Арифметика Определение

Предыстория арифметики ограничена небольшим количеством артефактов, которые могут указывать на концепцию сложения и вычитания, наиболее известным из которых является кость Ишанго из Центральной Африки, датируемая где-то между 20 000 и 18 000 г. до н.э., хотя ее интерпретация оспаривается. Самые ранние письменные источники указывают на то, что египтяне и вавилоняне использовали все элементарные арифметические операции еще в 2000 г. до н.э. Эти артефакты не всегда раскрывают конкретный процесс, используемый для решения задач, но характеристики конкретной системы счисления сильно влияют на сложность методов. Иероглифическая система египетских цифр, как и более поздние римские цифры, произошла от счетных знаков, используемых для счета. В обоих случаях это происхождение приводило к значениям, которые использовали десятичное основание, но не включали позиционное обозначение. Сложные вычисления с римскими цифрами требовали помощи счетной доски или римских счетов для получения результатов. Ранние системы счисления, которые включали позиционное обозначение, не были десятичными, в том числе шестидесятеричная (с основанием 60) система для вавилонских цифр и десятичная (с основанием 20) система, которая определяла числа майя. Из-за этой концепции позиционного значения возможность повторного использования одних и тех же цифр для разных значений способствовала более простым и эффективным методам расчета.

The continuous historical development of modern arithmetic starts with the Hellenistic civilization of ancient Greece, although it originated much later than the Babylonian and Egyptian examples. Prior to the works of Euclid around 300 BC, Greek studies in mathematics overlapped with philosophical and mystical beliefs. For example, Nicomachus summarized the viewpoint of the earlier Pythagorean approach to numbers, and their relationships to each other, in his Introduction to Arithmetic. Greek numerals were used by Archimedes, Diophantus and others in a positional notation not very different from ours. The ancient Greeks lacked a symbol for zero until the Hellenistic period, and they used three separate sets of symbols as digits: one set for the units place, one for the tens place, and one for the hundreds. For the thousands place they would reuse the symbols for the units place, and so on. Their addition algorithm was identical to ours, and their multiplication algorithm was only very slightly different. Their long division algorithm was the same, and the digit-by-digit square root algorithm, popularly used as recently as the 20th century, was known to Archimedes, who may have invented it. He preferred it to Hero's method of successive approximation because, once computed, a digit doesn't change, and the square roots of perfect squares, such as 7485696, terminate immediately as 2736. For numbers with a fractional part, such as 546.934, they used negative powers of 60 instead of negative powers of 10 for the fractional part 0.934.

У древних китайцев были продвинутые арифметические исследования, начиная с династии Шан и продолжающиеся через династию Тан, от основных чисел до продвинутой алгебры. Древние китайцы использовали позиционное обозначение, подобное греческому. Поскольку у них также не было символа нуля, у них был один набор символов для разряда единиц и второй набор для разряда десятков. Затем для разряда сотен они повторно использовали символы для разряда единиц и так далее. Их символы были основаны на древних счетных стержнях. Трудно точно определить, когда китайцы начали вычисления с позиционным представлением, но это определенно было до 400 г. до н.э. Древние китайцы были первыми, кто осмысленно открыл, понял и применил отрицательные числа, как это объясняется в «Девяти главах математического искусства» (Цзючжан Суаньшу), написанных Лю Хуэем.

Постепенное развитие индийско-арабской системы счисления привело к независимой разработке концепции позиционного значения и позиционной записи, которые сочетали в себе более простые методы вычислений с десятичной системой счисления и использование цифры, представляющей 0. Это позволило системе последовательно представлять как большие и малые целые числа. Этот подход со временем заменил все остальные системы. В начале 6 века нашей эры индийский математик Арьябхата включил в свою работу существующую версию этой системы и экспериментировал с различными обозначениями. В 7 веке Брахмагупта установил использование 0 как отдельного числа и определил результаты умножения, деления, сложения и вычитания нуля и всех других чисел, кроме результата деления на ноль. Его современник, сирийский епископ Северус Себохт (650 г. н.э.), сказал: «Индийцы обладают методом расчета, который не может быть восхвален ни одним словом. Их рациональная система математики или их метод расчета. Я имею в виду систему, использующую девять символов. [5] Арабы также изучили этот новый метод и назвали его хесаб.

Хотя Codex Vigilanus описывает раннюю форму арабских цифр (без 0) к 976 году нашей эры, Леонардо Пизанский (Фибоначчи) несет главную ответственность за распространение их использования по всей Европе после публикации его книги Liber Abaci в 1202 году. метод индейцев (лат. Modus Indoram) превосходит любой известный метод вычислений. Это чудесный метод. Они производят свои вычисления, используя девять цифр и символ ноль». В Средние века арифметика была одним из семи гуманитарных наук, которым обучали в университетах. Расцвет алгебры в средневековом исламском мире и в Европе эпохи Возрождения был результатом огромного упрощения вычисления с помощью десятичной системы счисления. Были изобретены и широко использовались различные типы инструментов для помощи в числовых вычислениях. До эпохи Возрождения это были различные типы счетов. Более поздние примеры включают логарифмические линейки, номограммы и механические калькуляторы, такие как калькулятор Паскаля. В настоящее время , они были вытеснены электронными калькуляторами и компьютерами.

Проиллюстрированный выше ступенчатый счетчик Лейбница был первым калькулятором, который мог выполнять все четыре арифметические операции.

The basic arithmetic operations are addition, subtraction, multiplication and division, although this subject also includes more advanced operations, such as manipulations of percentages, square roots, exponentiation, logarithmic functions, and even trigonometric functions, in the same vein as logarithms (prosthaphaeresis). Arithmetic expressions must be evaluated according to the intended sequence of operations. There are several methods to specify this, either most common, together with infix notation explicitly using parentheses, and relying on precedence rules, or using a prefix or postfix notation, which uniquely fix the order of execution by themselves. Any set of objects upon which all four arithmetic operations (except division by zero) can be performed, and where these four operations obey the usual laws (including distributivity), is called a field.

Дополнение (+)

Сложение — основная арифметическая операция. В своей простой форме сложение объединяет два числа, сложения или термины, в одно число, сумму чисел (например, 2 + 2 = 4 или 3 + 5 = 8). Сложение конечного числа чисел можно рассматривать как повторяющееся простое сложение. Эта процедура известна как суммирование. Этот термин также используется для обозначения сложения бесконечного числа чисел в бесконечный ряд. Повторяющееся добавление числа 1 — это самая основная форма счета. Результат добавления 1 обычно называется преемником исходного числа.

Сложение является коммутативным и ассоциативным, поэтому порядок добавления конечного числа терминов не имеет значения. элемент идентификации для бинарной операции — это число, которое в сочетании с любым числом дает то же число, что и результат. Согласно правилам сложения, добавление 0 к любому числу дает то же самое число, поэтому 0 является аддитивной идентичностью. обратное число по отношению к двоичной операции — это число, которое в сочетании с любым числом дает идентичность по отношению к этой операции. Таким образом, число, обратное сложению (его аддитивное обратное или противоположное число), — это число, которое дает аддитивную идентичность 0 при добавлении к исходному числу; сразу видно, что это отрицательное значение исходного числа. Например, аддитивное обратное число 7 равно −7, поскольку 7 + (−7) = 0.

Сложение можно интерпретировать геометрически, как в следующем примере. Если у нас есть две палочки длины 3 и 6, то, если мы поместим палочки одну за другой, длина образованной таким образом палочки будет 9, так как 3 + 6 = 9.

Вычитание (-)

Вычитание — операция, обратная сложению. Вычитание находит разницу между двумя числами, уменьшаемое минус вычитаемое: D = M - S. Прибегая к ранее установленному сложению, это означает, что разность - это число, которое при добавлении к вычитаемому дает уменьшаемое: D + S = M. Для положительных аргументов M и S выполняется:

• Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность D положительна.

• Если уменьшаемое меньше вычитаемого, то разность D отрицательна.

• В любом случае, если уменьшаемое и вычитаемое равны, разность D = 0.

Subtraction is neither commutative nor associative. For that reason, in modern algebra the construction of this inverse operation is often discarded in favor of introducing the concept of inverse elements, as noted under Addition, and to look at subtraction as adding the additive inverse of the subtrahend to the minuend, that is a − b = a + (−b). The immediate price of discarding the binary operation of subtraction is the introduction of the (trivial) unary operation, delivering the additive inverse for any given number, and losing the immediate access to the notion of difference, which is potentially misleading when negative arguments are involved.

Для любого представления чисел существуют методы вычисления результатов, некоторые из которых особенно выгодны в использовании процедур, существующих для одной операции, путем небольших изменений и для других. Например, цифровые компьютеры могут повторно использовать существующие схемы сложения и сохранять дополнительные схемы для реализации вычитания, применяя метод дополнения до двух для представления аддитивных инверсий, который чрезвычайно легко реализовать на аппаратном уровне (отрицание). Компромиссом является сокращение вдвое диапазона чисел для фиксированной длины слова.

Ранее широко распространенным методом получения правильной суммы сдачи, зная причитающуюся и заданную суммы, является метод подсчета, который явно не генерирует значение разницы. Предположим, что для выплаты требуемой суммы Q дана сумма P, причем P больше, чем Q. Вместо явного выполнения вычитания P − Q = C и подсчета этой суммы C в сдаче, деньги отсчитываются, начиная с преемника Q, и далее по шагам валюты, пока не будет достигнуто значение P. Хотя отсчитываемое количество должно равняться результату вычитания P - Q, вычитание никогда не производилось, и значение P - Q не определяется этим методом.

Умножение (x или ∙ или *)

Умножение — вторая основная операция арифметики. Умножение также объединяет два числа в одно число, произведение. Два исходных числа называются множителем и множителем, чаще всего оба называются просто факторами.

Умножение можно рассматривать как операцию масштабирования. Если представить числа лежащими в строке, то умножение на число, скажем, х, большее 1, равносильно равномерному растяжению всего от 0 таким образом, что само число 1 растягивается до того места, где был х. Точно так же умножение на число, меньшее 1, можно представить как сжатие до 0. (Опять же, таким образом, что 1 становится множимым.)

Другой взгляд на умножение целых чисел, расширяемый до рациональных, но не очень доступный для действительных чисел, состоит в том, чтобы рассматривать его как многократное сложение. Таким образом, 3 × 4 соответствует либо 3 умножению на 4, либо 4 умножению на 3, что дает тот же результат. Существуют разные мнения о пользе этих парадигм в математическом образовании.

Умножение коммутативно и ассоциативно; кроме того, это распределение над сложением и вычитанием. Мультипликативная идентичность равна 1, поскольку умножение любого числа на 1 дает то же самое число. Обратное мультипликативное для любого числа, кроме 0, является обратным этого числа, потому что умножение обратного числа любого числа на само число дает мультипликативное тождество 1. 0 является единственным число без обратного мультипликативного, а результат умножения любого числа и 0 снова равен 0. Говорят, что 0 не содержится в мультипликативной группе чисел.

Произведение a и b записывается как a × b или a ∙ б. Когда a или b представляют собой выражения, записанные не просто цифрами, они также записываются простым сопоставлением: ab. В языках компьютерного программирования и программных пакетах, в которых можно использовать только символы, обычно встречающиеся на клавиатуре, это часто пишется со звездочкой: a * b.

Алгоритмы, реализующие операцию умножения для различных представлений чисел, гораздо более затратны и трудоемки, чем алгоритмы сложения. Те, которые доступны для ручного вычисления, либо полагаются на разбивку множителей на однозначные значения и применяют многократное сложение, либо используют таблицы или логарифмические правила, тем самым отображая умножение на сложение и обратно. . Эти методы устарели и заменены мобильными устройствами. Компьютеры используют разнообразные сложные и оптимизированные алгоритмы для выполнения умножения и деления для различных числовых форматов, поддерживаемых их системой.

Раздел (÷ или /)

Деление — это, по сути, операция, обратная умножению. Деление находит частное двух чисел, делимое, деленное на делитель. Любое делимое деленное на ноль не определено. Для различных положительных чисел, если делимое больше делителя, частное больше 1, в противном случае оно меньше 1 (аналогичное правило применяется для отрицательных чисел). Частное, умноженное на делитель, всегда дает делимое.

Деление не коммутативно и не ассоциативно. Итак, как объяснялось для вычитания, в современной алгебре конструкция деления отбрасывается в пользу построения обратных элементов по отношению к умножению, как это было введено там. То есть деление — это умножение делимого и обратного делителя в качестве множителей, то есть ÷ б = а × 1/б.

В натуральных числах также есть другое, но родственное понятие, евклидово деление, дающее два результата деления натурального N (числителя) на натуральный D (знаменатель), во-первых, натурального Q (частное ) и, во-вторых, натуральный R (остаток), такой, что N = D×Q + R и R < Q.

Фундаментальная теорема арифметики утверждает, что любое целое число больше 1 имеет уникальную простую факторизацию (представление числа как произведения простых множителей), исключая порядок множителей. Например, число 252 имеет только одну простую факторизацию: 252 = 2² x 3² x 7¹. Элементы Евклида впервые представили эту теорему и дали частичное доказательство (которое называется леммой Евклида). Фундаментальная теорема арифметики была впервые доказана Карлом Фридрихом Гауссом. Основная теорема арифметики — одна из причин, почему 1 не считается простым числом. Другие причины включают решето Эратосфена и определение самого простого числа (натуральное число больше 1, которое не может быть образовано путем умножения двух меньших натуральных чисел).

Десятичное представление относится исключительно к письменной системе счисления, использующей арабские цифры в качестве цифр для Основание 10 (десятичная) позиционная система счисления. Однако любая система счисления, основанная на степенях 10, такая как греческие, кириллические, римские или китайские цифры, может быть концептуально описана как десятичная запись или десятичное представление.

Современные методы четырех основных операций (сложение, вычитание, умножение и деление) были впервые разработаны Брахмагуптой из Индии. В средневековой Европе это было известно как Modus Indoram или метод индейцев. Позиционное обозначение (также известное как обозначение разряда) относится к представлению или кодированию чисел с использованием одного и того же символа для различных порядков величины (разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен) и, с точка счисления, использующая те же символы для представления дробей (десятое место, сотое место). Например, 507,36 означает 5 сотен (10²), плюс 0 десятков (10¹), плюс 7 единиц (10⁰), плюс 3 десятых (10^-1) плюс 6 сотых (10^-2).

Концепция нуля как числа, сравнимого с другими основными цифрами, имеет важное значение для этой системы обозначений, как и концепция использования 0 в качестве заполнителя, а также определение умножения и сложения с 0. Использование 0 в качестве заполнителя и Таким образом, использование позиционного обозначения впервые засвидетельствовано в джайнском тексте из Индии, озаглавленном «Локавибхага», датированном 458 годом нашей эры, и только в начале 13 века эти концепции, переданные через науку арабского мира, были введены. в Европу по Фибоначчи с использованием индийско-арабской системы счисления.

Алгоритм включает в себя все правила выполнения арифметических вычислений с использованием этого типа письменного числа. Например, при сложении получается сумма двух произвольных чисел. Результат вычисляется повторным добавлением однозначных цифр из каждого числа, занимающего одну и ту же позицию, справа налево. Таблица сложения с десятью строками и десятью столбцами отображает все возможные значения для каждой суммы. Если отдельная сумма превышает значение 9, результат представляется двумя цифрами. Самая правая цифра является значением для текущей позиции, а результат последующего сложения цифр слева увеличивается на значение второй (крайней левой) цифры, которая всегда равна единице (если не нулю). Эта корректировка называется переносом значения 1. Процесс умножения двух произвольных чисел аналогичен процессу сложения. Таблица умножения с десятью строками и десятью столбцами содержит результаты для каждой пары цифр. Если отдельное произведение пары цифр превышает 9, корректировка переноса увеличивает результат любого последующего умножения цифр слева на значение, равное второй (крайней левой) цифре, которая представляет собой любое значение от 1 до 8 (9 × 9 = 81). Дополнительные шаги определяют конечный результат. Подобные методы существуют также для вычитания и деления.

Создание правильного процесса умножения зависит от отношения между значениями соседних цифр. Значение любой одиночной цифры в числе зависит от ее положения. Кроме того, каждая позиция слева представляет значение в десять раз больше, чем позиция справа. С математической точки зрения, показатель степени для основания (основание) числа 10 увеличивается на 1 (влево) или уменьшается на 1 (вправо). Следовательно, значение любой произвольной цифры умножается на значение вида 10ⁿ с целым числом n. Список значений, соответствующих всем возможным позициям одной цифры, записывается как {..., 10², 10, 1, 10^-1, 10 ^-2, ...}.

Повторное умножение любого значения в этом списке на 10 дает другое значение в списке. В математической терминологии эта характеристика определяется как замыкание, а предыдущий список описывается как замкнутый относительно умножения. Это основа для правильного нахождения результатов умножения с использованием предыдущей техники. Этот результат является одним из примеров использования теории чисел.

Арифметика составных единиц — это применение арифметических операций к смешанным основаниям величин, таких как футы и дюймы, галлоны и пинты, фунты, шиллинги и пенсы и т. д. До десятичной системы денег и единиц измерения арифметика сложных единиц широко использовалась в торговле и промышленности.

Основные арифметические операции

Методы, используемые в арифметике сложных единиц, разрабатывались на протяжении многих веков и хорошо описаны во многих учебниках на разных языках. В дополнение к основным арифметическим функциям, встречающимся в десятичной арифметике, арифметика составных единиц использует еще три функции.:

• Сокращение, при котором составная величина сводится к единственной величине — например, преобразование расстояния, выраженного в ярдах, футах и дюймах, в расстояние, выраженное в дюймах.

• Расширение, функция, обратная уменьшению, представляет собой преобразование количества, выраженного в виде одной единицы измерения, в составную единицу, например, расширение 24 унций в 1 фунт 8 унций.

• Нормализация — это приведение набора составных единиц к стандартной форме. Например, переписав 1 фут 13 дюймов как 2 фута 1 дюйм.

Знание отношений между различными единицами измерения, их кратными и дольными частями составляет существенную часть арифметики сложных единиц.

Принципы арифметики сложных единиц

Существует два основных подхода к арифметике составных единиц.:

• Метод сокращения-расширения, при котором все переменные составных единиц сводятся к переменным единичных единиц, выполняется расчет, а результат расширяется обратно до составных единиц. Этот подход подходит для автоматизированных расчетов. Типичным примером является обработка времени в Microsoft Excel, где все временные интервалы обрабатываются внутри как дни и десятичные доли дня.

• Метод непрерывной нормализации, при котором каждая единица рассматривается отдельно, а проблема постоянно нормализуется по мере разработки решения. Этот подход, широко описанный в классических текстах, лучше всего подходит для ручных расчетов. Пример метода непрерывной нормализации применительно к сложению показан ниже.

Операция сложения выполняется справа налево; в этом случае сначала обрабатываются пенсы, затем шиллинги, а затем фунты. Цифры под строкой ответа являются промежуточными результатами. Сумма в столбце пенсов равна 25. Поскольку в шиллинге 12 пенсов, 25 делится на 12, чтобы получить 2 с остатком 1. Затем значение 1 записывается в строку ответа, а значение 2 переносится вперед в строку ответа. колонка шиллингов. Эта операция повторяется с использованием значений в столбце шиллингов с дополнительным шагом добавления значения, которое было перенесено из столбца пенни. Промежуточная сумма делится на 20, так как в фунте 20 шиллингов. Затем обрабатывается столбец фунтов, но поскольку фунты являются наибольшей рассматриваемой единицей, никакие значения из столбца фунтов не переносятся вперед. Для простоты в этом примере не было фартингов.

Операции на практике

В течение 19-го и 20-го веков были разработаны различные вспомогательные средства, помогающие манипулировать составными единицами, особенно в коммерческих целях. Наиболее распространенными вспомогательными средствами были механические кассы, которые были адаптированы в таких странах, как Соединенное Королевство, для хранения фунтов, шиллингов, пенни и фартингов, а также Ready Reckoners (книги, предназначенные для трейдеров, в которых каталогизировались результаты различных рутинных вычислений, таких как проценты или кратные суммы денег). В одном типичном буклете объемом 150 страниц были указаны множители от одной до десяти тысяч при различных ценах от одного фартинга до одного фунта.

Громоздкий характер арифметики сложных единиц был признан в течение многих лет. В 1586 году фламандский математик Саймон Стевин опубликовал небольшой памфлет под названием De Thiende (десятый), в котором объявил повсеместное введение десятичной чеканки, мер и весов просто вопросом времени. В современную эпоху многие программы преобразования, такие как включенная в калькулятор операционной системы Microsoft Windows 7, отображают составные единицы в сокращенном десятичном формате, а не в расширенном формате (например, 2,5 фута отображаются, а не 2 фута 6 в ).

На изображении ниже показана шкала, откалиброванная в имперских единицах, с соответствующим отображением стоимости.

До 19 века теория чисел была синонимом арифметики. Рассматриваемые проблемы были непосредственно связаны с основными операциями и касались простоты, делимости и решения уравнений в целых числах, таких как последняя теорема Ферма . Оказалось, что большинство этих задач, хотя и очень элементарные для постановки, очень сложны и не могут быть решены без очень глубокой математики, включающей понятия и методы из многих других разделов математики. Это привело к появлению новых разделов теории чисел, таких как аналитическая теория чисел, алгебраическая теория чисел, диофантова геометрия и арифметико-алгебраическая геометрия. Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма является типичным примером необходимости сложных методов, выходящих далеко за рамки классических методов арифметики, для решения задач, которые можно сформулировать в элементарной арифметике.

Начальное образование по математике часто уделяет большое внимание алгоритмам вычисления натуральных чисел, целых чисел, дробей и десятичных дробей (с использованием десятичного знака). система ценностей). Это исследование иногда называют алгоритмизмом. Сложность и немотивированный внешний вид этих алгоритмов уже давно заставляют педагогов сомневаться в этой учебной программе, выступая за раннее обучение более важным и интуитивным математическим идеям. Одним заметным движением в этом направлении была «Новая математика» 1960-х и 1970-х годов, которая пыталась обучать арифметике в духе аксиоматического развития теории множеств, отголоска господствующей тенденции в высшей математике.

• Греческие цифры
• Префикс
• Разница

“Arithmetic.” From Wolfram MathWorld, mathworld.wolfram.com/Arithmetic.html.

“Arithmetic.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 9 July 2020, en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic.