欠定方程組 定義
欠定方程組是線性方程組或多項式方程組，如果方程少於變量（與< span>超定方程組，其中方程多於變量）。例如，具有兩個方程和三個未知變量的系統是欠定的。值得注意的是，一個欠定係統可能是 consistent 或 inconsistent，具體取決於方程。可以使用約束計數的概念來解釋該術語。每個未知數都可以看作是一個可用的自由度。引入系統的每個方程都可以看作是限制一個自由度的約束。
因此，當方程的數量和自由變量的數量相等時，就會出現臨界情況（在超定和欠定之間）。對於給定一個自由度的每個變量，都存在一個相應的約束消除一個自由度。相反，欠定的情況發生在系統受到欠約束時，即當未知數超過方程時。
欠定係統的解決方案
欠定線性系統要么沒有解，要么有無窮多個解。例如，x + y + z = 1 和 x + y + z = 0 是一個沒有任何解的欠定係統；任何沒有解的方程組都被稱為是不一致的。另一方面，系統 x + y + z = 1 和 x + y + 2z = 3 是一致的並且有無窮多個解，例如 (x, y, z) = (1, -2, 2)， (2, -3, 2) 和 (3, -4, 2)。所有這些解都可以通過首先從第二個方程中減去第一個方程來表徵，以表明所有解都服從 z = 2；在任一方程中使用它表明任何 y 值都是可能的，其中 x = –1 – y。
更具體地說，根據 Rouché-Capelli 定理，如果 augmented matrix 的 rank 大於係數矩陣。另一方面，如果這兩個矩陣的秩相等，則係統必須至少有一個解；由於在一個欠定係統中，這個秩必然小於未知數的數量，因此確實存在無限的解，一般解具有 k 個自由參數，其中 k 是變量數量與秩之間的差。
There are algorithms to decide whether an underdetermined system has solutions, and if it has any, to express all solutions as linear functions of k of the variables (same k as above). The simplest one is Gaussian elimination. See System of linear equations for more details.
均質案例
齊次（所有常數項均為零）欠定線性系統始終具有非平凡解（除了所有未知數為零的平凡解）。這樣的解有無窮多個，形成一個向量空間，其維數是未知數與系統矩陣秩之差。
欠定多項式系統
線性欠定係統的主要性質，即無解或無窮多，以下列方式擴展到多項式方程組。
方程組少於未知數的多項式方程組稱為欠定方程組。它要么有無限多的複雜解（或更一般地說，是代數封閉域中的解），要么是不一致的。當且僅當 0 = 1 是方程的線性組合（具有多項式係數）（這是 Hilbert 的 Nullstellensatz）時，它是不一致的。如果在 n 個變量 (t < n) 中的 t 個方程的欠定係統有解，則所有復解的集合是維數至少為 n - t 的代數集。如果隨機選擇欠定係統，則維度等於 n - t，概率為 1。
具有其他約束和優化問題的欠定係統
一般來說，一個欠定的線性方程組有無限數量的解，如果有的話。然而，在受線性等式約束的優化問題中，只有一個解是相關的，即給出目標函數的最高或最低值的解。
一些問題指定一個或多個變量被約束為整數值。整數約束會導致整數規劃和丟番圖方程問題，這些問題可能只有有限數量的解。另一種出現在編碼理論中的約束，特別是在糾錯碼和信號處理（例如壓縮感知）中，包括變量數量的上限，該上限可能不同於零。在糾錯碼中，這個界限對應於可以同時糾正的最大錯誤數。
相關定義
來源
“Underdetermined System.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 16 June 2019, en.wikipedia.org/wiki/Underdetermined_system.