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不可数 定义
Uncountable otherwise known as uncountable set or uncountably infinite is an infinite set that contains too many elements to be countable. The uncountability of a set is closely related to its cardinal number. A set is uncountable if its cardinal number is larger than that of the set of all natural numbers. For instance, the set of real numbers is uncountable. If an uncountable set X is a subset of set Y, then Y is uncountable.
表征
不可数性有许多等价的表征。集合 X 是不可数的当且仅当以下任何条件成立：
从 X 到自然数集没有内射函数。
X 是非空的，并且对于 X 的每个 ω-序列元素，至少存在一个不包含在其中的 X 元素。也就是说，X 是非空的，并且没有从自然数到 X 的满射函数。
X 的 cardinality 既不是有限的也不等于 ℵ0（aleph-null，自然数的基数）。
集合 X 的基数严格大于 ℵ0。
在没有选择公理的情况下，这些特征中的前三个可以在Zermelo-Fraenkel集合论中被证明是等价的，但是如果没有额外的选择原则，则无法证明第三个和第四个的等价性。
例子
不可数的例子:
不可数集最著名的例子是所有实数的集合 R。康托尔的对角线论证表明这个集合是不可数的。对角化证明技术也可以用来证明其他几个集合是不可数的，例如自然数的所有无限序列的集合和自然数集合的所有子集的集合。 R 的基数通常称为连续统的基数，用 c 或 2 ℵ0 (beth-one) 表示。
康托尔集是 R 的不可数子集。康托尔集是一个分形，并且豪斯多夫维数大于零但小于一（R 的维数为一）。这是以下事实的一个示例：任何严格大于零的 Hausdorff 维数 R 的子集必须是不可数的。
不可数集合的另一个例子是从 R 到 R 的所有函数的集合。这个集合比 R 更不可数，因为这个集合的基数是 beth-2，比 beth-one 大。
不可数集合的一个更抽象的例子是所有可数序数的集合，用 Ω 表示。或 ω1。 Ω 的基数表示为 ℵ1 (aleph-one)。可以使用选择公理证明 ℵ1 是最小的不可数基数。因此，实数的基数 beth-one 等于 ℵ1 或严格大于。 Georg Cantor 是第一个提出 beth-one 是否等于 ℵ1 的问题。 1900 年，大卫希尔伯特提出这个问题作为他的 23 个问题中的第一个问题。 ℵ1 = beth-one 的陈述现在称为连续统假设，并且已知独立于 集合论 的 Zermelo-Fraenkel 公理（包括选择公理）。
没有选择公理
如果没有选择公理，可能存在与 ℵ0 不可比的基数（即 Dedekind 有限无限集的基数）。这些基数的集合满足上述前三个特征，但不满足第四个特征。因为这些集合并不大于基数意义上的自然数，所以有些人可能不想称它们为不可数。如果选择公理成立，则基数上的以下条件是 κ是等价的：
κ ≰ ℵ0;
κ ≻ ℵ0; and
κ ≥ ℵ1，其中 ℵ1 = |ω1| ω1 是大于 ω 的最小初始序数。
但是，如果选择公理失败，这些可能都会有所不同。因此，当公理失败时，哪一个是不可数性的适当概括并不明显。在这种情况下，最好避免使用该词并指定其中的哪个意思。
来源
“Uncountable Set.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 23 Mar. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Uncountable_set.