Acasă Toate Definiții Geometrie Transversal Definiție

Transversal Definiție

Un transversal este o linie care trece prin două linii în același plan la două puncte distincte . Transversalele joacă un rol în stabilirea dacă alte două linii din planul euclidian sunt paralel . Intersecțiile unui transversal cu două linii creează diferite tipuri de perechi de unghiuri: unghiuri interioare consecutive , unghiuri corespunzătoare și unghiuri alternative . Ca urmare a paralel postulat paralel , dacă cele două linii sunt paralele, unghiurile interioare consecutive sunt suplimentare , unghiurile corespunzătoare sunt egale, iar unghiurile alternative sunt egale. Diagrama de mai jos ilustrează un transversal.

Unghiurile unui transversal

Un transversal produce 8 unghiuri, așa cum se arată în graficul de mai sus:

  • 4 cu fiecare dintre cele două linii, și anume α β, γ și δ și apoi α 1 , β 1 , γ 1 și δ 1 < /sub>; și

  • Dintre care 4 sunt interioare (între cele două linii), și anume α, β, γ 1 și δ 1 și 4 dintre care sunt exterioare, și anume α 1 , β 1 , γ și δ.

Un transversal care taie două linii paralele la unghiuri drepte se numește perpendicular transversal. În acest caz, toate cele 8 unghiuri sunt unghiuri drepte. Când liniile sunt paralele, un caz care este adesea luat în considerare, un transversal produce mai multe congruent și mai multe unghiuri suplimentare . Unele dintre aceste perechi unghiulare au nume specifice și sunt discutate mai jos:

Unghiuri alternative

O pereche de unghiuri alternative. Cu linii paralele, sunt congruente.

Unghiurile alternative sunt cele patru perechi de unghiuri care:

  • Have distinct vertex points,

  • Se află pe părțile opuse ale transversalului și

  • Ambele unghiuri sunt interioare sau ambele unghiuri sunt exterioare.

Dacă cele două unghiuri ale unei perechi sunt congruente, atunci unghiurile fiecăreia dintre celelalte perechi sunt, de asemenea, congruente. O teoremă a geometriei absolute (de aici valabilă atât în ​​ hiperbolică cât și în geometria euclidiană ), dovedește că, dacă unghiurile unei perechi de unghiuri alternative ale unui transversal sunt congruente, atunci cele două linii sunt paralele (care nu se interesează). Rezultă din postulatul paralel al lui Euclid că, dacă cele două linii sunt paralele, atunci unghiurile unei perechi de unghiuri alternative ale unui transversal sunt congruente.

Unghiuri corespunzătoare

O pereche de unghiuri corespunzătoare. Cu linii paralele, sunt congruente.

Unghiurile corespunzătoare sunt cele patru perechi de unghiuri care:

  • Au puncte de vertex distincte,

  • Stai pe aceeași parte a transversalului și

  • Un unghi este interior, iar celălalt este exterior.

Două linii sunt paralele dacă și numai dacă cele două unghiuri ale oricărei perechi de unghiuri corespunzătoare ale oricărui transversal sunt congruente. O teoremă a geometrie absolută (de aceea valabilă atât în ​​geometria hiperbolică, cât și în cele euclidiene), dovedește că, dacă unghiurile unei perechi de unghiuri corespunzătoare ale unui transversal sunt congruente, atunci cele două linii sunt paralele (non-interectând) . Rezultă din postulatul paralel al lui Euclid că, dacă cele două linii sunt paralele, atunci unghiurile unei perechi de unghiuri corespunzătoare ale unui transversal sunt congruente. Dacă unghiurile unei perechi de unghiuri corespunzătoare sunt congruente, atunci unghiurile fiecăreia dintre celelalte perechi sunt, de asemenea, congruente. În diferitele imagini cu linii paralele de pe această pagină, perechile unghiulare corespunzătoare sunt: ​​α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 și δ = δ 1 .

Unghiuri interioare consecutive

O pereche de unghiuri consecutive. Cu linii paralele, acestea adaugă până la două unghiuri drepte.

Unghiurile interioare consecutive sunt cele două perechi de unghiuri care:

  • Au puncte de vertex distincte,

  • Stai pe aceeași parte a transversalului și

  • Sunt ambele interioare.

Două linii sunt paralele dacă și numai dacă cele două unghiuri ale oricărei perechi de unghiuri interioare consecutive ale oricărui transversal sunt suplimentare (sumă până la 180 °). O teoremă a geometriei absolute (deci valabilă atât în ​​geometria hiperbolică, cât și în cele euclidiene), dovedește că dacă unghiurile unei perechi de unghiuri interioare consecutive sunt suplimentare, atunci cele două linii sunt paralele (care nu se interesează). Rezultă din postulatul paralel al lui Euclid că, dacă cele două linii sunt paralele, atunci unghiurile unei perechi de unghiuri interioare consecutive ale unui transversal sunt suplimentare. Dacă o pereche de unghiuri interioare consecutive este suplimentară, cealaltă pereche este, de asemenea, suplimentară.

Alte proprietăți

Dacă trei linii în poziție generală formează un triunghi, apoi sunt tăiate de un transversal, lungimile celor șase segmente rezultate satisfac Teorema lui Menelaus .

Teoreme înrudite

Formularea lui Euclid a postulatului paralel poate fi declarată în termeni de transversali. Mai exact, dacă unghiurile interioare din aceeași parte a transversalului sunt mai mici de două unghiuri drepte, atunci liniile trebuie să se intersecteze. De fapt, Euclid folosește aceeași frază în greacă care este de obicei tradusă ca transversală.

Propunerea lui Euclid 27 afirmă că, dacă un transversal intersectează două linii, astfel încât unghiurile interioare alternative sunt congruente, atunci liniile sunt paralele. Euclid dovedește acest lucru prin contradicție: dacă liniile nu sunt paralele, atunci ele trebuie să se intersecteze și se formează un triunghi. Apoi, unul dintre unghiurile alternative este un unghi exterior egal cu celălalt unghi, care este un unghi interior opus în triunghi. Aceasta contrazice propunerea 16 care afirmă că un unghi exterior al unui triunghi este întotdeauna mai mare decât unghiurile interioare opuse.

Propunerea lui Euclid 28 extinde acest rezultat în două moduri. În primul rând, dacă un transversal intersectează două linii, astfel încât unghiurile corespunzătoare sunt congruente, atunci liniile sunt paralele. În al doilea rând, dacă un transversal intersectează două linii, astfel încât unghiurile interioare din aceeași parte a transversalului să fie suplimentare, atunci liniile sunt paralele. Acestea rezultă din propunerea anterioară prin aplicarea faptului că unghiurile opuse ale liniilor de intersecție sunt egale și că unghiurile adiacente de pe o linie sunt suplimentare. După cum a menționat Proclus, Euclid dă doar trei dintre cele șase astfel de criterii pentru linii paralele.

Propunerea 29 a lui Euclid este o conversație a celor două precedente. În primul rând, dacă un transversal intersectează două linii paralele, atunci unghiurile interioare alternative sunt congruente. Dacă nu, atunci unul este mai mare decât celălalt, ceea ce presupune că suplimentul său este mai mic decât suplimentul celuilalt unghi. Aceasta implică faptul că există unghiuri interioare pe aceeași parte a transversalului, care sunt mai mici de două unghiuri drepte, contrazicând al cincilea postulat. Propunerea continuă afirmând că pe un transversal din două linii paralele, unghiurile corespunzătoare sunt congruente, iar unghiurile interioare din aceeași parte sunt egale cu două unghiuri drepte. Aceste afirmații urmează în același mod în care Prop. 28 urmează din Prop. 27.

Dovada lui Euclid folosește esențial a cincea postulat, cu toate acestea, tratamentele moderne ale geometriei folosesc în schimb axiom -ul Playfair . Pentru a dovedi propunerea 29 presupunând axioma lui Playfair, lăsați un transversal să traverseze două linii paralele și să presupunem că unghiurile interioare alternative nu sunt egale. Desenați o a treia linie prin punctul în care transversalul traversează prima linie, dar cu un unghi egal cu unghiul pe care îl face transversalul cu a doua linie. Aceasta produce două linii diferite printr -un punct, ambele paralele cu o altă linie, contrazicând axiomul.

Dimensiuni mai mari

În spații dimensionale superioare, o linie care intersectează fiecare set de linii în puncte distincte este o transversală a acelui set de linii. Spre deosebire de cazul bidimensional (plan), transversalii nu sunt garantate să existe pentru seturi de mai mult de două linii. În 3-spațiu euclidean, un regulus este un set de linii skew , r, astfel încât prin fiecare punct de pe fiecare linie de r, trece un transversal de r și prin Fiecare punct al unui transversal al lui R trece o linie de R. Setul de transversaluri ale unui regulament R este, de asemenea, un regulament, numit regulament opus, r °. În acest spațiu, trei linii reciproc înclinate pot fi întotdeauna extinse la un regulament.

Definiții conexe

Surse

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).

×

Aplicație

Consultați aplicația noastră gratuită pentru iOS și Android.

Pentru mai multe informații despre aplicația noastră Vizită aici!

Adăugați la ecranul de pornire

Adăugați matematica Converse ca aplicație la ecranul de pornire.

Aplicație

Consultați aplicația noastră de desktop gratuită pentru macOS, Windows și Linux.

Pentru mai multe informații despre aplicația noastră desktop Vizită aici!

Extensia browserului

Consultați extensia noastră gratuită a browserului pentru Chrome, Firefox, Edge, Safari și Opera.

Pentru mai multe informații despre extensia browserului nostru Vizită aici!

Bine ați venit la Math Converse

Locul de loc

Locul de loc

Citați această pagină

Cod QR

Faceți o fotografie cu codul QR pentru a partaja această pagină sau pentru a o deschide rapid pe telefon:

Acțiune
×