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不可數 定義

Uncountable otherwise known as uncountable set or uncountably infinite is an infinite set that contains too many elements to be countable. The uncountability of a set is closely related to its cardinal number. A set is uncountable if its cardinal number is larger than that of the set of all natural numbers. For instance, the set of real numbers is uncountable. If an uncountable set X is a subset of set Y, then Y is uncountable.

表徵

不可數性有許多等價的表徵。集合 X 是不可數的當且僅當以下任何條件成立:

  • 從 X 到自然數集沒有內射函數

  • X 是非空的,並且對於 X 的每個 ω-序列元素,至少存在一個不包含在其中的 X 元素。也就是說,X 是非空的,並且沒有從自然數到 X 的滿射函數

  • X 的 cardinality 既不是有限的也不等於 ℵ0aleph-null,自然數的基數)。

  • 集合 X 的基數嚴格大於 ℵ0

在沒有選擇公理的情況下,這些特徵中的前三個可以在Zermelo-Fraenkel集合論中被證明是等價的,但是如果沒有額外的選擇原則,則無法證明第三個和第四個的等價性。

例子

不可數的例子:

  • 不可數集最著名的例子是所有實數的集合 R。康托爾的對角線論證表明這個集合是不可數的。對角化證明技術也可以用來證明其他幾個集合是不可數的,例如自然數的所有無限序列的集合和自然數集合的所有子集的集合。 R 的基數通常稱為連續統的基數,用 c 或 20 (beth-one) 表示。

  • 康托爾集是 R 的不可數子集。康托爾集是一個分形,並且豪斯多夫維數大於零但小於一(R 的維數為一)。這是以下事實的一個示例:任何嚴格大於零的 Hausdorff 維數 R 的子集必須是不可數的。

  • 不可數集合的另一個例子是從 R 到 R 的所有函數的集合。這個集合比 R 更不可數,因為這個集合的基數是 beth-2,比 beth-one 大。

  • 不可數集合的一個更抽象的例子是所有可數序數的集合,用 Ω 表示。或 ω1。 Ω 的基數表示為 ℵ1 (aleph-one)。可以使用選擇公理證明 ℵ1 是最小的不可數基數。因此,實數的基數 beth-one 等於 ℵ1 或嚴格大於。 Georg Cantor 是第一個提出 beth-one 是否等於 ℵ1 的問題。 1900 年,大衛希爾伯特提出這個問題作為他的 23 個問題中的第一個問題。 ℵ1 = beth-one 的陳述現在稱為連續統假設,並且已知獨立於 集合論 的 Zermelo-Fraenkel 公理(包括選擇公理)。

沒有選擇公理

如果沒有選擇公理,可能存在與 ℵ0 不可比的基數(即 Dedekind 有限無限集的基數)。這些基數的集合滿足上述前三個特徵,但不滿足第四個特徵。因為這些集合併不大於基數意義上的自然數,所以有些人可能不想稱它們為不可數。如果選擇公理成立,則基數上的以下條件是 κ是等價的:

  • κ ≰ ℵ0;

  • κ ≻ ℵ0; and

  • κ ≥ ℵ1,其中 ℵ1 = |ω1| ω1 是大於 ω 的最小初始序數。

但是,如果選擇公理失敗,這些可能都會有所不同。因此,當公理失敗時,哪一個是不可數性的適當概括並不明顯。在這種情況下,最好避免使用該詞並指定其中的哪個意思。

相關定義

來源

“Uncountable Set.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 23 Mar. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Uncountable_set.

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