluciones, que forman un espacio vector , cuya dimensión es la diferencia entre el número de incógnitas y el rango de la matriz del sistema.

Sistemas polinomiales inferiores

La propiedad principal de los sistemas underdesternos lineales, de tener ninguna solución o infinitamente, se extiende a los sistemas de ecuaciones polinomiales de la siguiente manera.

Se dice que un sistema de ecuaciones polinomiales que tiene menos ecuaciones que desconocidas. Tiene infinitamente muchas soluciones complejas (o, más generalmente, soluciones en un campo algebraicamente cerrado) o es inconsistente. Es inconsistente si y solo si 0 = 1 es una combinación lineal (con coeficientes polinomiales) de las ecuaciones (esto es el nullstelensatz de Hilbert). Si un sistema subdesterino de las ecuaciones t en las variables n (T

Sistemas Indeterminados con Otras Restricciones y en Problemas de Optimización

En general, un sistema subdesterino de ecuaciones lineales tiene un número infinito de soluciones, en su caso. Sin embargo, en los problemas de optimización que están sujetos a restricciones de igualdad lineal, solo una de las soluciones es relevante, a saber, la que da el valor más alto o más bajo de una función objetiva.

Algunos problemas especifican que una o más de las variables están limitadas para asumir valores enteros. Una restricción de enteros conduce a programación de enteros y problemas de ecuaciones de diofantina, que pueden tener solo un número finito de soluciones. Otro tipo de restricción, que aparece en la teoría de codificación, especialmente en errores que corrigen los códigos y el procesamiento de la señal (por ejemplo, la detección comprimida), consiste en un límite superior en el número de variables que pueden ser diferentes de cero. En error, corrige los códigos, este límite corresponde al número máximo de errores que se pueden corregir simultáneamente.

Definiciones relacionadas

Fuentes

“Underdetermined System.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 16 June 2019, en.wikipedia.org/wiki/Underdetermined_system.

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