Hem ❯ Allt Definitioner ❯ Geometri ❯ Trigonometri ❯ Enhetscirkel Definition
Enhetscirkel Definition
The unit circle is a circle with a radius of 1 which is centered at the origin on the x-y plane. The unit circle plays a significant role in several different areas of mathematics. In particular the functions of trigonometry are most simply defined using the unit circle. As shown in the figure below, a point p on the terminal side of an angle θ in angle standard position measured along an arc of the unit circle has as its coordinates (cos θ, sin θ) so that cos θ is the horizontal coordinate of p and sin θ is its vertical component. As a result of this definition, the trigonometric functions are periodic with period 2π.
Ett annat omedelbart resultat av denna definition är förmågan att uttryckligen skriva koordinaterna för flera punkter som ligger på enhetscirkeln med mycket lite beräkning. I figuren ovan motsvarar till exempel punkter A, B, C och D vinklar av π & frasl; 3 , 3 π & frasl; 4 , 7 π & frasl; 6 och 11 π & frasl ; 6 radianer, varvid det följer att a = ( 1 & frasl; 2 , 3 & frasl; < sub> 2 ), b = ( -1 & frasl; 2 , 1 & frasl; 2 ), C = ( -3 & frasl; 2 , -1 & frasl; 2 ) och d = ( 3 & frasl; 2 , -1 & frasl; 2 ). På liknande sätt kan denna metod användas för att hitta trigonometriska värden associerade med heltal multiplar av π & frasl; 2 , plus ett antal andra vinklar erhållna av halva hälften -Angle , dubbelvinkel och andra multipelvinkelformler .
The unit circle can also be considered to be the contour in the complex plane defined by |z| = 1, where |z| denotes the complex modulus. This role of the unit circle also has a number of significant results, not the least of which occurs in applied complex analysis as the subset of the complex plane where the Z-transform reduces to the discrete Fourier transform.
Från ännu ett perspektiv betraktas enhetscirkeln som den så kallade idealgränsen för det tvådimensionella hyperboliska planet ℍ 2 i både Poincaré-hyperbolisk disk och Klein-Beltrami-modeller av Hyperbolisk geometri . I båda dessa modeller betraktas det hyperboliska planet som den öppna enhetsskivan, varigenom enhetscirkeln representerar insamlingen av oändlig Begränsningspunkter i sekvenser i ℍ 2 .
Relaterade definitioner
Källor
“Unit Circle.” From Wolfram MathWorld, mathworld.wolfram.com/UnitCircle.html.