Hem Allt Definitioner Geometri Mellanliggande Definition

Mellanliggande Definition

En transversal är en linje som passerar genom två linjer i samma plan vid två distinkta punkter . Transversaler spelar en roll för att fastställa om två andra linjer i euklidiska plan är parallella . Korsningarna mellan en transversal med två linjer skapar olika typer av vinklar: på varandra följande inre vinklar , motsvarande vinklar och växelvinklar . Som en följd av Euclids parallella postulat , om de två linjerna är parallella, är på varandra följande inre vinklar kompletterande , motsvarande vinklar är lika och alternativa vinklar är lika. Diagrammet nedan illustrerar en tvärgående.

Tvärgående vinklar

En transversal producerar 8 vinklar, som visas i grafen ovan:

  • 4 med var och en av de två linjerna, nämligen α, β, γ och δ och sedan α 1 , β 1 , γ 1 och δ 1 < /sub>; och

  • Varav 4 är inre (mellan de två linjerna), nämligen α, β, γ 1 och δ 1 och 4 varav yttre, nämligen α 1 , β 1 , γ och δ.

En transversal som skär två parallella linjer vid rätvinklar kallas en vinkelrätt transversal. I det här fallet är alla åtta vinklar rätt vinklar. När linjerna är parallella, ett fall som ofta beaktas, producerar en tvärgående flera kongruent och flera kompletterande vinklar . Vissa av dessa vinkelpar har specifika namn och diskuteras nedan:

Alternativa vinklar

Ett par alternativa vinklar. Med parallella linjer är de kongruenta.

Alternativa vinklar är de fyra vinklarna som:

  • Have distinct vertex points,

  • Ligga på motsatta sidor av tvärgående och

  • Båda vinklarna är inre eller båda vinklarna är yttre.

Om de två vinklarna i ett par är kongruenta, är vinklarna för vart och ett av de andra paren också kongruenta. En teorem av absolut geometri (därmed giltig i både hyperbolic och euklidisk geometri ) bevisar att om vinklarna på ett par alternativa vinklar på en tvärgående är kongruenta så är de två linjerna är parallella (icke-tvärgående). Det följer av Euclids parallella postulat att om de två linjerna är parallella, är vinklarna på ett par alternativa vinklar på en tvärgående kongruent.

Motsvarande vinklar

Ett par motsvarande vinklar. Med parallella linjer är de kongruenta.

Motsvarande vinklar är de fyra vinklarna som:

  • Har distinkta toppunktpunkter,

  • Ligga på samma sida av transversationen och

  • Den ena vinkeln är inre och den andra är yttre.

Två linjer är parallella om och bara om de två vinklarna i ett par motsvarande vinklar på någon tvärgående är kongruenta. En teorem av absolut geometri (följaktligen giltigt i både hyperbolisk och euklidisk geometri) bevisar att om vinklarna på ett par motsvarande vinklar på en transversal är kongruenta, är de två linjerna parallella (icke-korsande) . Det följer av Euclids parallella postulat att om de två linjerna är parallella, är vinklarna på ett par motsvarande vinklar på en tvärgående kongruent. Om vinklarna för ett par motsvarande vinklar är kongruenta, är vinklarna för vart och ett av de andra paren också kongruenta. I de olika bilderna med parallella linjer på denna sida är motsvarande vinkelpar: α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 och δ = δ 1 .

Inredningsvinklar

Ett par på varandra följande vinklar. Med parallella linjer lägger de upp till två rätvinklar.

Påföljande inre vinklar är de två vinklarna som:

  • Har distinkta toppunktpunkter,

  • Ligga på samma sida av transversationen och

  • Är båda interiören.

Två linjer är parallella om och endast om de två vinklarna i något par på varandra följande inre vinklar i någon transversal är kompletterande (summa till 180 °). Ett teorem av absolut geometri (därmed giltigt i både hyperbolisk och euklidisk geometri) bevisar att om vinklarna i ett par på varandra följande inre vinklar är kompletterande så är de två linjerna parallella (icke-tvärgående). Det följer av Euclids parallella postulat att om de två linjerna är parallella, är vinklarna på ett par på varandra följande inre vinklar i en transversal kompletterande. Om ett par på varandra följande inre vinklar är kompletterande är det andra paret också kompletterande.

Andra egenskaper

Om tre linjer i allmän position bildar en triangel sedan skärs av en tvärgående, tillfredsställer de sex resulterande segmentens längder Menelaus teorem .

Relaterade teorier

Euclids formulering av det parallella postulatet kan anges i termer av en tvärgående. Specifikt, om de inre vinklarna på samma sida av transversalen är mindre än två rätvinklar, måste linjerna korsas. I själva verket använder Euclid samma fras på grekiska som vanligtvis översätts som tvärgående.

Euclids förslag 27 säger att om en tvärgående korsar två linjer så att alternativa inre vinklar är kongruenta, är linjerna parallella. Euclid bevisar detta genom motsägelse: om linjerna inte är parallella måste de korsa och en triangel bildas. Då är en av de alternativa vinklarna en yttre vinkel lika med den andra vinkeln som är en motsatt inre vinkel i triangeln. Detta motsäger förslag 16 som säger att en yttre vinkel på en triangel alltid är större än motsatta inre vinklar.

Euclids förslag 28 utvidgar detta resultat på två sätt. Först, om en tvärgående korsar två linjer så att motsvarande vinklar är kongruenta, är linjerna parallella. För det andra, om en tvärgående korsar två linjer så att inre vinklar på samma sida av transversalen är kompletterande, är linjerna parallella. Dessa följer av det tidigare förslaget genom att tillämpa det faktum att motsatta vinklar för korsande linjer är lika och att angränsande vinklar på en linje är kompletterande. Som noterats av Proclus ger Euclid endast tre av möjliga sex sådana kriterier för parallella linjer.

Euclids Proposition 29 är en konversation till de två föregående. Först, om en tvärgående korsar två parallella linjer, är de alternativa inre vinklarna kongruenta. Om inte, är den ena större än den andra, vilket innebär att tillskottet är mindre än tillskottet av den andra vinkeln. Detta innebär att det finns inre vinklar på samma sida av transversalen som är mindre än två rätvinklar, vilket motsäger det femte postulatet. Förslaget fortsätter med att säga att motsvarande vinklar på en transversal av två parallella linjer är kongruenta och de inre vinklarna på samma sida är lika med två rätvinklar. Dessa uttalanden följer på samma sätt som Prop. 28 följer av Prop. 27.

Euclids bevis använder sig av det femte postulatet, men moderna behandlingar av geometri använder playfairs axiom istället. För att bevisa förslag 29 förutsatt att Playfairs axiom, låt en tvärgående korsa två parallella linjer och anta att de alternativa inre vinklarna inte är lika. Rita en tredje rad genom den punkt där tvärgående korsar den första raden, men med en vinkel lika med vinkeln som transversalen gör med den andra raden. Detta producerar två olika linjer genom en punkt, båda parallell med en annan linje, som motsäger axiom.

Högre dimensioner

I högre dimensionella utrymmen är en linje som korsar var och en av en uppsättning linjer i distinkta punkter en transversal av den uppsättningen linjer. Till skillnad från det tvådimensionella (plan) fallet är transversaler inte garanterat att existera för uppsättningar med mer än två rader. I euklidisk 3-rymd är a regulus en uppsättning skevlinjer , r, så att genom varje punkt på varje rad r, passerar en transversal av r och genom Varje punkt i en transversal av r där passerar en linje av R. Uppsättningen av transversaler av en regulus r är också en regulus, kallad motsatt regulus, r °. I detta utrymme kan tre ömsesidigt skevlinjer alltid utvidgas till en regulus.

Relaterade definitioner

Källor

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).

×

App

Kolla in vår gratis app för iOS & Android.

För mer information om vår app besök här!

Lägg till på hemskärmen

Lägg till matematik Converse som app på din hemskärm.

App

Kolla in vår gratis skrivbordsapplikation för macOS, Windows & Linux.

För mer information om vår skrivbordsapplikation besök här!

Webbläsarförlängning

Kolla in vår gratis webbläsarförlängning för Chrome, Firefox, Edge, Safari och Opera.

För mer information om vår webbläsarförlängning besök här!

Välkommen till Math Converse

Platshållare

Platshållare

Citera den här sidan

QR -kod

Ta ett foto av QR -koden för att dela denna sida eller för att öppna den snabbt på din telefon:

Dela med sig
×