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算術 定義

Arithmetic is a branch of mathematics dealing with integers or, more generally, numerical computation. Arithmetic operations include addition, congruence calculation, division, factorization, multiplication, power computation, root extraction, subtraction, logarithms, and calculations involving modulo n. Arithmetic is an elementary part of number theory, and number theory is considered to be one of the top-level divisions of modern mathematics, along with algebra, geometry, and analysis. Arithmetic is derived from the Greek terms arithmos and tiké meaning number and art respectively. The terms arithmetic and higher arithmetic were used until the beginning of the 20th century as synonyms for number theory and are sometimes still used to refer to a wider part of number theory. Arithmetic was part of the quadrivium taught in medieval universities. A mnemonic for the spelling of arithmetic is a rat in the house may eat the ice cream.

模算術是同餘的算術。 浮點算術 是計算機或其他自動化設備使用固定位數對實數執行的算術。 算術基本定理,也稱為唯一因式分解定理,指出任何正整數都可以用一種方式表示為primesproduct >。 Löwenheim-Skolem 定理模型理論 的基本結果,它確立了非標準算術模型的存在。

歷史

算術史僅限於少數可能表明加減法概念的文物,其中最著名的是來自中非的 Ishango 骨頭,其歷史可追溯至公元前 20,000 至 18,000 年之間,儘管其解釋存在爭議。最早的書面記錄表明,埃及人和巴比倫人早在公元前 2000 年就使用了所有基本的算術運算。這些人工製品並不總是揭示用於解決問題的具體過程,但特定數字系統的特徵強烈影響方法的複雜性。埃及數字的象形文字系統,就像後來的羅馬數字一樣,起源於用於計數的計數標記。在這兩種情況下,這個原點都會產生使用 decimal 基數但不包括位置符號的值。使用羅馬數字進行複雜的計算需要藉助計數板或羅馬算盤 來獲得結果。包含位置符號的早期數字系統不是十進制的,包括用於巴比倫數字的六十進制(以 60 為底)系統和定義瑪雅數字的維吉斯(以 20 為底)系統。由於這個位值概念,為不同的值重用相同數字的能力有助於更簡單和更有效的計算方法。

The continuous historical development of modern arithmetic starts with the Hellenistic civilization of ancient Greece, although it originated much later than the Babylonian and Egyptian examples. Prior to the works of Euclid around 300 BC, Greek studies in mathematics overlapped with philosophical and mystical beliefs. For example, Nicomachus summarized the viewpoint of the earlier Pythagorean approach to numbers, and their relationships to each other, in his Introduction to Arithmetic. Greek numerals were used by Archimedes, Diophantus and others in a positional notation not very different from ours. The ancient Greeks lacked a symbol for zero until the Hellenistic period, and they used three separate sets of symbols as digits: one set for the units place, one for the tens place, and one for the hundreds. For the thousands place they would reuse the symbols for the units place, and so on. Their addition algorithm was identical to ours, and their multiplication algorithm was only very slightly different. Their long division algorithm was the same, and the digit-by-digit square root algorithm, popularly used as recently as the 20th century, was known to Archimedes, who may have invented it. He preferred it to Hero's method of successive approximation because, once computed, a digit doesn't change, and the square roots of perfect squares, such as 7485696, terminate immediately as 2736. For numbers with a fractional part, such as 546.934, they used negative powers of 60 instead of negative powers of 10 for the fractional part 0.934.

從商代到唐代,古代中國人進行了高級算術研究,從基本數字到高級代數。古代中國人使用類似於希臘人的位置記法。由於它們也缺少零符號,因此它們有一組用於個位的符號,而另一組用於十位的符號。然後,對於數百個地方,他們重新使用了單位位置的符號,依此類推。他們的符號是基於古代的計數棒。確切地確定中國人何時開始使用位置表示進行計算是一個複雜的問題,但肯定是在公元前 400 年之前。正如劉徽所著的《九章算術》中所解釋的,古代中國人是第一個有意義地發現、理解和應用負數的人。

印度教 - 阿拉伯數字系統的逐漸發展獨立地設計了位值概念和位置符號,它將更簡單的計算方法與十進制基數和使用數字表示 0 相結合。這使得系統能夠一致地表示兩個大和小整數。這種方法最終取代了所有其他系統。公元 6 世紀初,印度數學家 Aryabhata 在他的工作中加入了該系統的現有版本,並嘗試了不同的符號。在 7 世紀,Brahmagupta 確立了使用 0 作為一個單獨的數,並確定了除 除以零 的結果之外的所有其他數的乘法、除法、加法和減法的結果。與他同時代的敘利亞主教西弗勒斯·塞博赫特(公元 650 年)說:“印度人擁有一種計算方法,任何語言都無法讚美。他們理性的數學系統,或他們的計算方法。我指的是使用九個符號的系統。” [5] 阿拉伯人也學會了這種新方法,並稱之為hesab。

儘管 Codex Vigilanus 描述了公元 976 年阿拉伯數字的早期形式(省略 0),但比薩的萊昂納多(斐波那契)在 1202 年出版了他的書《算盤算盤》後主要負責將其傳播到整個歐洲。他寫道:“印度人的方法(拉丁語 Modus Indoram)超越了任何已知的計算方法。這是一個了不起的方法。他們使用九個數字和符號零進行計算”。在中世紀,算術是大學教授的七門文科之一。代數在中世紀伊斯蘭世界和文藝復興時期的歐洲蓬勃發展是對數學的巨大簡化的產物通過十進制記數法計算。各種類型的工具已被發明並廣泛用於輔助數字計算。在文藝復興之前,它們是各種類型的算盤。最近的例子包括計算尺、列線圖和機械計算器,如帕斯卡計算器。目前,它們已被電子計算器和計算機所取代。

上面展示的萊布尼茨的 Stepped Reckoner 是第一個可以執行所有四種算術運算的計算器。

算術運算

The basic arithmetic operations are addition, subtraction, multiplication and division, although this subject also includes more advanced operations, such as manipulations of percentages, square roots, exponentiation, logarithmic functions, and even trigonometric functions, in the same vein as logarithms (prosthaphaeresis). Arithmetic expressions must be evaluated according to the intended sequence of operations. There are several methods to specify this, either most common, together with infix notation explicitly using parentheses, and relying on precedence rules, or using a prefix or postfix notation, which uniquely fix the order of execution by themselves. Any set of objects upon which all four arithmetic operations (except division by zero) can be performed, and where these four operations obey the usual laws (including distributivity), is called a field.

加法 (+)

加法是算術最基本的運算。在其簡單形式中,加法將兩個數字(加數或項)組合成一個數字,即數字之和(例如 2 + 2 = 4 或 3 + 5 = 8)。將有限多個數相加可以看作是重複的簡單加法。這個過程被稱為summation,這個術語也用來表示在一個infinite series中添加無限多個數的定義。數字1的重複加法是counting最基本的形式。加1的結果通常稱為原數的successor

加法是 commutativeassociative,因此添加有限多個項的順序無關緊要。 二元運算identity 元素 是一個數字,當與任何數字組合時,會產生與結果相同的數字。根據加法規則,將 0 加到任何數都會產生相同的數,因此 0 是加法恆等式。一個數字相對於二元運算的 inverse 是一個數字,當它與任何數字組合時,就該運算產生恆等式。所以一個數相對於加法的倒數(它的additive inverse,或相反的數)是當添加到原始數時產生加法恆等式的數,0;很明顯,這是原始數字的負數。例如,7 的加法逆元是 -7,因為 7 + (-7) = 0。

加法可以在以下實例中進行幾何解釋。如果我們有兩根長度為 3 和 6 的棍子,那麼,如果我們將棍子一個接一個地放置,則由此形成的棍子的長度為 9,因為 3 + 6 = 9。

減法 (-)

減法是加法的逆運算。減法找到兩個數字之間的差,被減數減去被減數:D = M - S。借助先前建立的加法,這就是說,差是加到被減數時得到被減數的數字: D + S = M. 對於正論點 M 和 S 成立:

  • 如果被減數大於減數,則差 D 為正。

  • 如果被減數小於減數,則差 D 為負。

  • 在任何情況下,如果被減數和被減數相等,則差 D = 0。

Subtraction is neither commutative nor associative. For that reason, in modern algebra the construction of this inverse operation is often discarded in favor of introducing the concept of inverse elements, as noted under Addition, and to look at subtraction as adding the additive inverse of the subtrahend to the minuend, that is a − b = a + (−b). The immediate price of discarding the binary operation of subtraction is the introduction of the (trivial) unary operation, delivering the additive inverse for any given number, and losing the immediate access to the notion of difference, which is potentially misleading when negative arguments are involved.

對於數字的任何表示,都有計算結果的方法,其中一些方法在利用程序方面特別有利,這些程序存在於一種操作中,也適用於其他操作。例如,數字計算機可以重用現有的加法電路,並節省額外的電路來實現減法,採用two's supplement的方法表示加法逆元,這在硬件中非常容易實現(否定)。權衡是將固定字長的數字範圍減半。

以前普遍採用的一種在知道到期金額和給定金額的情況下實現正確找零金額的方法是向上計數法,它不會顯式生成差額的值。假設給定金額 P 以支付所需金額 Q,其中 P 大於 Q。不是顯式執行減法 P - Q = C 併計算出該金額 C 的變化,而是從後繼者開始計算貨幣Q,並繼續貨幣的步驟,直到達到 P。儘管計算出的數量必須等於減法 P - Q 的結果,但減法從未真正完成,並且此方法不提供 P - Q 的值。

乘法(x 或 ∙ 或 *)

乘法是算術的第二個基本運算。乘法還將兩個數字組合成一個數字,即乘積。這兩個原始數字稱為乘數和被乘數,大多都簡稱為因數。

乘法可以被視為縮放操作。如果將數字想像成一條直線,則乘以大於 1 的數字(例如 x)與將所有內容從 0 均勻拉伸是相同的,即數字 1 本身被拉伸到 x 所在的位置。類似地,乘以小於 1 的數可以想像為向 0 擠壓。(同樣,以 1 進入被乘數的方式。)

另一種關於整數乘法的觀點,可以擴展到有理數,但對於實數來說不是很容易理解,將其視為重複加法。因此,3 × 4 對應於將 3 乘以 4 或 4 乘以 3,得到相同的結果。對於這些範式在數學教育中的優勢,眾說紛紜。

乘法是可交換的和結合的;此外,它在加法和減法上是分配的。 乘法恆等式 是 1,因為任何數乘以 1 都會產生相同的數。除 0 以外的任何數的 乘法逆 都是該數的 倒數,因為將任何數的倒數乘以該數本身會產生乘法恆等式 1。0 是唯一的沒有乘法逆元的數字,任何數字與 0 相乘的結果仍然是 0。有人說 0 不包含在數字的乘法 group 中。

和 b 的乘積寫成 a × b 或 a ∙灣。當 a 或 b 不是簡單地用數字寫成的表達式時,它也可以通過簡單的並置來寫:ab。在只能使用通常在鍵盤上找到的字符的計算機編程語言和軟件包中,通常用星號書寫:a * b。

實現對各種數字表示的乘法運算的算法遠比用於加法的算法更昂貴和費力。那些可用於手動計算的方法要么依賴於將因子分解為單個位置值並應用重複加法,要么使用 tablesslide rules,從而將乘法映射到加法並返回.這些方法已經過時並被移動設備取代。計算機利用各種複雜且高度優化的算法來實現其係統支持的各種數字格式的乘法和除法。

除法(÷ 或 /)

除法本質上是乘法的逆運算。除法求兩個數的商,即被除數除以除數。任何股息除以零 是未定義的。對於不同的正數,如果被除數大於除數,則商大於 1,否則小於 1(類似規則適用於負數)。商乘以除數總是產生被除數。

除法既不是可交換的,也不是結合的。正如對減法所解釋的那樣,在現代代數中,除法的構造被丟棄,而有利於構造乘法的逆元素,正如那裡介紹的那樣。即除法是以被除數和除數的倒數為因數的乘積,即÷ b = a × 1/b。

在自然數中還有一個不同但相關的概念,歐幾里得除法,給出兩個自然 N(分子)除以自然 D(分母)的結果,第一個是自然 Q(商) 和第二個,自然 R(餘數),使得 N = D×Q + R 且 R < Q。

算術基本定理

算術基本定理指出,任何大於 1 的整數都具有唯一的 素因數分解(將數字表示為素因數的乘積),不包括因數的順序。例如,252 只有一個素數分解:252 = 22 x 32 x 71Euclid's Elements首先介紹了這個定理,並給出了部分證明(稱為Euclid's lemma)。 卡爾·弗里德里希·高斯首先證明了算術的基本定理。算術基本定理是 1 不被視為 素數 的原因之一。其他原因包括 埃拉托色尼篩,以及素數本身的定義(一個大於 1 的 自然數,不能通過將兩個較小的自然數相乘而形成。)。

十進制算術

十進製表示專門指在常用的書面數字系統中使用阿拉伯數字作為digits基數 10(十進制)位置表示法。但是,任何基於 10 次方的數字系統,例如希臘數字、西里爾字母、羅馬數字或中國數字,在概念上都可以描述為十進製表示法或十進製表示。

四種基本運算(加法、減法、乘法和除法)的現代方法首先由印度的 Brahmagupta 設計。這在中世紀的歐洲被稱為 Modus Indoram 或印第安人的方法。位置表示法(也稱為位值表示法)是指對不同的數量級(個位、十位、百位)使用相同符號的數字表示或編碼,並且一個radix point,使用這些相同的符號來表示fractions(十分位,百位)。例如,507.36 表示 5 個百(102),加上 0 個十(101),加上 7 個單位(100),加上十分之三 (10-1) 加上百分之六 (10-2)。

零作為與其他基本數字相當的數字的概念對於此表示法至關重要,0 用作佔位符的概念以及與 0 的乘法和加法的定義也是如此。使用 0 作為佔位符和因此,位置記法的使用首先在公元 458 年的印度耆那教文本中得到證實,題為 Lokavibhâga,直到 13 世紀初,這些概念才通過阿拉伯世界的學術傳播而被引入斐波那契使用印度-阿拉伯數字系統進入歐洲。

算法 包含使用這種類型的書面數字執行算術計算的所有規則。例如,加法產生兩個任意數的和。結果是通過從右到左從每個佔據相同位置的數字重複添加單個數字來計算的。一個十行十列的加法表顯示每個總和的所有可能值。如果單個總和超過值 9,則結果用兩位數表示。最右邊的數字是當前位置的值,隨後向左添加數字的結果會增加第二個(最左邊)數字的值,該數字始終為 1(如果不是零)。這種調整稱為值 1 的進位。將兩個任意數相乘的過程與相加的過程類似。一個十行十列的乘法表列出了每對數字的結果。如果一對數字的單個乘積超過 9,則進位調整會將任何後續從數字向左相乘的結果增加一個等於第二個(最左邊)數字的值,該值是從 1 到 8 的任何值(9 × 9 = 81)。附加步驟定義最終結果。減法和除法也存在類似的技術。

創建一個正確的乘法過程依賴於相鄰數字值之間的關係。數字中任何單個數字的值取決於它的位置。此外,左邊的每個位置代表一個比右邊位置大十倍的值。在數學術語中,10 的 radix(底數)的 exponent 增加 1(向左)或減少 1(向右)。因此,任意數字的值乘以 10n 形式的值,整數 n。對應於單個數字的所有可能位置的值列表寫為 {..., 102, 10, 1, 10-1, 10 -2, ...}。

將此列表中的任何值重複乘以 10 會在列表中產生另一個值。在數學術語中,這個特性被定義為closure,前面的列表被描述為在乘法下是封閉的。它是使用先前技術正確找到乘法結果的基礎。這一結果是數論應用的一個例子。

複合單位算術

複合單位算術是將算術運算應用於 混合基數 量,例如英尺和英寸、加侖和品脫磅、先令和便士等。在基於十進制的貨幣和計量單位系統之前,複合單位算術廣泛用於商業和工業。

基本算術運算

複合單位算術中使用的技術已經發展了許多個世紀,並且在許多不同語言的許多教科書中都有很好的記載。除了十進制算術中遇到的基本算術函數外,複合單元算術還使用了三個函數:

  • 縮減,其中一個複合量被縮減為一個單一的量——例如,將以碼、英尺和英寸表示的距離轉換為以英寸表示的距離。

  • 擴展,反函數到縮減,是將表示為單個度量單位的量轉換為複合單位,例如將 24 盎司擴展為 1 磅 8 盎司。

  • 規範化是將一組複合單位轉換為標準形式。例如,將 1 英尺 13 英寸重寫為 2 英尺 1 英寸。

了解各種計量單位、它們的倍數和它們的約數之間的關係是複合單位算術的重要組成部分。

複合單位算術原理

複合單位算術有兩種基本方法:

  • 縮減-擴展方法,將所有復合單位變量縮減為單個單位變量,執行計算並將結果擴展回複合單位。這種方法適用於自動計算。一個典型的例子是 Microsoft Excel 對時間的處理,其中所有時間間隔都在內部處理為天和一天的小數部分。

  • 持續歸一化方法,其中每個單元被單獨處理,隨著解決方案的發展,問題被不斷歸一化。這種在經典文本中廣泛描述的方法最適合手動計算。下面顯示了應用於加法的正在進行的歸一化方法的示例。

評論

法特 (f) = 1 便士

12 便士 (d) = 1 先令

20 先令 = 1 英鎊 (£)

加法運算從右到左進行;在這種情況下,首先處理便士,然後是先令,然後是英鎊。答案行下方的數字是中間結果。便士列的總數是 25。由於一先令有 12 便士,所以 25 除以 12 得到 2,餘數為 1。然後將值 1 寫入答案行,將值 2 結轉到先令列。使用先令列中的值重複此操作,並添加從便士列中結轉的值的附加步驟。中間總數除以 20,因為一磅有 20 先令。然後處理磅列,但由於磅是正在考慮的最大單位,因此磅列中不會結轉任何值。為了簡單起見,這個例子沒有錢。

實踐操作

在 19 世紀和 20 世紀期間,開發了各種輔助工具來幫助操作複合單元,特別是在商業應用中。最常見的輔助工具是在英國等國家/地區進行了改造以容納英鎊、先令、便士和法幣的機械式收銀機,以及 Ready Reckoners(針對交易者的書籍,它們對各種常規計算的結果進行分類,例如各種計算的百分比或倍數)錢)。一本典型的小冊子長達 150 頁,以從一法分到一磅的各種價格列出了從一到一萬的倍數。

複合單位算術的繁瑣性已被人們多年認識。 1586 年,佛蘭德數學家西蒙·斯蒂文(Simon Stevin)出版了一本名為 De Thiende(第十本)的小冊子,他在其中宣稱,普遍引入十進製造幣、度量和重量只是時間問題。在現代,許多轉換程序,例如包含在 Microsoft Windows 7 操作系統計算器中的程序,以簡化的十進制格式而不是使用擴展格式顯示複合單位(例如,顯示 2.5 英尺而不是 2 英尺 6 英寸) )。

下圖描繪了一個以英制單位校準的刻度,並帶有相關的成本顯示。

數論

直到 19 世紀,數論還是算術的同義詞。解決的問題與基本運算直接相關,涉及primalitydivisibility,以及整數方程的解,例如Fermat's last theorem .似乎這些問題中的大多數,雖然說起來非常初級,但如果沒有涉及許多其他數學分支的概念和方法的非常深入的數學,可能就無法解決。這導致了數論的新分支,例如解析數論代數數論丟番圖幾何算術代數幾何。 Wiles 對費馬大定理的證明 是一個典型的例子,證明了複雜方法的必要性,它遠遠超出了經典的算術方法,用於解決可以用基本算術陳述的問題。

在教育領域

數學的初等教育通常將重點放在自然數、整數、分數小數(使用小數位)的算術算法上——價值體系)。這項研究有時被稱為算法。這些算法的困難性和無動機的出現長期以來一直導致教育工作者質疑這門課程,提倡早期教授更核心和直觀的數學思想。在這個方向上一個值得注意的運動是 1960 年代和 1970 年代的新數學,它試圖本著從集合論發展公理化的精神來教授算術,這與高等數學的流行趨勢相呼應。

相關定義

來源

“Arithmetic.” From Wolfram MathWorld, mathworld.wolfram.com/Arithmetic.html.

“Arithmetic.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 9 July 2020, en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic.

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