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Système d'équations sous licence Définition

Système d'équations sous liciné est un système de équations linéaires ou un système d'équations polynomiales s'il y a moins d'équations que variables (contrairement à un < SPAN> Système d'équations surdéterminé , où il y a plus d'équations que de variables). Par exemple, un système avec deux équations et trois variables inconnues est sous-définie. On note que le fait qu'un système sous-soi-disé pourrait être soit cohérent ou incohérent , en fonction des équations. La terminologie peut être expliquée à l'aide du concept de comptage des contraintes. Chaque inconnu peut être considéré comme un degré de liberté disponible. Chaque équation introduite dans le système peut être considérée comme une contrainte qui limite un degré de liberté.

Par conséquent, le cas critique (entre surdéterminé et sous-médicament) se produit lorsque le nombre d'équations et le nombre de variables libres sont égaux. Pour chaque variable donnant un degré de liberté, il existe une contrainte correspondante supprimant un degré de liberté. Le cas sous-fondé, en revanche, se produit lorsque le système a été sous-construit, c'est-à-dire lorsque les inconnues sont supérieures aux équations.

Solutions de systèmes sous-vêtements

Un système linéaire sous-déterminé n'a pas de solution ou une infinité de solutions. Par exemple, x + y + z = 1 et x + y + z = 0 est un système sous-déterminé sans aucune solution; tout système d'équations n'ayant pas de solution est dit incohérent. D'autre part, le système x + y + z = 1 et x + y + 2z = 3 est cohérent et a une infinité de solutions, telles que (x, y, z) = (1, −2, 2), (2, −3, 2), et (3, −4, 2). Toutes ces solutions peuvent être caractérisées en soustrayant d'abord la première équation de la seconde, pour montrer que toutes les solutions obéissent à z = 2 ; l'utiliser dans l'une ou l'autre des équations montre que n'importe quelle valeur de y est possible, avec x = –1 – y.

Plus précisément, selon le théorème de Rouché–Capelli, tout système d’équations linéaires (sous-déterminé ou non) est incohérent si le rang de la matrice augmentée est supérieur au rang de la matrice des coefficients. Si, au contraire, les rangs de ces deux matrices sont égaux, le système doit avoir au moins une solution ; puisque dans un système sous-déterminé ce rang est nécessairement inférieur au nombre d’inconnues, il y a bien une infinité de solutions, la solution générale ayant k paramètres libres où k est la différence entre le nombre de variables et le rang.

Il existe des algorithmes pour décider si un système sous-déterminé a des solutions, et s’il en a, pour exprimer toutes les solutions sous forme de fonctions linéaires de k du variables (même k que ci-dessus). La plus simple est l’élimination gaussienne. Voir Système d’équations linéaires pour plus de détails.

Cas d'homogène

L'homogène (avec tous les termes constants égaux à zéro) système linéaire sous-médicament a toujours des solutions non triviales (en plus de la solution triviale où toutes les inconnues sont nulles). Il existe une infinité de telles solutions, qui forment un espace de vecteur , dont la dimension est la différence entre le nombre d'inconnues et le rang de la matrice du système.

Systèmes polynomiaux sous-vêtements

La principale propriété des systèmes sous-vêtements linéaires, d'avoir sans solution ni infiniment beaucoup, s'étend aux systèmes d'équations polynomiales de la manière suivante.

Un système d'équations polynomiales comportant moins d'équations que d'inconnues est dit sous-fondé. Il a soit infiniment de nombreuses solutions complexes (ou, plus généralement des solutions dans un champ algébraïciquement fermé) ou incompatible. Il est incompatible si et seulement si 0 = 1 est une combinaison linéaire (avec coefficients polynomiaux) des équations (c'est Nullstellensatz de Hilbert). Si un système sous-fondé d'équations T dans N variables (t

Systèmes sous-fondés avec d'autres contraintes et problèmes d'optimisation

En général, un système sous-fondé d'équations linéaires a un nombre infini de solutions, le cas échéant. Toutefois, dans les problèmes d'optimisation soumis à des contraintes d'égalité linéaire, seule une des solutions est pertinente, à savoir celui qui donne la valeur la plus élevée ou la plus basse d'une fonction objective.

Certains problèmes spécifient qu'une ou plusieurs variables sont contraintes à prendre des valeurs entières. Une contrainte entière conduit à des problèmes d'équations entier et d'équations de diophantine, qui ne peuvent avoir qu'un nombre fini de solutions. Un autre type de contrainte, qui apparaît dans la théorie de codage, en particulier dans la correction des erreurs et le traitement du signal (par exemple, la détection comprimée), consiste en une limite supérieure du nombre de variables pouvant être différentes de zéro. Dans les codes de correction des erreurs, cette liaison correspond au nombre maximal d'erreurs pouvant être corrigées simultanément.

Définitions connexes

Sources

“Underdetermined System.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 16 June 2019, en.wikipedia.org/wiki/Underdetermined_system.

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