欠定方程组 定义
欠定方程组是线性方程组或多项式方程组，如果方程少于变量（与< span>超定方程组，其中方程多于变量）。例如，具有两个方程和三个未知变量的系统是欠定的。值得注意的是，一个欠定系统可能是 consistent 或 inconsistent，具体取决于方程。可以使用约束计数的概念来解释该术语。每个未知数都可以看作是一个可用的自由度。引入系统的每个方程都可以看作是限制一个自由度的约束。
因此，当方程的数量和自由变量的数量相等时，就会出现临界情况（在超定和欠定之间）。对于给定一个自由度的每个变量，都存在一个相应的约束消除一个自由度。相反，欠定的情况发生在系统受到欠约束时，即当未知数超过方程时。
欠定系统的解决方案
欠定线性系统要么没有解，要么有无穷多个解。例如，x + y + z = 1 和 x + y + z = 0 是一个没有任何解的欠定系统；任何没有解的方程组都被称为是不一致的。另一方面，系统 x + y + z = 1 和 x + y + 2z = 3 是一致的并且有无穷多个解，例如 (x, y, z) = (1, -2, 2)， (2, -3, 2) 和 (3, -4, 2)。所有这些解都可以通过首先从第二个方程中减去第一个方程来表征，以表明所有解都服从 z = 2；在任一方程中使用它表明任何 y 值都是可能的，其中 x = –1 – y。
更具体地说，根据 Rouché-Capelli 定理，如果 augmented matrix 的 rank 大于系数矩阵。另一方面，如果这两个矩阵的秩相等，则系统必须至少有一个解；因为在一个欠定系统中，这个秩必然小于未知数的数量，所以确实存在无限的解，一般解具有 k 个自由参数，其中 k 是变量数量与秩之间的差。
There are algorithms to decide whether an underdetermined system has solutions, and if it has any, to express all solutions as linear functions of k of the variables (same k as above). The simplest one is Gaussian elimination. See System of linear equations for more details.
均质案例
齐次（所有常数项均为零）欠定线性系统始终具有非平凡解（除了所有未知数为零的平凡解）。这样的解有无穷多个，形成一个向量空间，其维数是未知数与系统矩阵秩之差。
欠定多项式系统
线性欠定系统的主要性质，即无解或无穷多，以下列方式扩展到多项式方程组。
方程组少于未知数的多项式方程组称为欠定方程组。它要么有无限多的复杂解（或更一般地说，是代数封闭域中的解），要么是不一致的。当且仅当 0 = 1 是方程的线性组合（具有多项式系数）（这是 Hilbert 的 Nullstellensatz）时，它是不一致的。如果在 n 个变量 (t < n) 中的 t 个方程的欠定系统有解，则所有复解的集合是维数至少为 n - t 的代数集。如果随机选择欠定系统，则维度等于 n - t，概率为 1。
具有其他约束和优化问题的欠定系统
一般来说，一个欠定的线性方程组有无限数量的解，如果有的话。然而，在受线性等式约束的优化问题中，只有一个解是相关的，即给出目标函数的最高或最低值的解。
一些问题指定一个或多个变量被约束为整数值。整数约束会导致整数规划和丢番图方程问题，这些问题可能只有有限数量的解。另一种出现在编码理论中的约束，特别是在纠错码和信号处理（例如压缩感知）中，包括变量数量的上限，该上限可能不同于零。在纠错码中，这个界限对应于可以同时纠正的最大错误数。
相关定义
来源
“Underdetermined System.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 16 June 2019, en.wikipedia.org/wiki/Underdetermined_system.