Дом ❯ Все Определения ❯ Геометрия ❯ Аккорд Определение
Аккорд Определение
A chord of a circle is a straight line segment on the interior of a circle whose endpoints both lie on that circle. The infinite line extension of a chord is a secant line, or just secant. More generally, a chord is a line segment joining two points on any curve, for instance, an ellipse. A chord that passes through a circle's center point is the circle's diameter. The word chord is derived from the Latin term chorda meaning bowstring. The term is also used in graph theory, where a cycle chord of a graph cycle C is an edge not in C whose endpoints lie in C.
Круги
Среди свойств хорд окружности следующие:
Хорды равноудалены от центра тогда и только тогда, когда их длины равны.
Равные хорды опираются на равные углы из центра окружности.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром и является наибольшей хордой.
Если прямые продолжения (секущие) хорд AB и CD пересекаются в точке P, то их длины удовлетворяют условию AP·PB = CP·PD (теорема о степени точки).
Эллипсы
Середины набора параллельных хорд эллипса лежат на одной прямой.
Тригонометрия
Аккорды широко использовались на ранних этапах развития тригонометрии. В первой известной тригонометрической таблице, составленной Гиппархом, было указано значение хордовой функции для каждых 7,5 градусов. Во втором веке нашей эры Птолемей Александрийский составил более обширную таблицу хорд в своей книге по астрономии, дав значение хорды для углов в диапазоне от 1/2 градуса до 180 градусов с шагом в полградуса. Круг имел диаметр 120, а длины хорд указаны с точностью до двух цифр с основанием 60 после целой части.
The chord function is defined geometrically as shown in the picture. The chord of an angle is the length of the chord between two points on a unit circle separated by that central angle. The angle θ is taken in the positive sense and must lie in the interval 0 < θ ≤ π (radian measure). The chord function can be related to the modern sine function, by taking one of the points to be (1,0), and the other point to be (cos θ, sin θ), and then using the Pythagorean theorem to calculate the chord length: crd θ = √ (1 – cos θ)2 + sin2 θ = √ 2 – 2cos θ = 2 sin(θ⁄2).
На последнем шаге используется формула половинного угла. Подобно тому, как современная тригонометрия построена на функции синуса, древняя тригонометрия была построена на функции аккорда. Предполагается, что Гиппарх написал двенадцатитомный труд об аккордах, все из которых теперь утеряны, поэтому, по-видимому, о них было известно очень много. В приведенной ниже таблице (где c - длина хорды, а D - диаметр окружности) можно показать, что хордовая функция удовлетворяет многим тождествам, аналогичным хорошо известным современным:
Имя |
Синусоидальный |
на основе аккордов |
Пифагорейский |
sin2 θ + cos2 θ = 1 |
crd2 θ + crd2 (π - θ) = 4 |
Полуугол |
sin θ⁄2 = ± √ 1 - cos θ⁄2 |
crd θ⁄2 = ± √ 2 - crd(π - θ) |
Апофема (а) |
c = 2√ r2 - a2 |
c = √ D2 - 4a2 |
Угол (θ) |
c = 2r sin(θ⁄2) |
c = D⁄2crd θ |
Связанные определения
Источники
“Chord.” From Wolfram MathWorld, mathworld.wolfram.com/Chord.html.
“Chord (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 7 May 2020, en.wikipedia.org/wiki/Chord_(geometry).