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Inconnue infinie Définition

Indénombrable infini autrement appelé indénombrable ou ensemble indénombrable est un ensemble infini qui contient trop d'éléments pour être dénombrable. L'indénombrabilité d'un ensemble est étroitement liée à son nombre cardinal. Un ensemble est indénombrable si son nombre cardinal est supérieur à celui de l'ensemble de tous les nombres naturels. Par exemple, l'ensemble des nombres réels est indénombrable. Si un ensemble indénombrable X est un sous-ensemble de l'ensemble Y, alors Y est un ensemble indénombrable infini.

Caractérisations

Il y a de nombreuses caractérisations équivalentes d'une indomptabilité. Un ensemble X est indénombrable si et seulement si l'une des conditions suivantes contient:

  • Il n'y a pas de fonction injective de x à l'ensemble des nombres naturels.

  • X est non vide et pour chaque ω la présence d'éléments de x, il existe au moins un élément de x non inclus dans celui-ci. C'est-à-dire que x n'est pas vide et il n'y a pas de fonction sujective des nombres naturels à X.

  • La cardinalité de x n'est ni finie ni égale à ℵ 0 ( Aleph-Null , la cardinalité des nombres naturels).

  • Le Set X a une cardinalité strictement supérieure à et # 8501; 0 .

Les trois premières de ces caractérisations peuvent être prouvées équivalentes dans la théorie du set de Zermelo-Fraenkel sans le axiome de choix , mais l'équivalence des troisième et quatrième ne peut être prouvée sans principes de choix supplémentaires.

Exemples

Exemples d'indénombrable:

  • L'exemple le plus connu d'un ensemble indénombrable est l'ensemble R de tous les nombres réels. L'argument diagonal de Cantor montre que cet ensemble est indénotable. La technique de la protection de la diagonalisation peut également être utilisée pour montrer que plusieurs autres ensembles sont indénombés, tels que l'ensemble de toutes les séquences infinies de nombres naturels et l'ensemble de tous les sous-ensembles de l'ensemble de nombres naturels. La cardinalité de R est souvent appelée cardinalité du continuum et désignée par C, ou 2 0 (Beth-One).

  • L'ensemble Cantor est un sous-ensemble Incomptable de R. L'ensemble Cantor est un fractal et a une dimension Hausdorff supérieure à zéro mais moins d'une (R a une dimension une dimension). Ceci est un exemple de fait: tout sous-ensemble de la dimension R de Hausdorff strictement supérieure à zéro doit être indénitable.

  • Un autre exemple d'un ensemble indénombrable est l'ensemble de toutes les fonctions de R à R. Cet ensemble est encore plus indénombrable que R en ce sens que la cardinalité de cet ensemble est Beth-deux, plus grande que Beth-One.

  • Un exemple plus abstrait d'un ensemble indénombrable est l'ensemble de tous les numéros ordinaires comptables , notés par Ω ou ω 1 . La cardinalité de Ω est noté ℵ 1 (Aleph-One). Il peut être montré, en utilisant l'axiome de choix, que ℵ 1 est le plus petit nombre cardinal indénombrable. Ainsi, Beth-One, la cardinalité des réels est égale à ℵ 1 ou est strictement plus grand. Georg Cantor a été le premier à proposer la question de savoir si Beth-One est égal à ℵ 1 . En 1900, David Hilbert a posé cette question comme le premier de ses 23 problèmes. La déclaration que ℵ 1 = Beth-one est désormais appelée hypothèse de continuum et est connue pour être indépendante des axiomes de zermelo-frenkel pour Théorie de jeu (y compris le axiome de choix).

Sans l'axiome de choix

Sans l'axiome de choix, il pourrait exister des cardinalités incomparables à ℵ 0 (nommément, les cardinalités des ensembles infinis dedrekind-finis). Les ensembles de ces cardinalités satisfont les trois premières caractérisations ci-dessus mais pas la quatrième caractérisalisation. Parce que ces ensembles ne sont pas plus grands que les nombres naturels dans le sens de la cardinalité, certains peuvent ne pas vouloir les appeler indénombrables. Si l'axiome de choix détient, les conditions suivantes sur un cardinal κ sont équivalents:

  • κ ≰ ℵ0;

  • κ ≻ ℵ0; and

  • κ ≥ ℵ 1 , où ℵ 1 = | ω 1 | et ω 1 est le moins ordinal initial supérieur à et # 969 ;.

Cependant, ceux-ci peuvent tous être différents si l'axiome de choix échoue. Il n'est donc pas évident que l'on est la généralisation appropriée de l'indétabilité lorsque l'axiome échoue. Il peut être préférable d'éviter d'utiliser le mot dans ce cas et de spécifier lequel de ces un moyen.

Définitions connexes

Sources

“Uncountable Set.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 23 Mar. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Uncountable_set.

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