Дом Все Определения Основы математики Множества, логика и доказательства Несчетное множество Определение

Несчетное множество Определение

Uncountable sets otherwise known as uncountable or uncountably infinite is an infinite set that contains too many elements to be countable. The uncountability of a set is closely related to its cardinal number. A set is uncountable if its cardinal number is larger than that of the set of all natural numbers. For instance, the set of real numbers is uncountable. If an uncountable set X is a subset of set Y, then Y is an uncountable set.

Характеристики

Существует много эквивалентных характеристик несчетности. Множество X является несчетным тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих условий:

  • Не существует инъективной функции из X в множество натуральных чисел.

  • X непусто и для каждой ω-последовательности элементов X существует хотя бы один не входящий в нее элемент X. То есть X непусто и не существует сюръективной функции от натуральных чисел до X.

  • мощность X не конечна и не равна ℵ0 (алеф-нуль, мощность натуральных чисел).

  • Множество X имеет мощность строго больше ℵ0.

Эквивалентность первых трех из этих характеристик может быть доказана в теории множеств Цермело–Френкеля без аксиомы выбора, но эквивалентность третьей и четвертой не может быть доказана без дополнительных принципов выбора.

Примеры

Примеры несчетности:

  • Наиболее известным примером несчетного множества является множество R всех действительных чисел. Диагональный аргумент Кантора показывает, что это множество несчетно. Технику доказательства диагонализации также можно использовать, чтобы показать, что несколько других множеств несчетны, например, множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел и множество всех подмножеств множества натуральных чисел. Мощность R часто называют мощностью континуума и обозначают c или 20 (beth-one).

  • Множество Кантора является несчетным подмножеством R. Множество Кантора является фракталом и имеет размерность Хаусдорфа больше нуля, но меньше единицы (размерность R равна единице). Это пример следующего факта: любое подмножество R хаусдорфовой размерности, строго большее нуля, должно быть несчетным.

  • Другим примером несчетного множества является множество всех функций от R до R. Это множество еще более несчетно, чем R, в том смысле, что мощность этого множества равна beth-два, что больше, чем beth-один.

  • Более абстрактным примером несчетного множества является множество всех счетных порядковых чисел, обозначаемое Ω или ω1. Мощность Ω обозначается ℵ1 (алеф-один). Используя аксиому выбора, можно показать, что ℵ1 — наименьшее несчетное кардинальное число. Таким образом, либо beth-one, мощность вещественных чисел, равна ℵ1, либо строго больше. Георг Кантор был первым, кто поставил вопрос о том, равно ли beth-one ℵ1. В 1900 году Давид Гильберт поставил этот вопрос в качестве первой из своих 23 проблем. Утверждение, что ℵ1 = beth-one, теперь называется континуум-гипотезой и, как известно, не зависит от аксиом Цермело–Френкеля для теории множеств (включая аксиома выбора).

Без аксиомы выбора

Без аксиомы выбора могли бы существовать мощности, несравнимые с ℵ0 (а именно мощности дедекиндово-конечных бесконечных множеств). Наборы этих мощностей удовлетворяют первым трем приведенным выше характеристикам, но не удовлетворяют четвертой характеристике. Поскольку эти множества не больше, чем натуральные числа в смысле мощности, некоторые могут не захотеть называть их несчетными. Если аксиома выбора верна, следующие условия на кардинальное число κ эквивалентны:

  • κ ≰ ℵ0;

  • κ ≻ ℵ0; and

  • κ ≥ ℵ1, где ℵ1 = |ω1| и ω1 — наименьший начальный порядковый номер больше ω.

Однако все они могут быть разными, если аксиома выбора не работает. Поэтому не очевидно, какое из них является подходящим обобщением несчетности, когда аксиома неверна. Возможно, лучше не использовать это слово в этом случае и указать, какое из них означает одно из них.

Связанные определения

Источники

“Uncountable Set.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 23 Mar. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Uncountable_set.

×

Приложение

Ознакомьтесь с нашим бесплатным приложением для iOS и Android.

Для получения дополнительной информации о нашем приложении посетите здесь!

Добавить на домашний экран

Добавьте Math Converse как приложение на главный экран.

Приложение

Ознакомьтесь с нашим бесплатным приложением для iOS и Android.

Для получения дополнительной информации о нашем приложении посетите здесь!

Расширение для браузера

Ознакомьтесь с нашим бесплатным расширением для браузеров Chrome, Firefox, Edge, Safari и Opera.

Для получения дополнительной информации о нашем расширении для браузера посетите здесь!

Добро пожаловать в Математический Конверс

Заполнитель

Заполнитель

Процитировать эту страницу

QR код

Сфотографируйте qr-код, чтобы поделиться этой страницей или быстро открыть ее на своем телефоне:

Делиться

Распечатать
Копировать ссылку
Процитировать страницу
Эл. адрес
Фейсбук
𝕏
WhatsApp
Реддит
смс
Скайп
Линия
Google Класс
Закладки Google
Facebook-мессенджер
Эверноут
Телеграмма
Линкедин
Карман
Дубан
WeChat
Трелло
QR код
×