Incontable Definición

Hay muchas caracterizaciones equivalentes de incontabilidad. Un conjunto X es incontable si y solo si alguna de las siguientes condiciones retenida:

• No hay función inyectiva de x al conjunto de números naturales.

• X es no temporal y para cada ω -Secuencia de elementos de X, existen al menos un elemento de x no incluido en él. Es decir, X es no temporal y no hay función de Surjetivo de los números naturales a X.

• La cardinalidad de x no es finita ni igual a ℵ _{0 ( aleph-null , la cardinalidad de los números naturales).}

• El conjunto X tiene cardinalidad estrictamente mayor que ℵ _{0 .}

Las tres primeras de estas caracterizaciones pueden ser probadas equivalentes en la teoría de Zermelo-Fraenkel, sin el axioma de de elección , pero la equivalencia del tercero y cuarto no puede ser probada sin principios de elección adicional.

Ejemplos de incontabilidad:

• El ejemplo más conocido de un conjunto incontable es el conjunto R de todos los números reales. El argumento diagonal del cantor muestra que este conjunto es incontable. La técnica a prueba de diagonalización también se puede usar para demostrar que varios otros conjuntos son incontables, como el conjunto de todas las secuencias infinitas de los números naturales y el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto de números naturales. La cardinalidad de R a menudo se llama cardinalidad del continuo y denota por C, o 2 ^{ℵ _{0 (Beth-One).}}

• El conjunto de cantor es un subconjunto incontable de R. El conjunto de cantor es un fractal y tiene la dimensión de Hausdorff mayor que cero, pero menos de una (R tiene dimensión). Este es un ejemplo del siguiente hecho: cualquier subconjunto de R de la dimensión R de Hausdorff estrictamente mayor que cero debe ser incontable.

• Otro ejemplo de un conjunto incontable es el conjunto de todas las funciones de R a R. Este conjunto es aún más incontable que R en el sentido de que la cardinalidad de este set es Beth-dos, que es más grande que Beth-One.

• Un ejemplo más abstracto de un conjunto incontable es el conjunto de todos los números ordinales contables , denotados por Ω o & # 969; _{1 . La cardinalidad de Ω se denota y # 8501; 1 (Aleph-One). Se puede mostrar, utilizando el axioma de elección, que ℵ 1 es el número cardinal incontable más pequeño. Así, Beth-One, la cardinalidad de los reales, es igual a ℵ 1 o es estrictamente mayor. Georg Cantor fue el primero en proponer la pregunta de si Beth-One es igual a ℵ 1 . En 1900, David Hilbert planteó esta pregunta como el primero de sus 23 problemas. La declaración de que ℵ 1 = Beth-One ahora se llama hipótesis del continuo y se sabe que es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel para set teoría (incluida la Axioma de elección).}

Sin la axioma de elección, puede existir cardenalidades incomparables a ℵ _{0 (a saber, los cardinalidades de los conjuntos infinitos finitos de dedekind-finitos). Los conjuntos de estas cardinalidades satisfacen las tres primeras caracterizaciones anteriores, pero no la cuarta caracterización. Debido a que estos conjuntos no son más grandes que los números naturales en el sentido de cardinalidad, algunos pueden no querer llamarlos incontables. Si el axioma de la elección tiene, las siguientes condiciones en un cardenal κ son equivalentes:}

• κ ≰ ℵ₀;

• κ ≻ ℵ₀; and

• κ ≥ ℵ _{1 , donde ℵ 1 = | ω 1 | y ω 1 es lo menos lo ordinal inicial mayor que ω.}

Sin embargo, todos estos pueden ser diferentes si el axioma de elección falla. Por lo tanto, no es obvio cuál es la generalización apropiada de la incontabilidad cuando falla el axioma. Puede ser mejor evitar usar la palabra en este caso y especificar cuál de estos significa.

• Conjunto incontable
• Inconstablemente infinito

“Uncountable Set.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 23 Mar. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Uncountable_set.