Doma Vse Definicije Geometrija Prečna Opredelitev

Prečna Opredelitev

Prečna je vrstica , ki prehaja skozi dve vrstici v isti ravnini pri dveh različnih točkah . Prečniki igrajo vlogo pri ugotovitvi, ali sta dve drugi vrstici v euclidejski ravnini vzporedni . Presečišča prečno z dvema vrsticama ustvarjajo različne vrste parov kotov: zaporedni notranje kote , ustrezni koti in Nadomestni koti . Zaradi Euclidovega vzporednega postulata , če sta dve vrstici vzporedni, sta zaporedna notranja kota dopolnilna , ustrezni koti so enaki in nadomestni koti so enaki. Spodnji diagram prikazuje prečno.

Koti prečnega

Prečni prečni proizvede 8 kotov, kot je prikazano v zgornjem grafu:

  • 4 z vsako od obeh vrstic, in sicer α, β, γ in δ in potem α 1 , β 1 , γ 1 in δ 1 < /sub>; in

  • 4 od katerih sta notranjost (med obema vrsticama), in sicer α, β, γ 1 in δ 1 in 4 od katerih so zunanjost, in sicer α 1 , β 1 , γ in δ.

Prečni prehod, ki reže dve vzporedni črti pod desnimi koti , se imenuje pravokotno prečno. V tem primeru je vseh 8 kotov pravih kotov. Kadar so črte vzporedne, primer, ki se pogosto upošteva, prečna proizvede več kongruent in več dopolnilnih kotov . Nekateri od teh kotnih parov imajo določena imena in so obravnavani spodaj:

Nadomestni koti

En par nadomestnih kotov. S vzporednimi vrsticami so skladni.

Nadomestni koti so štirje pari kotov, ki:

  • Have distinct vertex points,

  • Ležite na nasprotnih straneh prečnega in

  • Oba kota sta notranja ali pa sta oba kota zunanjost.

Če sta dva kota enega para skladni, potem so koti vsakega drugega para skladni. Teorem absolutne geometrije (torej veljaven v tako hiperbolični in evklidski geometriji ) so vzporedni (ne-intersecting). Iz vzporednega postulata Euclida izhaja, da če sta obe vrstici vzporedni, potem so koti par nadomestnih kotov prečnega.

Ustrezni koti

En par ustreznih kotov. S vzporednimi vrsticami so skladni.

Ustrezni koti so štirje pari kotov:

  • Imajo različne točke,

  • Ležite na isti strani prečnega in

  • En kot je notranji, drugi pa zunanji.

Dve vrstici sta vzporedni, če in le, če sta dva kota katerega koli para ustreznih kotov katerega koli prečnega prehoda. Teorem absolutne geometrije (torej veljaven tako v hiperbolični kot v evklidski geometriji), dokazuje, da če sta koti para ustreznih kotov prečnega . Iz Euclidovega vzporednega postulata izhaja, da če sta obe vrstici vzporedni, potem so koti parov ustreznih kotov prečnega. Če so koti enega para ustreznih kotov skladni, potem so koti vsakega od drugih parov tudi skladni. Na različnih slikah z vzporednimi vrsticami na tej strani so ustrezni kotni pari: α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 in δ = δ 1 .

Zaporedni notranji koti

En par zaporednih kotov. S vzporednimi črtami seštevajo do dva pravima kotov.

Zaporedni notranji koti sta dva para kotov, ki sta:

  • Imajo različne točke,

  • Ležite na isti strani prečnega in

  • Sta oba notranja.

Dve vrstici sta vzporedni, če in samo, če sta dva kota zaporednih notranjih kotov katerega koli prečnega prečnega kota dodatna (vsota do 180 °). Teorem absolutne geometrije (torej veljaven tako v hiperbolični kot evklidski geometriji) dokazuje, da če sta koti parov zaporednih notranjih kotov dopolnita, sta dve vrstici vzporedni (ne-medsebojni). Iz vzporednega postulata Euclida izhaja, da če sta obe vrstici vzporedni, potem so koti zaporednih notranje kote prečnega kota. Če je dodaten en par zaporednih notranjih kotov, je dodaten tudi drugi par.

Druge lastnosti

Če tri vrstice v splošnem položaju tvorijo trikotnik, nato prerežemo s prečnim prehodom, dolžine šestih dobljenih segmentov izpolnjujejo menelausov teorem .

Povezane teoreme

Euclidova formulacija vzporednega postulata je lahko navedena v smislu prečnega. Konkretno, če so notranji koti na isti strani prečnega prehoda manjši od dveh desnih kotov, se morajo črte sekati. Pravzaprav Euclid v grščini uporablja isto besedno zvezo, ki je običajno prevedena kot prečna.

Euclidov predlog 27 navaja, da če prečni seka dve vrstici, tako da so nadomestni notranji koti skladni, potem so črte vzporedne. Euclid to dokazuje s protislovjem: Če črte niso vzporedne, se morajo sekati in oblikovati trikotnik. Potem je eden od nadomestnih kotov zunanji kot, ki je enak drugemu kot, ki je nasprotni notranji kot v trikotniku. To nasprotuje predlogu 16, ki navaja, da je zunanji kot trikotnika vedno večji od nasprotnih notranjih kotov.

Euclidov predlog 28 ta rezultat razširi na dva načina. Najprej, če prečni seka dve vrstici, tako da so ustrezni koti skladni, potem so črte vzporedne. Drugič, če prečni seka dve črti, tako da so notranji koti na isti strani prečnega prehoda dopolnilni, potem so črte vzporedne. Iz tega izhajajo iz prejšnjega predloga z uporabo dejstva, da so nasprotni koti presekajočih se črt enaki in da so sosednji koti na črti dodatni. Kot je zapisal Proclus, Euclid daje le tri od možnih šestih takih meril za vzporedne črte.

Euclidov predlog 29 je obračun prejšnjih dveh. Najprej, če prečni seka dve vzporedni črti, potem so nadomestni notranji koti skladni. Če ne, potem je eden večji od drugega, kar pomeni, da je njen dodatek manjši od dodatka drugega kota. To pomeni, da obstajajo notranji koti na isti strani prečnega prehoda, ki sta manjši od dveh desnih kotov, ki nasprotujejo petemu postulatu. Predlog se nadaljuje z navedbo, da so na prečnem prehodu dveh vzporednih črt ustrezne kote skladni, notranji koti pa na isti strani pa so enaki dvema pravima kotov. Te izjave sledijo na enak način, kot izhaja.

Dokaz Euclida uporablja bistveno uporabljati peti postulat, vendar sodobni tretmaji uporabe geometrije Playfair's Axiom . Če želite dokazati predlogo 29, ob predpostavki Playfaira Axiom, pustite, da prečni prečka dve vzporedni črti in predpostavimo, da nadomestni notranji koti niso enaki. Narišite tretjo črto skozi točko, kjer prehod prečka prvo črto, vendar s kotom, ki je enak kotu, ki ga prečna črta naredi z drugo črto. To ustvari dve različni črti skozi točko, obe vzporedni z drugo črto, ki nasprotuje aksiomu.

Višje dimenzije

V večjih dimenzijskih prostorih je črta, ki seka vsakega od nabora črt v različnih točkah, prečna točka tega niza. Za razliko od dvodimenzionalnega (ravninskega) primera ni zagotovljeno, da obstajajo za več kot dve vrstici. V Euclidean 3-prostoru je A regul niz črte naklona , r, tako da skozi vsako točko na vsaki liniji R preide prehod R in skozi Vsaka točka prednjega prehoda prehaja črto R. Nabor transverzalov regulusa r je tudi regul, imenovan nasprotni regulus, r °. V tem prostoru se lahko trije medsebojno nagibne linije vedno razširijo na regulus.

Sorodne definicije

Viri

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).

×

APP

Oglejte si našo brezplačno aplikacijo za iOS & Android.

Za več informacij o naši aplikaciji Obiščite tukaj!

Dodajte na domači zaslon

Dodajte matematiko Converse kot aplikacijo na svoj začetni zaslon.

APP

Oglejte si našo brezplačno namizno aplikacijo za MacOS, Windows & Linux.

Za več informacij o naši namizni aplikaciji Obiščite tukaj!

Razširitev brskalnika

Oglejte si naš brezplačni podaljšek brskalnika za Chrome, Firefox, Edge, Safari in Opera.

Za več informacij o razširitvi našega brskalnika Obiščite tukaj!

Dobrodošli v Math Converse

Rezervirano mesto

Rezervirano mesto

Navedite to stran

QR koda

Fotografirajte QR kodo, da delite to stran ali jo hitro odprete na telefonu:

Deliti
×