非可算 定義

数えられないことの多くの同等の特徴づけがあります。セットXは、次の条件のいずれかが当てはまる場合に限り、カウントできません。

• Xから自然数の集合までの単射関数はありません。

• Xは空ではなく、Xの要素のすべての＆＃969;シーケンスに対して、それに含まれていないXの要素が少なくとも1つ存在します。つまり、Xは空ではなく、自然数からXまでの推測関数はありません。

• Xのカーディナリティは有限でも＆＃8501; _{0 （ aleph-null 、自然数のカーディナリティ）でもありません。}

• セットXのカーディナリティは、＆＃8501; ₀よりも厳密に大きくなっています。

これらの特性の最初の3つは、選択軸がないZermelo–Fraenkelセット理論で同等であると証明できますが、3番目と4番目の同等性は、追加の選択原則なしでは証明できません。

カウント不能の例:

• 非可算集合の最もよく知られている例は、すべての実数の集合Rです。カントールの対角論は、この集合が非可算であることを示しています。自然数のすべての無限のシーケンスのセットや自然数のセットのすべてのサブセットのセットなど、他のいくつかのセットが数えられないことを示すために、対角化証明手法を使用することもできます。 Rのカーディナリティは、連続体のカーディナリティと呼ばれることが多く、cまたは2 ^{＆＃8501; _{0 （beth-one）で表されます。}}

• The Cantor set is an uncountable subset of R. The Cantor set is a fractal and has Hausdorff dimension greater than zero but less than one (R has dimension one). This is an example of the following fact: any subset of R of Hausdorff dimension strictly greater than zero must be uncountable.

• 非可算集合の別の例は、RからRまでのすべての関数の集合です。この集合のカーディナリティがbeth-2であり、beth-1よりも大きいという意味で、この集合はRよりもさらに数えられません。

• カウントできないセットのより抽象的な例は、＆＃937;で示されるすべてのカウント可能な通常の番号のセットです。または＆＃969; ₁。 ＆＃937;のカーディナリティ＆＃8501; _{1 （aleph-one）で表されます。選択公理を使用して、＆＃8501; 1が最小の数えられない基数であることを示すことができます。したがって、実数のカーディナリティであるbeth-oneは、＆＃8501; 1 に等しいか、厳密に大きくなります。ゲオルク・カントールは、ベスワンが＆＃8501; 1に等しいかどうかという質問を最初に提案しました。 1900年に、DavidHilbertはこの質問を彼の23の問題の最初のものとして提起しました。 ＆＃8501; 1 = beth-oneというステートメントは、現在、連続体仮説と呼ばれ、集合論のツェルメロフレンケル公理から独立していることが知られています（選択公理）。}

選択公理がなければ、＆＃8501; _{0 とは比較にならないカーディナリティ（つまり、デデキント無限無限集合のカーディナリティ）が存在する可能性があります。これらのカーディナリティのセットは、上記の最初の3つの特性を満たしますが、4番目の特性は満たしません。これらのセットは、カーディナリティの意味での自然数よりも大きくないため、非可算と呼びたくない場合があります。選択公理が成り立つ場合、枢機卿の次の条件＆＃954;同等です：}

• κ ≰ ℵ₀;

• κ ≻ ℵ₀; and

• ＆＃954; ＆＃8805; ＆＃8501; _{1 、ここで＆＃8501; 1 = |＆＃969; 1 | ＆＃969; 1 は、＆＃969;よりも小さい初期順序です。}

ただし、選択公理が失敗した場合、これらはすべて異なる可能性があります。したがって、公理が失敗したときのカウント不能性の適切な一般化がどれであるかは明らかではありません。この場合、この単語の使用を避け、これらのどちらを意味するかを指定するのが最善の場合があります。

• 非可算集合
• 数え切れないほど無限

“Uncountable Set.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 23 Mar. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Uncountable_set.