算術 定義

算術の先史時代は、加算と減算の概念を示す可能性のある少数のアーティファクトに限定されています。最もよく知られているのは、中央アフリカのイシャンゴの骨で、紀元前2万年から1万8千年の間に遡ります。最も初期の書面による記録は、エジプト人とバビロニア人が紀元前2000年にはすべての初等算術演算を使用したことを示しています。これらのアーティファクトは、問題を解決するために使用される特定のプロセスを常に明らかにするわけではありませんが、特定の記数法の特性は、メソッドの複雑さに強く影響します。後のローマ数字のようなエジプトの数字の象形文字システムは、カウントに使用されるタリーマークから派生しました。どちらの場合も、この原点は10進数ベースを使用する値になりましたが、位置表記は含まれていませんでした。ローマ数字を使用した複雑な計算では、結果を取得するために、カウントボードまたはローマそろばんの支援が必要でした。バビロニア数字の六十進法（ベース60）やマヤ数字を定義する二十進法（ベース20）など、位取り記数法を含む初期の数体系は10進数ではありませんでした。この場所と値の概念により、同じ数字を異なる値に再利用できるため、計算方法がよりシンプルで効率的になりました。

The continuous historical development of modern arithmetic starts with the Hellenistic civilization of ancient Greece, although it originated much later than the Babylonian and Egyptian examples. Prior to the works of Euclid around 300 BC, Greek studies in mathematics overlapped with philosophical and mystical beliefs. For example, Nicomachus summarized the viewpoint of the earlier Pythagorean approach to numbers, and their relationships to each other, in his Introduction to Arithmetic. Greek numerals were used by Archimedes, Diophantus and others in a positional notation not very different from ours. The ancient Greeks lacked a symbol for zero until the Hellenistic period, and they used three separate sets of symbols as digits: one set for the units place, one for the tens place, and one for the hundreds. For the thousands place they would reuse the symbols for the units place, and so on. Their addition algorithm was identical to ours, and their multiplication algorithm was only very slightly different. Their long division algorithm was the same, and the digit-by-digit square root algorithm, popularly used as recently as the 20th century, was known to Archimedes, who may have invented it. He preferred it to Hero's method of successive approximation because, once computed, a digit doesn't change, and the square roots of perfect squares, such as 7485696, terminate immediately as 2736. For numbers with a fractional part, such as 546.934, they used negative powers of 60 instead of negative powers of 10 for the fractional part 0.934.

古代中国人は、シャン王朝から唐王朝まで、基本的な数字から高度な代数まで、高度な算術研究を行ってきました。古代中国人はギリシャ人と同様の位取り記数法を使用していました。また、ゼロの記号がないため、単位の場所に1セット、10の場所に2番目の記号がありました。数百の場所については、ユニットの場所のシンボルを再利用しました。彼らのシンボルは古代の算木に基づいていました。中国人がいつ位置表現で計算を始めたかを正確に決定することは複雑な質問ですが、それは間違いなく紀元前400年以前でした。劉徽が書いた九章算術（九章算術）で説明されているように、古代中国人は最初に負の数を有意義に発見し、理解し、適用しました。

ヒンドゥーアラビア記数法の段階的な発展により、場所の値の概念と位置表記法が独自に考案され、10進基数を使用したより簡単な計算方法と、0を表す数字の使用が組み合わされました。と小数。このアプローチは、最終的に他のすべてのシステムに取って代わりました。西暦6世紀初頭、インドの数学者アーリヤバタはこのシステムの既存のバージョンを彼の作品に取り入れ、さまざまな表記法を試しました。 7世紀に、Brahmaguptaは、0を個別の数値として使用することを確立し、ゼロによる除算の結果を除いて、ゼロおよび他のすべての数値の乗算、除算、加算、および減算の結果を決定しました。彼の同時代のシリアの司教SeverusSebokht（650 AD）は、「インド人は、言葉では十分に称賛できない計算方法を持っています。彼らの合理的な数学システム、または計算方法を持っています。つまり、9つの記号を使用するシステムを意味します。」 [5]アラブ人もこの新しい方法を学び、それをhesabと呼んだ。

ヴィギラヌスコーデックスは、西暦976年までにアラビア数字の初期の形式（0を省略）を記述しましたが、ピサのレオナルド（フィボナッチ）は、1202年に彼の著書「算盤の書」を出版した後、主にヨーロッパ全体にアラビア数字を広める責任がありました。インド人の方法（Latin Modus Indoram）は、既知の計算方法を上回っています。それは素晴らしい方法です。彼らは9つの数字とシンボルゼロを使用して計算を行います」。中世では、算術は大学で教えられた7つのリベラルアートの1つでした。中世のイスラム世界とルネッサンスヨーロッパでの代数の繁栄は、 10進表記による計算。さまざまな種類のツールが発明され、数値計算を支援するために広く使用されています。ルネッサンス以前は、さまざまな種類のabaciでした。最近の例としては、スライドルール、ノモグラム、Pascalの計算機などの機械計算機があります。 、それらは電子計算機とコンピューターに取って代わられました。

上に示したライプニッツの階段状レコナーは、4つの算術演算すべてを実行できる最初の計算機でした。

The basic arithmetic operations are addition, subtraction, multiplication and division, although this subject also includes more advanced operations, such as manipulations of percentages, square roots, exponentiation, logarithmic functions, and even trigonometric functions, in the same vein as logarithms (prosthaphaeresis). Arithmetic expressions must be evaluated according to the intended sequence of operations. There are several methods to specify this, either most common, together with infix notation explicitly using parentheses, and relying on precedence rules, or using a prefix or postfix notation, which uniquely fix the order of execution by themselves. Any set of objects upon which all four arithmetic operations (except division by zero) can be performed, and where these four operations obey the usual laws (including distributivity), is called a field.

加算（+）

加算は算術の最も基本的な操作です。単純な形式では、加算は2つの数値、加数または項を1つの数値、つまり数値の合計（2 + 2=4または3+5 = 8など）に結合します。有限の数を加算することは、単純な加算の繰り返しと見なすことができます。この手順は合計として知られています。これは、無限級数に無限に多くの数を加算するための定義を表すためにも使用される用語です。数字の1を繰り返し加算することは、カウントの最も基本的な形式です。 1を加算した結果は、通常、元の番号の後続と呼ばれます。

加算は可換と連想であるため、有限数の項が加算される順序は重要ではありません。 二項演算のidentity要素は、任意の数値と組み合わせると、結果と同じ数値になる数値です。加算の規則によれば、任意の数に0を加算すると同じ数が得られるため、0は加法単位元です。二項演算に関する数値の逆は、任意の数値と組み合わせると、この演算に関するIDを生成する数値です。したがって、加算に関する数値の逆数（加法逆数、または反対の数値）は、元の数値に加算されたときに加法単位元0を生成する数値です。これが元の数の負数であることはすぐにわかります。たとえば、7 +（-7）= 0であるため、7の反数は-7です。

加算は、次の例のように幾何学的に解釈できます。長さ3と6のスティックが2つある場合、スティックを次々に配置すると、3 + 6 = 9であるため、このように形成されたスティックの長さは9になります。

減算（-）

減算は、加算の逆の演算です。減算は、被減数から減数を引いた2つの数値の差を求めます。D= M-S。以前に確立された加算に頼ると、これは、差が減数に加算されたときに被減数になる数値であるということです。 D + S =M。正の引数の場合、MとSは成り立ちます。:

• 被減数が減数よりも大きい場合、差Dは正です。

• 被減数が減数よりも小さい場合、差Dは負になります。

• いずれにせよ、被減数と減数が等しい場合、差D=0です。

Subtraction is neither commutative nor associative. For that reason, in modern algebra the construction of this inverse operation is often discarded in favor of introducing the concept of inverse elements, as noted under Addition, and to look at subtraction as adding the additive inverse of the subtrahend to the minuend, that is a − b = a + (−b). The immediate price of discarding the binary operation of subtraction is the introduction of the (trivial) unary operation, delivering the additive inverse for any given number, and losing the immediate access to the notion of difference, which is potentially misleading when negative arguments are involved.

数値の表現には、結果を計算する方法があります。そのいくつかは、ある操作に存在する手順を、他の操作にも小さな変更を加えることで活用するのに特に有利です。たとえば、デジタルコンピュータは、既存の加算回路を再利用し、加算回路を節約して減算を実装できます。これは、ハードウェア（否定）。トレードオフは、固定ワード長の数値範囲を半分にすることです。

正しい変化量を達成するための以前は広く普及していた方法は、支払期日と与えられた量を知っており、差の値を明示的に生成しないカウントアップ方法です。必要な金額Qを支払うために金額Pが与えられ、PがQより大きいとします。明示的に減算P − Q = Cを実行し、その金額Cを変更でカウントするのではなく、後継者からお金をカウントします。 Q、そしてPに達するまで通貨のステップを続けます。カウントされる量は減算P− Qの結果と等しくなければなりませんが、減算が実際に行われることはなく、P −Qの値はこの方法では提供されません。

乗算（xまたは＆＃8729;または*）

乗算は、算術の2番目の基本演算です。乗算はまた、2つの数値を1つの数値（積）に結合します。元の2つの数値は乗数と被乗数と呼ばれ、ほとんどの場合、両方とも単に係数と呼ばれます。

乗算は、スケーリング操作と見なすことができます。数が一列に並んでいると想像される場合、1より大きい数、たとえばxを掛けることは、数1自体がxがあった場所に引き伸ばされるように、すべてを0から均一に引き伸ばすことと同じです。同様に、1未満の数値を乗算することは、0に向かってスクイーズすることと想像できます（ここでも、1が被乗数になるように）。

整数の乗算に関する別の見方は、有理数に拡張可能ですが、実数にはあまりアクセスできませんが、それを繰り返し加算と見なすことです。したがって、3×4は、4の3倍、または3の4倍の加算に対応し、同じ結果になります。数学教育におけるこれらのパラダイムの利点についてはさまざまな意見があります。

乗算は可換で結合的です。さらに、加算と減算よりも分配です。 乗法単位元は1です。これは、任意の数に1を掛けると、同じ数になるためです。 0以外の任意の数値の乗法逆は、この数値の逆数です。これは、任意の数値の逆数に数値自体を乗算すると、乗法ID1.0が唯一の場合であるためです。乗法逆数のない数値であり、任意の数と0を乗算した結果は再び0になります。0は数値の乗法グループに含まれていないと言われます。

aとbの積は、a×bまたはa＆＃8729;として記述されます。 b。 aまたはbが単純に数字で書かれていない式である場合、それは単純な並置によっても書かれます：ab。キーボードで通常見られる文字しか使用できないコンピュータプログラミング言語やソフトウェアパッケージでは、多くの場合、アスタリスクa*bで記述されます。

数値のさまざまな表現に対して乗算の演算を実装するアルゴリズムは、加算のアルゴリズムよりもはるかにコストと手間がかかります。手動計算でアクセスできるものは、因子を1つの場所の値に分解して繰り返し加算を適用するか、テーブルまたはスライドルールを使用して、乗算を加算と逆にマッピングします。 。これらの方法は時代遅れであり、モバイルデバイスに置き換えられています。コンピューターは、多様で高度に最適化されたアルゴリズムを利用して、システムでサポートされているさまざまな数値形式の乗算と除算を実装します。

分割（＆＃247;または/）

除算は本質的に乗算の逆演算です。除算は、被除数を除数で割った2つの数値の商を求めます。 ゼロで割った配当は未定義です。明確な正の数の場合、被除数が除数よりも大きい場合、商は1より大きく、それ以外の場合は1より小さくなります（負の数にも同様の規則が適用されます）。商に除数を掛けると、常に被除数が得られます。

除算は可換でも結合でもありません。したがって、減算で説明したように、現代の代数では、除算の構築は破棄され、そこで導入されているように、乗算に関して逆元を構築することになります。つまり、除算は、被除数と除数の逆数を因子として乗算したものです。つまり、＆＃247; b=a×1/b。

自然数の中には、異なるが関連する概念である除法の除算もあり、自然数N（分子）を自然数D（分母）で除算した結果が2つあります。まず、自然数Q（商）です。 ）および2番目に、N =D×Q+RおよびR

算術の基本定理では、1より大きい整数には、因数の順序を除いて、一意の素因数分解（素因数の積としての数値の表現）があります。たとえば、252には素因数分解が1つだけあります：252 = 2 ^{2 x 3 2 x 7 1。 ユークリッドの要素は最初にこの定理を導入し、部分的な証明を与えました（これはユークリッドの補題と呼ばれます）。算術の基本定理は、 Carl Friedrich Gaussによって最初に証明されました。算術の基本定理は、1が素数と見なされない理由の1つです。その他の理由としては、エラトステネスのふるいや素数自体の定義（2つの小さい自然数を掛けても形成できない1より大きい自然数）などがあります。}

10進表現は、一般的に、アラビア数字を数字として使用する記数法を排他的に指します。基数10（10進数）の位置表記。ただし、ギリシャ数字、キリル数字、ローマ数字、漢数字など、10の累乗に基づく数字システムは、概念的には10進表記または10進表現として記述できます。

4つの基本的な演算（加算、減算、乗算、除算）の最新の方法は、インドのブラフマグプタによって最初に考案されました。これは、中世ヨーロッパではModusIndoramまたはMethodoftheIndiansとして知られていました。位置表記（位取り記数法とも呼ばれます）とは、異なる桁数（1桁、10桁、100桁）で同じ記号を使用して数値を表現またはエンコードすることを指します。 基数ポイント。同じ記号を使用して分数（10分の1、100分の1）を表します。たとえば、507.36は、500（10 ^{2 ）、0 10（10 1 ）、7ユニット（10 0 ）、および10分の3（10 -1 ）と100分の6（10 -2 ）。}

他の基本桁に匹敵する数としてのゼロの概念は、プレースホルダーとしての0の使用の概念、および0による乗算と加算の定義と同様に、この表記に不可欠です。プレースホルダーとしての0の使用としたがって、位置表記の使用は、西暦458年のLokavibhâgaと題されたインドのジャイナ教のテキストで最初に証明され、アラビア世界の学問を通じて伝達されたこれらの概念が導入されたのは13世紀初頭のことでした。ヒンドゥーアラビア数字システムを使用してフィボナッチによってヨーロッパに。

Algorism は、このタイプの書かれた数字を使用して算術計算を実行するためのすべてのルールで構成されています。たとえば、加算は2つの任意の数の合計を生成します。結果は、同じ位置を占める各数値から右から左に向かって1桁を繰り返し加算することによって計算されます。 10行10列の加算テーブルには、各合計のすべての可能な値が表示されます。個々の合計が値9を超える場合、結果は2桁で表されます。右端の桁は現在の位置の値であり、その後に左に桁を追加した結果は、常に1（ゼロでない場合）である2番目（左端）の桁の値だけ増加します。この調整は、値1のキャリーと呼ばれます。2つの任意の数値を乗算するプロセスは、加算のプロセスと同様です。 10行10列の九九には、数字の各ペアの結果が一覧表示されます。桁のペアの個々の積が9を超える場合、キャリー調整により、左から2番目の桁（左端）に等しい値（1から8（9×））が後続の桁から乗算された結果が増加します。 9 = 81）。追加の手順で最終結果を定義します。減算と除算にも同様の手法があります。

乗算の正しいプロセスの作成は、隣接する桁の値間の関係に依存します。数字の1桁の値は、その位置によって異なります。また、左側の各位置は、右側の位置の10倍の値を表します。数学的には、10の radix （ベース）の exponent は、1（左）増加または1（右）減少します。したがって、任意の桁の値に、整数nの10 ⁿの形式の値を掛けます。 1桁のすべての可能な位置に対応する値のリストは、{...、10 ^{2 、10、1、10 -1 、10と記述されます。 -2 、...}。}

このリストの任意の値に10を繰り返し乗算すると、リストに別の値が生成されます。数学用語では、この特性は閉鎖として定義され、前のリストは乗算の下で閉じられていると説明されています。これは、前の手法を使用して乗算の結果を正しく見つけるための基礎です。この結果は、数論の使用の一例です。

複合単位算術は、フィートとインチ、ガロンとパイントポンド、シリングとペンスなどの混基数の量に算術演算を適用することです。 10進数ベースの金額と測定単位のシステムが登場する前は、複合単位演算が商工業で広く使用されていました。

基本的な算術演算

複合単位演算で使用される手法は、何世紀にもわたって開発され、多くの異なる言語の多くの教科書で十分に文書化されています。 10進算術で遭遇する基本的な算術関数に加えて、複合単位算術はさらに3つの関数を使用します:

• 削減。複合数量が単一の数量に削減されます。たとえば、ヤード、フィート、インチで表される距離をインチで表される距離に変換します。

• 膨張、つまり逆関数から還元への変換は、24オンスから1ポンド8オンスへの膨張など、単一の測定単位として表される量を複合単位に変換することです。

• 正規化とは、複合単位のセットを標準形式に変換することです。たとえば、1 ft13inを2ft1inに書き換えます。

さまざまな測定単位、それらの倍数、およびそれらの約数の間の関係に関する知識は、複合単位演算の重要な部分を形成します。

複合算術の原則

複合単位演算には2つの基本的なアプローチがあります:

• すべての複合単位変数が単一単位変数に削減され、計算が実行され、結果が複合単位に拡張される削減拡張方式。このアプローチは、自動計算に適しています。典型的な例は、Microsoft Excelによる時間の処理であり、すべての時間間隔が日および1日の小数として内部的に処理されます。

• 各ユニットを個別に処理し、ソリューションの開発に伴って問題を継続的に正規化する、継続的な正規化方法。このアプローチは、古典的なテキストで広く説明されており、手動計算に最適です。追加に適用される進行中の正規化方法の例を以下に示します。

加算操作は右から左に実行されます。この場合、ペンスが最初に処理され、次にシリングが処理され、次にポンドが処理されます。回答行の下の数字は中間結果です。ペンス列の合計は25です。シリングには12ペニーがあるため、25を12で割ると2になり、余りは1になります。次に、値1が回答行に書き込まれ、値2がに繰り越されます。シリングコラム。この操作は、シリング列の値を使用して繰り返され、ペニー列から繰り越された値を追加する追加の手順があります。 1ポンドに20シリングがあるため、中間合計は20で除算されます。次に、ポンド列が処理されますが、ポンドは考慮されている最大の単位であるため、ポンド列から値が繰り越されることはありません。簡単にするために、この例にはファーシングはありませんでした。

実際の運用

During the 19th and 20th centuries various aids were developed to aid the manipulation of compound units, particularly in commercial applications. The most common aids were mechanical tills which were adapted in countries such as the United Kingdom to accommodate pounds, shillings, pennies and farthings and Ready Reckoners (books aimed at traders that catalogued the results of various routine calculations such as the percentages or multiples of various sums of money). One typical booklet that ran to 150 pages tabulated multiples from one to ten thousand at the various prices from one farthing to one pound.

複合単位演算の厄介な性質は、長年にわたって認識されてきました。 1586年、フランダースの数学者Simon Stevinは、De Thiende（10番目）と呼ばれる小さなパンフレットを発行しました。このパンフレットでは、小数の硬貨、メジャー、および重みの普遍的な導入は単なる時間の問題であると宣言しました。現代では、Microsoft Windows 7オペレーティングシステム計算機に含まれているものなど、多くの変換プログラムは、拡張形式を使用するのではなく、縮小された10進数形式で複合単位を表示します（たとえば、2フィート6インチではなく2.5フィートが表示されます） ）。

下の画像は、関連するコスト表示を備えたインペリアル単位で校正されたスケールを示しています。

19世紀まで、数論は算術の同義語でした。対処された問題は、基本的な操作に直接関連し、素数性、分割可能性、およびフェルマーの最終定理などの整数の方程式の解法に関係していました。 。これらの問題のほとんどは、述べるのは非常に初歩的ですが、非常に困難であり、数学の他の多くの分野の概念と方法を含む非常に深い数学なしでは解決できない可能性があります。これにより、解析的整数論、代数数論、ディオファントス幾何学、算術代数幾何学。 ワイルズによるフェルマーの最後の定理の証明は、初等算術で述べることができる問題を解決するために、古典的な算術法をはるかに超えた洗練された方法の必要性の典型的な例です。

数学の初等教育では、自然数、整数、分数、小数（小数点以下を使用）の算術演算に重点を置くことがよくあります。 -価値システム）。この研究は、アルゴリズムとして知られることもあります。これらのアルゴリズムの難しさとやる気のない外観により、教育者は長い間このカリキュラムに疑問を投げかけ、より中心的で直感的な数学的アイデアの早期教育を提唱してきました。この方向への注目すべき動きの1つは、1960年代と1970年代の新数学でした。これは、集合論から公理的発展の精神で算数を教えようとしたもので、高等数学の一般的な傾向を反映しています。

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“Arithmetic.” From Wolfram MathWorld, mathworld.wolfram.com/Arithmetic.html.

“Arithmetic.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 9 July 2020, en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic.