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橫向 定義

橫向是一條 line,它在同一 plane 中的兩個不同 point 處穿過兩條線。橫向在確定歐幾里得平面中的另外兩條線是否平行方面發揮作用。一條橫線與兩條線的交點會產生各種類型的角對:連續的內角對應角交替角。由於歐幾里得的平行假設,如果兩條線平行,則連續的內角是補充,對應的角度相等,交替的角度也相等。下圖說明了一個橫向。

橫向角度

如上圖所示,橫向產生 8 個角度:

  • 與兩行中的每一行,即 α, β, γ和 δ然後是 α1、β1、γ1 和 δ1< /子>;和

  • 其中4個是內部(兩行之間),即α、β、γ1和δ1和4其中是外部的,即α1, β1, γ和δ。

直角 切割兩條平行線的橫斷面稱為垂直 橫斷面。在這種情況下,所有 8 個角都是直角。當線平行時,通常會考慮這種情況,橫向會產生幾個全等和幾個補角。其中一些角度對具有特定名稱,並在下面討論:

交替角度

一對交替的角度。對於平行線,它們是全等的。

交替角是四對角:

  • Have distinct vertex points,

  • 位於橫斷面的相對兩側,並且

  • 兩個角都是內角或兩個角都是外角。

如果一對的兩個角全等,那麼其他對中的每一對的角也全等。絕對幾何定理(因此在 hyperbolicEuclidean Geometry 中都有效)證明,如果橫向的一對交替角的角度相等,則兩條線是平行的(不相交)。從歐幾里得的平行假設得出,如果兩條線平行,則一條橫線上的一對交替角的角是全等的。

對應角度

一對對應的角度。對於平行線,它們是全等的。

對應角是四對角:

  • 有不同的頂點,

  • 位於橫斷面的同一側並且

  • 一個角度是內部的,另一個是外部的。

兩條線平行當且僅當任何橫截面的任何一對對應角的兩個角全等。 絕對幾何 的定理(因此在雙曲幾何和歐幾里得幾何中都有效)證明,如果一對對應的橫向角的角度全等,則兩條線平行(不相交) .從歐幾里得的平行假設得出,如果兩條線平行,則一條橫線上的一對對應角的角是全等的。如果一對對應角的角全等,則其他各對的角也全等。本頁各條平行線圖片中,對應的角度對為:α = α1, β = β 1, γ = γ1 和 δ = δ1

連續的內角

一對連續的角。對於平行線,它們加起來是兩個直角。

連續的內角是兩對角:

  • 有不同的頂點,

  • 位於橫斷面的同一側並且

  • 都是內飾。

兩條線平行當且僅當任何橫向的任何一對連續內角的兩個角是互補的(總和為 180°)。絕對幾何定理(因此在雙曲幾何和歐幾里得幾何中都有效)證明,如果一對連續內角的角度是互補的,則兩條線平行(不相交)。從歐幾里得的平行假設得出,如果兩條線平行,則一條橫線的一對連續內角的角度是互補的。如果一對連續的內角是互補的,那麼另一對也是互補的。

其他屬性

如果在一般位置上形成一個三角形的三條線然後被一條橫切線切割,則六個所得線段的長度滿足 梅內勞斯定理

相關定理

Euclid 對平行公設的表述可以用橫斷面來表述。具體來說,如果橫截面同一側的內角小於兩個直角,則線必須相交。事實上,歐幾里得在希臘語中使用了通常被翻譯為橫向的同一個短語。

歐幾里德的第 27 號命題指出,如果一條橫線與兩條直線相交,使得交替的內角全等,則兩條直線平行。歐幾里得通過矛盾證明了這一點:如果線不平行,則它們必須相交並形成三角形。那麼其中一個交替角是與另一個角相等的外角,而另一個角是三角形中對角的內角。這與命題 16 相矛盾,該命題指出三角形的外角總是大於對角的內角。

Euclid 的第 28 號命題以兩種方式擴展了這一結果。首先,如果一條橫線與兩條線相交,使得對應的角度相等,那麼兩條線是平行的。其次,如果一條橫線與兩條線相交,使得橫線同一側的內角互補,則兩條線平行。通過應用相交線的對角相等並且一條線上的相鄰角是互補的事實,這些是從前面的命題得出的。正如 Proclus 所指出的,歐幾里得只給出了平行線的六個可能標準中的三個。

歐幾里得的第 29 命題與前兩個命題相反。首先,如果一條橫線與兩條平行線相交,則交替的內角是全等的。如果不是,則一個大於另一個,這意味著它的補充小於另一個角度的補充。這意味著在橫截面的同一側存在小於兩個直角的內角,這與第五個假設相矛盾。該命題繼續指出,在兩條平行線的橫截面上,對應角全等,並且同一側的內角等於兩個直角。這些陳述的遵循方式與第 28 條從第 27 條中遵循的方式相同。

Euclid 的證明基本使用了第五個公設,然而,幾何的現代處理使用 Playfair 公理。為了證明命題 29 假設 Playfair 公理,讓一條橫線穿過兩條平行線,並假設交替的內角不相等。通過橫向與第一條線相交的點繪製第三條線,但角度等於橫向與第二條線所成的角度。這會產生兩條不同的線穿過一個點,它們都平行於另一條線,這與公理相矛盾。

更高維度

在更高維空間中,與一組線中的每一條在不同點相交的線是該組線的橫向。與二維(平面)情況不同,對於多於兩條線的集合,不能保證存在橫向。在歐幾里得 3 空間中,regulus 是一組 斜線,R,使得通過 R 的每條線上的每個點,通過 R 的橫截面並通過R 的橫斷面的每個點都經過 R 的一條線。 軒轅 R 的橫切面集也是一個軒轅,稱為對面軒轅,R°。在這個空間中,三個相互傾斜的線總是可以延伸到一個軒轅。

相關定義

來源

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).

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