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Einheitskreis Definition

The unit circle is a circle with a radius of 1 which is centered at the origin on the x-y plane. The unit circle plays a significant role in several different areas of mathematics. In particular the functions of trigonometry are most simply defined using the unit circle. As shown in the figure below, a point p on the terminal side of an angle θ in angle standard position measured along an arc of the unit circle has as its coordinates (cos θ, sin θ) so that cos θ is the horizontal coordinate of p and sin θ is its vertical component. As a result of this definition, the trigonometric functions are periodic with period 2π.

Ein weiteres direktes Ergebnis dieser Definition ist die Fähigkeit, die Koordinaten mehrerer Punkte ausdrücklich zu schreiben, die auf dem Einheitskreis mit sehr geringer Berechnung liegen. In der Abbildung oben, zum Beispiel Punkte A, B, C und D entsprechen Winkel von ^{π & frasl; _{3 , 3 π & frasl; & sub> & frasl; 6 und 11 π & frasl ; 6 Radiant, wodurch er folgt, dass a = ( 2 , 3 & frasl; < sub> 2 ), b = (sup> -1 & frasl; 2 , 2 ), C = (sub> -3 & frasl; 2 & frasl; 2 ) und d = ( 3 & frasl; -1 & frasl; 2 ). In ähnlicher Weise kann dieses Verfahren verwendet werden, um trigonometrische Werte zu finden, die mit Integer-Multiples von & frasl zusammenhängen; 2 , plus eine Anzahl anderer Winkel, die durch Hälfte erhalten werden -Hangle , doppelwinkel , und andere mehrfache Formeln .}}

The unit circle can also be considered to be the contour in the complex plane defined by |z| = 1, where |z| denotes the complex modulus. This role of the unit circle also has a number of significant results, not the least of which occurs in applied complex analysis as the subset of the complex plane where the Z-transform reduces to the discrete Fourier transform.

Aus einer weiteren Perspektive wird der Einheitskreis als die sogenannte ideale Grenze der zweidimensionalen hyperbolischen Ebene ℍ ² sowohl in der poincaré hyperbolischen Scheibe als auch in Klein-Beltrami-Modellen von Hyperbolische Geometrie . In beiden Modellen wird die hyperbolische Ebene als offene Einheitscheibe angesehen, wobei der Einheitskreis die Sammlung von Infinite Grenzpunkte von Sequenzen darstellt in ℍ 2 .

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