Трансверсальный Определение

Сечение дает 8 углов, как показано на графике выше.:

• с каждой из двух строк, а именно α, β, γ и δ а затем α₁, β₁, γ₁ и δ_{1< /под>; а также}

• 4 из которых являются внутренними (между двумя строками), а именно α, β, γ₁ и δ₁ и 4 из которых являются внешними, а именно α₁, β₁, γ и δ.

Секущую, которая пересекает две параллельные прямые под прямым углом, называют перпендикулярной секущей. В этом случае все 8 углов прямые. Когда прямые параллельны, случай, который часто рассматривается, секущей образуется несколько конгруэнтных и несколько дополнительных углов. Некоторые из этих пар углов имеют определенные названия и обсуждаются ниже:

Альтернативные углы

Одна пара альтернативных углов. При параллельных прямых они конгруэнтны.

Альтернативные углы – это четыре пары углов,:

• Have distinct vertex points,

• Лягте на противоположные стороны поперечной и

• Оба угла внутренние или оба угла внешние.

Если два угла одной пары равны, то углы каждой из других пар также равны. Теорема абсолютной геометрии (следовательно, действительная как в гиперболической, так и в евклидовой геометрии) доказывает, что если углы пары альтернативных углов поперечной конгруэнтны, то две прямые параллельны (не пересекаются). Из постулата параллельности Евклида следует, что если две прямые параллельны, то углы пары альтернативных углов секущей равны.

Соответствующие углы

Одна пара соответствующих углов. При параллельных прямых они конгруэнтны.

Соответствующие углы – это четыре пары углов,:

• Имеют различные вершины,

• Лягте на одну сторону поперечной и

• Один угол внутренний, а другой внешний.

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда два угла любой пары соответствующих углов любой секущей равны. Теорема абсолютной геометрии (следовательно, действительная как в гиперболической, так и в евклидовой геометрии) доказывает, что если углы пары соответствующих углов секущей конгруэнтны, то две прямые параллельны (не пересекаются). . Из постулата параллельности Евклида следует, что если две прямые параллельны, то углы пары соответствующих углов секущей равны. Если углы одной пары соответствующих углов равны, то равны и углы каждой из других пар. На различных изображениях с параллельными линиями на этой странице соответствующие пары углов: α = α₁, β = β ₁, γ = γ₁ и δ = δ₁.

Последовательные внутренние углы

Одна пара последовательных углов. Параллельные прямые дают в сумме два прямых угла.

Смежные внутренние углы – это две пары углов,:

• Имеют различные вершины,

• Лягте на одну сторону поперечной и

• Оба салона.

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда два угла любой пары последовательных внутренних углов любой секущей являются дополнительными (в сумме они равны 180°). Теорема абсолютной геометрии (следовательно, действительная как в гиперболической, так и в евклидовой геометрии) доказывает, что если углы пары последовательных внутренних углов являются дополнительными, то две линии параллельны (не пересекаются). Из постулата параллельности Евклида следует, что если две прямые параллельны, то углы пары последовательных внутренних углов секущей являются дополнительными. Если одна пара последовательных внутренних углов является дополнительной, то другая пара также является дополнительной.

Если три прямые в общем положении образуют треугольник и затем пересечены секущей, то длины шести полученных отрезков удовлетворяют теореме Менелая.

Евклидова формулировка постулата параллельности может быть сформулирована в терминах трансверсали. В частности, если внутренние углы по одну сторону от секущей меньше двух прямых, то прямые должны пересекаться. На самом деле, Евклид использует ту же самую фразу на греческом языке, которая обычно переводится как трансверсальная.

Предложение 27 Евклида гласит, что если секущая пересекает две прямые так, что альтернативные внутренние углы конгруэнтны, то прямые параллельны. Евклид доказывает это от противного: если прямые не параллельны, то они должны пересечься, и получится треугольник. Тогда один из противоположных углов является внешним углом, равным другому углу, который является противолежащим внутренним углом в треугольнике. Это противоречит предложению 16, утверждающему, что внешний угол треугольника всегда больше противоположных внутренних углов.

Предложение 28 Евклида расширяет этот результат двумя способами. Во-первых, если секущая пересекает две прямые так, что соответствующие углы равны, то прямые параллельны. Во-вторых, если секущая пересекает две прямые так, что внутренние углы по одну сторону от этой секущей являются дополнительными, то прямые параллельны. Они следуют из предыдущего предложения, применяя тот факт, что противоположные углы пересекающихся прямых равны, а смежные углы на прямой являются дополнительными. Как отмечает Прокл, Евклид дает только три из шести возможных таких критериев параллельных прямых.

Предложение 29 Евклида является обратным двум предыдущим. Во-первых, если секущая пересекает две параллельные прямые, то параллельные внутренние углы равны. Если нет, то один больше другого, что означает, что его дополнение меньше, чем дополнение другого угла. Это означает, что на одной стороне секущей есть внутренние углы, которые меньше двух прямых углов, что противоречит пятому постулату. Утверждение продолжается утверждением, что на поперечной двух параллельных прямых соответствующие углы равны, а внутренние углы с одной и той же стороны равны двум прямым углам. Эти утверждения следуют так же, как предложение 28 следует из предложения 27.

Доказательство Евклида существенно использует пятый постулат, однако современные подходы к геометрии используют вместо этого аксиому Плейфера. Чтобы доказать предложение 29, предполагая аксиому Плейфэра, пусть секущей пересекает две параллельные прямые и предположим, что альтернативные внутренние углы не равны. Проведите третью линию через точку пересечения секущей с первой линией, но под углом, равным углу, который образует секущая со второй линией. Это создает две разные линии, проходящие через точку, обе параллельны другой линии, что противоречит аксиоме.

В многомерных пространствах линия, пересекающая каждую из множества линий в различных точках, является секущей этого набора линий. В отличие от двумерного (плоского) случая существование трансверсалей не гарантируется для наборов из более чем двух прямых. В евклидовом трехмерном пространстве regulus — это набор наклонных прямых, R, таких, что через каждую точку каждой прямой R проходит секущая R и через через каждую точку трансверсали R проходит прямая R. Множество трансверсалей регула R также является регулом, называемым противоположным регулом, R°. В этом пространстве три взаимно косые прямые всегда можно продолжить до регула.

• Точка
• Вершина

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).