Transversaal Definisie

'N Transversal produseer 8 hoeke, soos getoon in die grafiek hierbo:

• 4 met elk van die twee reëls, naamlik α, β, γ en δ en dan α 1 , β 1 , γ 1 en δ 1 < /sub>; en

• 4 waarvan binne is (tussen die twee lyne), naamlik α, β, γ 1 en δ 1 en 4 waarvan buite is, naamlik α 1 , β 1 , γ en δ.

'N Transversal wat twee parallelle lyne by regte hoeke sny, word 'n loodreg genoem transversaal. In hierdie geval is al 8 hoeke die regte hoeke. As die lyne parallel is, produseer 'n geval wat gereeld oorweeg word, 'n transversale 'n paar <- span kongruent en verskeie aanvullende hoeke . Sommige van hierdie hoekpare het spesifieke name en word hieronder bespreek:

Alternatiewe hoeke

Een paar alternatiewe hoeke. Met parallelle lyne is hulle kongruent.

Alternatiewe hoeke is die vier pare hoeke wat:

• Have distinct vertex points,

• Lê aan teenoorgestelde kante van die transversale en

• Albei hoeke is binne of albei hoeke is buite.

As die twee hoeke van een paar kongruent is, dan is die hoeke van elk van die ander pare ook kongruent. 'N Stelling van absolute meetkunde (vandaar geldig in beide hiperboliese en Euclidean Geometry ), bewys dat as die hoeke van 'n paar alternatiewe hoeke van 'n transversale kongruent is, dan die twee reëls is, dan die twee reëls is is parallel (nie-interseksering). Dit volg op die parallelle postulaat van Euclid dat as die twee lyne parallel is, die hoeke van 'n paar alternatiewe hoeke van 'n transversale kongruent is.

Ooreenstemmende hoeke

Een paar ooreenstemmende hoeke. Met parallelle lyne is hulle kongruent.

Ooreenstemmende hoeke is die vier pare hoeke wat:

• Het verskillende toppuntpunte,

• Lê aan dieselfde kant van die transversale en

• Die een hoek is binne en die ander buite.

Twee lyne is parallel as en slegs as die twee hoeke van enige paar ooreenstemmende hoeke van enige transversale kongruent is. 'N Stelling van Absolute meetkunde (vandaar geldig in beide hiperboliese en Euklidiese meetkunde), bewys dat as die hoeke van 'n paar ooreenstemmende hoeke van 'n transversale kongruent is, dan is die twee reëls parallel (nie-interseksie) . Dit volg op die parallelle postulaat van Euclid dat as die twee lyne parallel is, die hoeke van 'n paar ooreenstemmende hoeke van 'n transversale kongruent is. As die hoeke van een paar ooreenstemmende hoeke kongruent is, dan is die hoeke van elk van die ander pare ook kongruent. In die verskillende beelde met parallelle lyne op hierdie bladsy is die ooreenstemmende hoekpare: α = α 1 , β = β _{1 , γ = γ 1 en δ = δ 1 .}

Opeenvolgende binnehoeke

Een paar opeenvolgende hoeke. Met parallelle lyne voeg hulle tot twee regte hoeke op.

Opeenvolgende binnehoeke is die twee hoeke van hoeke wat:

• Het verskillende toppuntpunte,

• Lê aan dieselfde kant van die transversale en

• Is albei binneland.

Twee lyne is parallel as en slegs as die twee hoeke van enige paar opeenvolgende binnehoeke van enige transversale aanvullend is (som tot 180 °). 'N Stelling van absolute meetkunde (dus geldig in beide hiperboliese en Euklidiese meetkunde), bewys dat as die hoeke van 'n paar opeenvolgende binnehoeke aanvullend is, dan is die twee lyne parallel (nie-interseksering). Dit volg op die parallelle postulaat van Euclid dat as die twee lyne parallel is, die hoeke van 'n paar opeenvolgende binnehoeke van 'n transversale aanvullend is. As een paar opeenvolgende binnehoeke aanvullend is, is die ander paar ook aanvullend.

As drie lyne in die algemeen 'n driehoek van 'n driehoek vorm, dan word die lengtes van die ses resulterende segmente bevredig Menelaus se stelling .

Euclid se formulering van die parallelle postulaat kan aangedui word in terme van 'n transversale. Spesifiek, as die binnehoeke aan dieselfde kant van die transversale minder as twee regte hoeke is, moet die lyne mekaar kruis. In werklikheid gebruik Euclid dieselfde frase in Grieks wat gewoonlik as transversaal vertaal word.

Euclid se voorstel 27 noem dat as 'n transversale twee lyne kruis, sodat alternatiewe binnehoeke kongruent is, die lyne parallel is. Euclid bewys dit deur teenstrydigheid: as die lyne nie parallel is nie, moet hulle mekaar kruis en 'n driehoek gevorm word. Dan is een van die alternatiewe hoeke 'n buite -hoek gelyk aan die ander hoek, wat 'n teenoorgestelde binnehoek in die driehoek is. Dit is in stryd met die voorstel 16 wat sê dat 'n buite -hoek van 'n driehoek altyd groter is as die teenoorgestelde binnehoeke.

Euclid se voorstel 28 brei hierdie resultaat op twee maniere uit. Eerstens, as 'n transversale twee lyne kruis, sodat ooreenstemmende hoeke kongruent is, dan is die lyne parallel. Tweedens, as 'n transversale twee lyne kruis, sodat binnehoeke aan dieselfde kant van die transversale aanvullend is, dan is die lyne parallel. Dit volg uit die vorige stelling deur die feit dat teenoorgestelde hoeke van kruisingslyne gelyk is, gelyk en dat aangrensende hoeke op 'n lyn aanvullend is. Soos opgemerk deur Proclus, gee Euclid slegs drie van 'n moontlike ses sulke kriteria vir parallelle lyne.

Euclid se voorstel 29 is 'n omgekeerde vir die vorige twee. Eerstens, as 'n transversale twee parallelle lyne kruis, dan is die alternatiewe binnehoeke kongruent. Indien nie, dan is die een groter as die ander, wat impliseer dat die aanvulling minder is as die aanvulling van die ander hoek. Dit impliseer dat daar binnehoeke aan dieselfde kant van die transversale is, wat minder as twee regte hoeke is, wat die vyfde postulaat weerspreek. Die stelling gaan voort deur te sê dat op 'n transversale van twee parallelle lyne, ooreenstemmende hoeke kongruent is en dat die binnehoeke aan dieselfde kant gelyk is aan twee regte hoeke. Hierdie stellings volg op dieselfde manier as wat Prop. 28 volg uit Prop. 27.

Die bewys van Euclid maak die vyfde postulaat noodsaaklik, maar moderne behandelings van meetkunde gebruik Playfair se aksiom in plaas daarvan. Om Proposition 29 te bewys as hy die aksioma van Playfair aanneem, laat 'n transversale twee parallelle lyne kruis en veronderstel dat die alternatiewe binnehoeke nie gelyk is nie. Trek 'n derde lyn deur die punt waar die transversale die eerste reël kruis, maar met 'n hoek gelyk aan die hoek wat die transversale met die tweede reël maak. Dit lewer twee verskillende lyne deur 'n punt, beide parallel met 'n ander lyn, wat die aksioma weerspreek.

In hoër dimensionele ruimtes is 'n lyn wat elk van 'n stel lyne in verskillende punte kruis, 'n transversale van die stel lyne. Anders as die tweedimensionele (vlak) saak, bestaan ​​transversale nie vir stelle van meer as twee reëls nie. In die Euklidiese 3-ruimte is 'n regulus 'n stel skewe lyne , r, soos dat daar deur elke punt op elke lyn van R 'n transversale van R en deur verbygaan Elke punt van 'n transversale van R daar verby 'n lyn van R. Die stel transversale van 'n regulus r is ook 'n regulus, die teenoorgestelde regulus, r °. In hierdie ruimte kan drie onderling skewe lyne altyd na 'n regulus uitgebrei word.

• Punt
• Toppunt

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).