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Accord Définition

Une corde d'un cercle est un segment de droite à l'intérieur d'un cercle dont les points terminaux reposent tous les deux sur ce cercle. L'extension de ligne infinie d'un accord est une ligne sécante, ou simplement sécante. Plus généralement, une corde est un segment de droite joignant deux points sur n'importe quelle courbe, par exemple une ellipse. Une corde qui passe par le point central d'un cercle est le diamètre du cercle. Le mot accord est dérivé du terme Latin chorda signifiant corde d'arc. Le terme est également utilisé dans la théorie des graphes, où un accord de cycle d'un cycle de graphe C est une arête non en C dont les extrémités se trouvent en C .

Cercles

Parmi les propriétés des accords d’un cercle sont les suivantes:

  • Les accords sont équidistants du centre si et seulement si leurs longueurs sont égales.

  • Les accords égaux sont sous-tendants par des angles égaux du centre du cercle.

  • Un accord qui traverse le centre d'un cercle est appelé diamètre et est la plus longue corde.

  • Si les extensions de ligne (lignes sécantes) des accords AB et CD se croisent à un point P, alors leurs longueurs satisfont à AP · PB = CP · PD (puissance d'un théorème de point).

Ellipses

Les points médians d'un ensemble de cordes parallèles d'une ellipse sont colinéaires.

Trigonométrie

Les accords ont été largement utilisés dans le développement précoce de la trigonométrie . La première table trigonométrique connue, compilée par Hipparchus, tabula la valeur de la fonction d'accord pour chaque 7,5 degrés . Au deuxième siècle, Ptolemy of Alexandrie a compilé une table d'accords plus étendue dans son livre sur l'astronomie, donnant la valeur de l'accord pour les angles allant de 1/2 degré à 180 degrés par incréments de demi-degré. Le cercle était de diamètre 120 et les longueurs de l'accord sont précises pour deux chiffres de base-60 après la partie entière.

La fonction d'accord est définie géométriquement comme indiqué sur l'image. La corde d'un angle est la longueur de la corde entre deux points sur un cercle unitaire séparés par cet angle central. L'angle θ est pris dans le sens positif et doit être compris dans l'intervalle 0 < θ ≤ π (mesure en radians). La fonction d'accord peut être liée à la fonction moderne sinus, en prenant l'un des points pour être (1,0) et l'autre point pour être (cos θ, sin θ), puis en utilisant le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de la corde: crd θ =  (1 – cos θ)2 + sin2 θ  =  2 – 2cos θ  = 2 sin(θ2).

La dernière étape utilise la formule demi-angle . Beaucoup de trigonométrie moderne est construite sur la fonction sinusale, une trigonométrie ancienne a été construite sur la fonction d'accord. Hipparchus est prétendue avoir écrit un travail de douze volumes sur des accords, tout en étant perdus, il y a probablement une bonne affaire à leur sujet. Dans le tableau ci-dessous (où C est la longueur de l'accord et D le diamètre du cercle) La fonction d'accord peut être montrée pour satisfaire de nombreuses identités analogues à des modernes bien connus:

Nom

À base de sinus

À base d'accord

Pythagoricien

sin2 θ + cos2 θ = 1

crd2 θ + crd2 (π - θ) = 4

Demi-angle

sin θ2 = ±  1 - cos θ2 

crd θ2 = ±  2 - crd(π - θ) 

Apothem (a)

c = 2 r2 - a2 

c =  D2 - 4a2 

Angle (θ)

c = 2r sin(θ2)

c = D2crd θ

Définitions connexes

Sources

“Chord.” From Wolfram MathWorld, mathworld.wolfram.com/Chord.html.

“Chord (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 7 May 2020, en.wikipedia.org/wiki/Chord_(geometry).

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