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Transversale Définition

Un transversal est une ligne qui traverse deux lignes dans le même plan à deux points distincts . Les transversaux jouent un rôle dans l'établissement de la question de savoir si deux autres lignes du plan euclidien sont parallèle . Les intersections d'une transversale avec deux lignes créent différents types de paires d'angles: angles intérieurs , angles correspondants et angles alternatifs . En conséquence de l'Euclid's postulatif parallèle , si les deux lignes sont parallèles, des angles intérieurs consécutifs sont complémentaires , les angles correspondants sont égaux et les angles alternatifs sont égaux. Le diagramme ci-dessous illustre une transversale.

Angles d'un transversal

Une sécante produit 8 angles, comme le montre le graphique ci-dessus:

  • 4 avec chacune des deux lignes, nommément α β γ et δ et ensuite α 1 , β 1 , γ 1 et δ 1 < / sub>; et

  • 4 dont sont intérieurs (entre les deux lignes), nommément α et # 947; γ 1 et δ 1 et 4 dont sont extérieurs, nommément α 1 , β 1 , & # 947; et δ.

Un transversal qui coupe deux lignes parallèles à angles droits s'appelle une transversale perpendiculaire transversale. Dans ce cas, tous les 8 angles sont des angles droits. Lorsque les lignes sont parallèles, un cas qui est souvent pris en compte, un transversal produit plusieurs angles supplémentaires et plusieurs . Certains de ces paires d'angle ont des noms spécifiques et sont discutés ci-dessous:

Angles alternatifs

Une paire d'angles alternatifs. Avec des lignes parallèles, ils sont congruents.

Les angles alternés sont les quatre paires d’angles qui:

  • Avoir des points vertex distincts,

  • Se trouvent sur les côtés opposés de la transversale et

  • Les deux angles sont intérieurs ou les deux angles sont extérieurs.

Si les deux angles d'une paire sont congruents, les angles de chacune des autres paires sont également congruents. Un théorème de la géométrie absolue (donc valable dans les deux hyperbolique et géométrie euclidienne ), prouve que si les angles d'une paire d'angles alternatifs d'une transversale sont congruents, alors les deux lignes sont parallèles (non interssers). Il découle du postulatif parallèle d'Euclid selon lequel si les deux lignes sont parallèles, les angles d'une paire d'angles alternatifs d'une transversale sont congruents.

Angles correspondants

Une paire d'angles correspondants. Avec des lignes parallèles, ils sont congruents.

Les angles correspondants sont les quatre paires d’angles qui:

  • Avoir des points de sommet distincts,

  • Se trouvent du même côté de la transversale et

  • Un angle est l'intérieur et l'autre est exterieur.

Deux lignes sont parallèles si et seulement si les deux angles de n'importe quelle paire d'angles correspondants de tout transversal sont congruents. Un théorème de géométrie absolue (donc valable dans la géométrie hyperbolique et euclidienne), prouve que si les angles d'une paire d'angles correspondants d'une transversale sont congruents, les deux lignes sont parallèles (non interssercence) . Il découle du postulatif parallèle d'Euclid selon lequel si les deux lignes sont parallèles, les angles d'une paire d'angles correspondants d'une transversale sont congruents. Si les angles d'une paire d'angles correspondants sont congruents, les angles de chacune des autres paires sont également congruents. Dans les différentes images avec des lignes parallèles sur cette page, les paires d'angle correspondantes sont les suivantes: α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 et δ = δ 1 .

Angles intérieurs consécutifs

Une paire d'angles consécutifs. Avec des lignes parallèles, ils additionnent à deux angles droits.

Les angles intérieurs consécutifs sont les deux paires d’angles qui:

  • Avoir des points de sommet distincts,

  • Se trouvent du même côté de la transversale et

  • Sont les deux intérieurs.

Deux lignes sont parallèles si et uniquement si les deux angles de n'importe quelle paire d'angles intérieurs consécutifs de tout transversal sont complémentaires (somme à 180 °). Un théorème de la géométrie absolue (donc valable dans la géométrie hyperbolique et euclidienne), prouve que si les angles d'une paire d'angles intérieurs consécutifs sont complémentaires, les deux lignes sont parallèles (non interssercence). Il découle du postulatif parallèle d'Euclid selon lequel si les deux lignes sont parallèles, les angles d'une paire d'angles intérieurs consécutifs d'une transversale sont complémentaires. Si une paire d'angles intérieurs consécutifs est supplémentaire, l'autre paire est également complémentaire.

Autres propriétés

Si trois lignes en position générale forment un triangle sont ensuite coupées par une transversale, les longueurs des six segments qui en résultent satisfontent Théorème de Menelaus .

Théorèmes liés

La formulation de l'Euclid du postulat parallèle peut être indiquée en termes de transversale. Spécifiquement, si les angles intérieurs du même côté de la transversale sont inférieurs à deux angles droits, les lignes doivent se croiser. En fait, Euclid utilise la même phrase en grec qui est généralement traduite comme transversale.

La proposition d'Euclid 27 stipule que si un transversal coupe deux lignes de manière à ce que les angles intérieurs alternés soient congruents, les lignes sont parallèles. Euclid prouve cela par contradiction: si les lignes ne sont pas parallèles, elles doivent se croiser et un triangle est formé. Ensuite, l'un des angles alternés est un angle extérieur égal à l'autre angle qui est un angle intérieur opposé dans le triangle. Cela contredit la proposition 16 qui stipule qu'un angle extérieur d'un triangle est toujours plus grand que les angles intérieurs opposés.

La proposition d'Euclid 28 étend ce résultat de deux manières. Premièrement, si un transversal coupe deux lignes de sorte que les angles correspondants soient congruents, les lignes sont parallèles. Deuxièmement, si un transversal coupe deux lignes de manière à ce que les angles intérieurs du même côté de la transversale soient complémentaires, les lignes sont parallèles. Celles-ci suivent de la proposition précédente en appliquant le fait que des angles opposés de lignes intersectives sont égaux et que les angles adjacents sur une ligne sont complémentaires. Comme indiqué par ProClus, Euclid ne donne que trois des six critères de ce type possible de lignes parallèles.

La proposition d'Euclid 29 est une converse aux deux précédentes. Premièrement, si un transversal coupe deux lignes parallèles, les angles intérieurs alternés sont congruents. Sinon, on est plus grand que l'autre, ce qui implique son supplément est inférieur au complément de l'autre angle. Cela implique qu'il y a des angles intérieurs du même côté de la transversale inférieure à deux angles droits, contredisant le cinquième postulat. La proposition continue en indiquant que sur une transversale de deux lignes parallèles, les angles correspondants sont congruents et les angles intérieurs du même côté sont égaux à deux angles droits. Ces déclarations suivent de la même manière que le Prop. 28 découle de Prop. 27.

La preuve d'Euclid utilise toutefois l'utilisation essentielle du cinquième postulat, cependant, des traitements modernes d'utilisation de la géométrie Axiome de Playfair '/ Span> à la place. Pour prouver la proposition 29 supposant que l'axiome de Playfair, laissez une transversale de deux lignes parallèles et supposons que les angles intérieurs alternés ne sont pas égaux. Dessinez une troisième ligne à travers le point où la transversale traverse la première ligne, mais avec un angle égal à l'angle, le transversal fait avec la deuxième ligne. Cela produit deux lignes différentes à travers un point, à la fois parallèle à une autre ligne, contredisant l'axiome.

Dimensions plus élevées

Dans des espaces dimensionnels supérieurs, une ligne qui coupe chacun d'un ensemble de lignes de points distincts est une transversale de cet ensemble de lignes. Contrairement au boîtier bidimensionnel (plan), les transversaux ne sont pas garantis pour des ensembles de plus de deux lignes. Dans l'euclidien 3-espace, une Régulus est un ensemble de lignes asymétrices , r, de telle sorte que chaque point de chaque ligne de r, il passe une transversale de r et de travers Chaque point d'un transversal de r Il passe une ligne de R. L'ensemble des transversaux d'un Régulus R est également un reguleux, appelé Régulus opposé, R ° Dans cet espace, trois lignes mutuellement à mouche peuvent toujours être étendues à un régulus.

Définitions connexes

Sources

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).

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