Ev ❯ Tüm Tanımlar ❯ Matematik Temelleri ❯ Setler, mantıklar ve kanıtlar ❯ Sayılamayacak kadar sonsuz Tanım
Sayılamayacak kadar sonsuz Tanım
Uncountably infinite otherwise known as uncountable or uncountable set is an infinite set that contains too many elements to be countable. The uncountability of a set is closely related to its cardinal number. A set is uncountable if its cardinal number is larger than that of the set of all natural numbers. For instance, the set of real numbers is uncountable. If an uncountable set X is a subset of set Y, then Y is uncountably infinite set.
Karakterizasyonlar
Sayılamazlığın birçok eşdeğer karakterizasyonu vardır. Bir set x sayılamayan ise ve yalnızca aşağıdaki koşullardan herhangi biri geçerlidir:
X'ten doğal sayılar kümesine enjeksiyon fonksiyonu yoktur.
X boş değildir ve her '-#969;-x öğelerinin dizisi için, içine dahil olmayan en az bir x elemanı vardır. Yani, x boş değildir ve doğal sayılardan X'e
Seraptive fonksiyonu yoktur. X'in kardinalite , ne sonlu ne de ℵ
Set X, kardinaliteye kesinlikle ℵ
Bu karakterizasyonların ilk üçü, seçim aksiyomu olmadan Zermelo -Fraenkel set teorisinde eşdeğer olduğu kanıtlanabilir, ancak üçüncü ve dördüncünün denkliği ek seçim prensipleri olmadan kanıtlanamaz.
Örnekler
Sayılamayan örnekler:
Sayılamayan bir kümenin en bilinen örneği, tüm gerçek sayıların R setidir. Cantor'un diyagonal argümanı, bu setin sayılamaz olduğunu gösteriyor. Diyagonalizasyon geçirmez tekniği, doğal sayıların tüm sonsuz dizileri seti ve doğal sayılar kümesinin tüm alt kümeleri gibi diğer birkaç setin sayılamayacağını göstermek için de kullanılabilir. R'nin kardinalitesine genellikle sürekliliğin kardinalitesi denir ve C veya 2
ℵ Cantor seti, bir R'nin sayılamayan bir alt kümesidir. Cantor seti bir fraktal 'dır ve Hausdorff boyutu sıfırdan daha büyük ancak birden azdır (R'nin bir boyutu vardır). Bu, aşağıdaki gerçeğin bir örneğidir: Hausdorff boyutunun R'nin herhangi bir alt kümesi kesinlikle sıfırdan daha büyük olmalıdır.
Sayılamayan bir kümenin bir başka örneği, R'ye R'den R'ye kadar tüm fonksiyonların kümesidir. Bu set, bu setin kardinalitesinin Beth-One'dan daha büyük olan Beth-Two olması anlamında R'den bile daha sayılamayantır.
Sayılamayan bir kümenin daha soyut bir örneği, ω veya ω Ω kardinalitesi ℵ Seçilen aksiyom kullanılarak, en küçük sayılamayan kardinal sayıdır. Böylece ya gerçeklerin kardinalitesi olan Beth-One, ℵ Georg Cantor, Beth-One'ın ℵ'e eşit olup olmadığı sorusunu ilk öneren kişiydi. 1900'de David Hilbert bu soruyu 23 sorununun ilki olarak ortaya koydu. ℵ tercih edilen aksiyom).
Tercih edilen aksiyom olmadan
Seçim aksiyomu olmadan, ℵ 0 ile kıyaslanamayan kardinaliteler olabilir (yani Dedekind-Finit Sonsuz Setlerin Kardinaliteleri). Bu kardinalitelerin setleri yukarıdaki ilk üç karakterizasyonu tatmin eder, ancak dördüncü karakterizasyonu değil. Bu setler kardinalite anlamında doğal sayılardan daha büyük olmadığından, bazıları onlara sayılamayan demek istemeyebilir. Seçim aksiyomu varsa, bir kardinal κ eşdeğerdir:
κ ≰ ℵ0;
κ ≻ ℵ0; and
κ ≥ ℵ < 1 , burada ℵ ve ω
Ancak, tercih edilen aksiyom başarısız olursa bunların hepsi farklı olabilir. Bu nedenle, aksiyom başarısız olduğunda hangisinin sayılamazlığın uygun genelleştirilmesi olduğu açık değildir. Bu durumda kelimeyi kullanmaktan kaçınmak ve bunlardan hangilerinin ne anlama geldiğini belirtmek en iyisi olabilir.
İlgili Tanımlar
Kaynaklar
“Uncountable Set.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 23 Mar. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Uncountable_set.