Koti Kaikki Määritelmät Geometria Poikittainen Määritelmä

Poikittainen Määritelmä

Transversal on linja , joka kulkee kahden linjan läpi samassa -tasossa kahdessa erillisessä -pisteessä . Poikittaisilla on rooli selvitettävä, ovatko kaksi muuta linjaa euclidean -tasossa rinnakkain . Kahden rivin kanssa tapahtuvan poikittaisen leikkauspisteet luovat erityyppisiä kulmapareja: peräkkäiset sisäkulmat , vastaavat kulmat ja Vaihtoehtoiset kulmat . Euclidin rinnakkaistylaation seurauksena, jos nämä kaksi viivaa ovat yhdensuuntaiset, peräkkäiset sisäkulmat ovat lisä , vastaavat kulmat ovat yhtä suuret ja vaihtoehtoiset kulmat ovat yhtä suuret. Alla oleva kaavio kuvaa poikittaista.

Poikittaisen kulmat

Transversal tuottaa 8 kulmaa, kuten yllä olevassa kaaviossa esitetään:

  • 4 molemmilla rivillä, nimittäin α, β, γ ja δ Ja sitten α /sub>; ja

  • Joista 4 on sisustus (kahden rivin välillä), nimittäin α, β, γ joista ovat ulkopuolisia, nimittäin α 1 , β 1 , γ ja δ.

Poikittaista, joka leikkaa kaksi yhdensuuntaista viivaa oikeassa kulmassa , kutsutaan kohtisuoraan poikittaiseksi. Tässä tapauksessa kaikki 8 kulmaa ovat oikeat kulmat. Kun viivat ovat rinnakkaisia, usein harkitaan tapaus, poikittainen tuottaa useita yhdenmukaisia ​​ ja useita lisäkulmia . Joillakin näistä kulmaparista on erityisiä nimiä, ja niistä käsitellään alla:

Vaihtoehtoiset kulmat

Yksi pari vaihtoehtoisia kulmia. Rinnakkaisilla viivoilla ne ovat yhdenmukaisia.

Vaihtoehtoiset kulmat ovat neljä kulmaparia, jotka:

  • Have distinct vertex points,

  • Makaa poikittaisen vastakkaisilla puolilla ja

  • Molemmat kulmat ovat sisätiloja tai molemmat kulmat ovat ulkopinta.

Jos yhden parin kaksi kulmaa ovat yhdenmukaisia, myös kunkin muun parin kulmat ovat yhteneviä. Absoluuttisen geometrian lause (siis pätevä sekä hyperbolisessa että euklidisen geometrian ) todistaa, että jos poikittaisen vaihtoehtoisten kulmien kulmat ovat yhdenmukaisia, niin nämä kaksi viivaa ovat yhdensuuntaisia ​​(leikkaamattomia). Euclidin rinnakkaistylaatiosta seuraa, että jos nämä kaksi viivaa ovat yhdensuuntaiset, poikittaisen vaihtoehtoisten kulmien parin kulmat ovat yhdenmukaisia.

Vastaavat kulmat

Yksi pari vastaavia kulmia. Rinnakkaisilla viivoilla ne ovat yhdenmukaisia.

Vastaavat kulmat ovat neljä kulmaparia, jotka:

  • On selkeät kärkipisteet,

  • Makaa samalta poikittaisen puolelta ja

  • Yksi kulma on sisustus ja toinen ulkopinta.

Kaksi viivaa ovat yhdensuuntaiset, jos ja vain jos minkä tahansa poikittaisen vastaavan kulman parin kaksi kulmaa ovat yhdenmukaisia. absoluuttisen geometrian -lause (siis voimassa sekä hyperbolisessa että euklidisen geometrian suhteen) todistaa, että jos vastaavien poikittaisen kulmien kulmat ovat yhdenmukaisia, niin nämä kaksi linjaa ovat yhdensuuntaiset (kiinnittämättä) . Euclidin rinnakkaista postulaatiosta seuraa, että jos nämä kaksi viivaa ovat yhdensuuntaiset, vastaavien poikittaisen kulman parin kulmat ovat yhdenmukaisia. Jos yhden vastaavan kulman parin kulmat ovat yhdenmukaisia, myös kunkin muun parin kulmat ovat yhteneviä. Erilaisissa kuvissa, joilla on tämän sivun yhdensuuntainen viiva, vastaavat kulmaparit ovat: α = α = β 1 , γ = γ = δ

Peräkkäiset sisäkulmat

Yksi pari peräkkäisiä kulmia. Rinnakkaisilla viivoilla ne lisäävät kaksi oikeaa kulmaa.

Peräkkäiset sisäkulmat ovat kaksi paria kulmaparia, jotka:

  • On selkeät kärkipisteet,

  • Makaa samalta poikittaisen puolelta ja

  • Ovat molemmat sisätilat.

Kaksi viivaa ovat yhdensuuntaiset, jos ja vain jos minkä tahansa poikittaisen peräkkäisen sisäkulman parin kaksi kulmaa ovat täydentävät (summa 180 °). Absoluuttisen geometrian lause (siis pätevä sekä hyperbolisessa että euklidisen geometrian suhteen) todistaa, että jos peräkkäisten sisäkulmien parin kulmat ovat täydentäviä, nämä kaksi viivaa ovat yhdensuuntaiset (kiinnittämättömät). Euclidin rinnakkaistylaatiosta seuraa, että jos nämä kaksi viivaa ovat yhdensuuntaiset, poikittaisen peräkkäisten sisäkulmien parin kulmat ovat täydentäviä. Jos yksi pari peräkkäistä sisäkulmaa on täydentävä, toinen pari on myös lisä.

Muut ominaisuudet

Jos kolme linjaa yleisesti muodostuvat kolmion, sitten leikkaa poikittainen, kuuden tuloksena olevien segmenttien pituudet tyydyttävät Menelausin lauseen .

Liittyvät lauseet

Euclidin formulaatio rinnakkaista postulaatiosta voidaan ilmaista poikittaisina. Erityisesti, jos poikittaisen samalla puolella olevat sisäkulmat ovat alle kaksi oikeaa kulmaa, linjojen on oltava leikkaus. Itse asiassa Euclid käyttää samaa lausetta kreikassa, joka yleensä käännetään poikittaiseksi.

Euclidin ehdotuksessa 27 todetaan, että jos poikittainen leikkaa kaksi viivaa siten, että vaihtoehtoiset sisäkulmat ovat yhdenmukaisia, linjat ovat yhdensuuntaiset. Euclid todistaa tämän ristiriidassa: Jos viivat eivät ole yhdensuuntaisia, niiden on oltava leikkaus ja kolmio muodostuu. Sitten yksi vaihtoehtoisista kulmista on ulkokulma, joka on yhtä suuri kuin toinen kulma, joka on vastakkainen sisäkulma kolmiossa. Tämä on ristiriidassa ehdotuksen 16 kanssa, jonka mukaan kolmion ulkokulma on aina suurempi kuin vastakkaiset sisäkulmat.

Euclidin ehdotus 28 laajentaa tätä tulosta kahdella tavalla. Ensinnäkin, jos poikittainen leikkaa kaksi viivaa siten, että vastaavat kulmat ovat yhdenmukaisia, linjat ovat yhdensuuntaiset. Toiseksi, jos poikittainen leikkaa kaksi viivaa siten, että sisäkulmat poikittaisen samalla puolella ovat täydentäviä, linjat ovat yhdensuuntaiset. Ne seuraavat edellisestä ehdotuksesta soveltamalla sitä tosiasiaa, että risteysviivojen vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret ja että vierekkäiset kulmat linjalla ovat täydentäviä. Kuten Proclus totesi, Euclid antaa vain kolme mahdollisesta kuudesta rinnakkaisviivojen kriteeristä.

Euclidin ehdotus 29 on päinvastainen kahdelle edelliselle. Ensinnäkin, jos poikittainen leikkaa kaksi yhdensuuntaista viivaa, vaihtoehtoiset sisäkulmat ovat yhdenmukaisia. Jos ei, niin yksi on toinen suurempi kuin toinen, mikä tarkoittaa, että sen lisäys on pienempi kuin toisen kulman lisäys. Tämä tarkoittaa, että poikittaisen samalla puolella on sisäkulmat, jotka ovat alle kaksi suorakulmaa, mikä on ristiriidassa viidennen postulaatin kanssa. Ehdotus jatkuu väittämällä, että kahden yhdensuuntaisen viivan poikittaisessa vastaavat kulmat ovat yhdenmukaisia ​​ja saman puolen sisäkulmat ovat yhtä suuret kuin kaksi suorakulmaa. Nämä lausunnot seuraavat samalla tavalla kuin Prop. 28 seuraa Prop. 27.

Euclidin todiste käyttää välttämätöntä viidennen postulaatin, mutta geometrian käyttöä Playfairin Axiom -käsittelyt. Ehdotuksen 29 todistamiseksi olettaen, että Playfairin aksiooma, olkoon poikittainen risti kaksi yhdensuuntaista viivaa ja oletetaan, että vaihtoehtoiset sisäkulmat eivät ole yhtä suuret. Piirrä kolmas rivi pisteen läpi, jossa poikittainen ylittää ensimmäisen rivin, mutta kulmassa, joka on yhtä suuri kuin kulma, jonka poikittainen tekee toisella viivalla. Tämä tuottaa kaksi erilaista viivaa pisteen läpi, molemmat yhdensuuntaisesti toisen viivan kanssa, jotka ovat ristiriidassa aksiooman kanssa.

Korkeammat mitat

Suuremmissa ulottuvuuksissa, linja, joka leikkaa jokaisen linjaryhmän erillisissä pisteissä, on kyseisen linjaryhmän poikittainen. Toisin kuin kaksiulotteinen (taso) tapaus, poikittaisia ​​ei taata olevan olemassa useamman kuin kahden rivin sarjoissa. Euclidean 3-avaruudessa A Regulus on sarja vinojen linjoja r, siten, että jokaisen R: n jokaisen pisteen läpi kulkee siellä r: n ja läpi Jokainen R: n poikittaispiste kulkee R. R: n linjan R. Tässä tilassa kolme molemminpuolisesti vinossa olevaa linjaa voidaan aina laajentaa säätelyyn.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Lähteet

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).

×

Sovellus

Katso ilmainen sovelluksemme iOS & Androidille.

Lisätietoja sovelluksestamme Vieraile täällä!

Lisää aloitusnäytölle

Lisää matematiikan Converse sovellukseksi aloitusnäyttöön.

Sovellus

Katso ilmainen työpöytäsovelluksemme MacOS, Windows & Linux.

Lisätietoja työpöytäsovelluksestamme Vieraile täällä!

Selaimen laajennus

Katso ilmainen selaimen laajennus Chrome, Firefox, Edge, Safari ja Opera.

Lisätietoja selaimen laajennuksesta Vieraile täällä!

Tervetuloa matematiikkaan

Paikanpitäjä

Paikanpitäjä

Mainita tämä sivu

QR koodi

Ota valokuva QR -koodista jakaaksesi tämän sivun tai avataksesi sen nopeasti puhelimellasi:

Jaa
×