അതിറെച്ചകകം നിര്വചനം

മുകളിലുള്ള ഗ്രാഫിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഒരു ട്രാൻസ്വേഴ്സ് 8 ആംഗ്ലുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു:

• 4 രണ്ട് വരികളിലും, അതായത് # 945 ;, & # 946 ;,, & # 947; & # 948; എന്നിട്ട് & # 95; _{1 , & # 9 , & # 947; 1 , 1 < / ഉപ>; ഒപ്പം}

• അവയിൽ 4 എണ്ണം (രണ്ട് വരികൾക്കിടയിൽ), അതായത് & # 946 ;, & # 947 ;, & # 9 , & # 1 , 4 എന്നിവ അവയിൽ പുറംഭാഗത്ത് ഉണ്ട്, അതായത് & # 945; _{1 , & # 946; 1 , & # 947; ഒപ്പം & # 948 ;.}

<സ്പാൻ> വലത് കോണുകളിൽ ൽ രണ്ട് സമാന്തര വരികൾ മുറിക്കുന്ന ഒരു ട്രാൻസ്വേർസൽ ലജ്നേഡൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എല്ലാ 8 കോണുകളും ശരിയായ കോണുകളാണ്. ലൈനുകൾ സമാന്തരമായിരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു കേസ്, ഒരു ട്രാൻസ്വേഴ്സ് നിരവധി <സ്പാൻ> ബോധം ഉം നിരവധി <സ്പാൻ> അനുബന്ധ കോണുകളും ഉം സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ഈ കോൾ ജോഡികളിൽ ചിലത് നിർദ്ദിഷ്ട പേരുകളുണ്ട്, അവ ചുവടെ ചർച്ചചെയ്യുന്നു:

ഇതര കോണുകൾ

ഒരു ജോഡി ഇതര കോണുകൾ. സമാന്തര വരികൾ ഉപയോഗിച്ച് അവ പരസ്പരം യോജിക്കുന്നു.

ഇതര കോണുകൾ നാല് ജോഡി കോണുകളാണ്:

• Have distinct vertex points,

• ട്രാൻസ്വേസലിന്റെ എതിർവശങ്ങളിൽ കിടക്കുക

• രണ്ട് കോണുകളും ഇന്റീരിയർ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് കോണുകളും ബാഹ്യമാണ്.

ഒരു ജോഡിയുടെ രണ്ട് കോണുകൾ പരസ്പരം ഉണ്ടെങ്കിൽ, മറ്റ് ഓരോ ജോഡികളുടെയും കോണുകൾ പരസ്പരം യോജിക്കുന്നു. സമ്പൂർണ്ണ ജ്യാമിതിയുടെ ഒരു സിദ്ധാന്തം (അതിനാൽ രണ്ട് <സ്പാൻ> ഹൈപ്പർബോളിക് യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതി ), <സ്പാൻ> യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതി ൽ), ഒരു ജോടി ഇതര കോണുകളുടെ കോണുകൾ രണ്ടും പരസ്പരം ആണെങ്കിൽ സമാന്തരമായി (വിഭജിക്കാത്തത്). രണ്ട് വരികൾ സമാന്തരമായി ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു ജോഡി ഇതര കോണുകളുടെ കോണുകൾ ഒതുങ്ങിനിൽക്കുന്നുവെന്ന് യൂക്ലിഡിന്റെ സമാന്തര കേസുകളിൽ നിന്നുള്ളതാണ്.

അനുബന്ധ കോണുകൾ

ഒരു ജോഡി അനുബന്ധ കോണുകൾ. സമാന്തര വരികൾ ഉപയോഗിച്ച് അവ പരസ്പരം യോജിക്കുന്നു.

അനുബന്ധ കോണുകൾ നാല് ജോഡി കോണുകളാണ്:

• വ്യത്യസ്തമായ വെർട്ടെക്സ് പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്,

• ട്രാൻസ്വേസലിന്റെ അതേ വശത്ത് കിടക്കുക

• ഒരു ആംഗിൾ ഇന്റീരിയർ, മറ്റൊന്ന് പുറംഭാഗം.

ഏതെങ്കിലും ട്രാൻസ്വേസലിന്റെ അനുബന്ധ കോണുകളുടെ രണ്ട് കോണുകൾ ഒതുങ്ങുകയാണെങ്കിൽ മാത്രം രണ്ട് വരികൾ സമാന്തരമായി. <സ്പാൻ> കേവല ജ്യാമിതി ന്റെ ഒരു സിദ്ധാന്തം> (അതിനാൽ രണ്ട് ഹൈപ്പർബോളിക്, യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതി എന്നിവയിൽ സാധുതയുള്ളതായി തെളിയിക്കുന്നു), തെളിയിക്കുന്നു . രണ്ട് വരികൾ സമാന്തരമായി ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു ട്രാൻസ്വേഴ്സിന്റെ അനുബന്ധ കോണുകളുടെ കോണുകൾ ഒതുങ്ങണമെന്ന് യൂക്ലിഡിന്റെ സമാന്തര കേസുകളിൽ നിന്നുള്ള പരാമർശിക്കുന്നു. ഒരു ജോഡി അനുബന്ധ കോണുകളുടെ കോണുകൾ പരസ്പരം ഉണ്ടെങ്കിൽ, മറ്റ് ഓരോ ജോഡികളുടെയും കോണുകൾ പരസ്പരം യോജിക്കുന്നു. ഈ പേജിലെ സമാന്തര വരികളുള്ള വിവിധ ചിത്രങ്ങളിൽ, അനുബന്ധ ആംഗിൾ ജോഡികൾ ഇവയാണ്: & # 945; = & # 945; _{1 , & # 946; = & # 946; 1 , & # 947; = & # 947; 1 , & # 948; = & # 948; 1 .}

തുടർച്ചയായ ഇന്റീരിയർ കോണുകൾ

തുടർച്ചയായ ഒരു ജോഡി കോണുകൾ. സമാന്തര വരികൾ ഉപയോഗിച്ച്, അവ രണ്ട് വലത് കോണുകൾ വരെ ചേർക്കുന്നു.

തുടർച്ചയായ ഇന്റീരിയർ കോണുകൾ രണ്ട് ജോഡി കോണുകളാണ്:

• വ്യത്യസ്തമായ വെർട്ടെക്സ് പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്,

• ട്രാൻസ്വേസലിന്റെ അതേ വശത്ത് കിടക്കുക

• രണ്ടും ഇന്റീരിയർ.

ഏതെങ്കിലും ട്രാൻസ്വേസലിന്റെ തുടർച്ചയായ ഇന്റീരിയർ കോണുകളുടെ രണ്ട് കോണുകൾ അനുബന്ധമാണെന്ന് രണ്ട് വരികൾ സമാന്തരമായി ഉണ്ട്, (180 ° - തുക). കേവല ജ്യാമിതിയുടെ ഒരു സിദ്ധാന്തം (ഹൈപ്പർബോളിക്, യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതികളിൽ സാധുതയുള്ളത്), ഒരു ജോഡി തുടർച്ചയായ ഇന്റീരിയർ കോണുകളുടെ കോണുകൾ അനുബന്ധമാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നു, തുടർന്ന് രണ്ട് വരികളും സമാന്തരമാണ് (വിഭജിതമല്ലാത്തത്). രണ്ട് വരികളും സമാന്തരമായി ചെയ്താൽ ഒരു ജോഡി ഇന്റീരിയർ കോണുകളുടെ കോണുകൾ അനുബന്ധമാണ്. ഒരു ജോഡി തുടർച്ചയായ ഇന്റീരിയർ കോണുകൾ അനുബന്ധമാണെങ്കിൽ, മറ്റ് ജോഡിയും അനുബന്ധമാണ്.

പൊതുവായ സ്ഥാനത്ത് ഒരു ത്രികോണം രൂപപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ ഒരു ട്രാൻസ്വേഴ്സ് ഉപയോഗിച്ച് മുറിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആറ് കലാകാടികളുടെ ദൈർഘ്യം <സ്പാൻ> മെനേലസിന്റെ സിദ്ധാന്തം ൽ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

സമാന്തര പോസ്റ്റുലേറ്റ് ഉദാരലത്തിന്റെ ഫോർമുലേഷൻ ഒരു ട്രാൻസേഴ്സലിന്റെ കാര്യത്തിൽ പ്രസ്താവിക്കാം. പ്രത്യേകിച്ചും, ട്രാൻസ്വേസലിന്റെ അതേ വശത്തുള്ള ഇന്റീരിയർ കോണുകൾ രണ്ട് വലത് കോണുകളിൽ കുറവാണെങ്കിൽ ലൈനുകൾ വിഭജിക്കണം. വാസ്തവത്തിൽ, യൂക്ലിഡ് ഗ്രീക്കിലെ അതേ വാചകം ഉപയോഗിക്കുന്ന അതേ വാചകം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത് സാധാരണയായി ട്രാൻസിലാണെന്ന് വിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു.

ഒരു ട്രാൻസ്വേഴ്സ് രണ്ട് വരികളെ വിഭജിച്ചാൽ ഇതര ഇന്റീരിയർ കോണുകൾ പരസ്പരം സംവദിക്കുകയാണെങ്കിൽ, വരികൾ സമാന്തരമാണ്. യൂക്ലിഡ് ഇത് വൈരുദ്ധ്യത്തോടെ തെളിയിക്കുന്നു: വരികൾ സമാന്തരമല്ലെങ്കിൽ അവ വിഭജിക്കുകയും ഒരു ത്രികോണം രൂപപ്പെടുകയും വേണം. ത്രികോണത്തിലെ എതിർ ആന്തരിക കോണിലുള്ള മറ്റ് കോണിന് തുല്യമായ ഒരു ബാഹ്യ കോണുകളിലൊന്ന് ഒരു ബാഹ്യ കോണുകളിലൊന്നാണ്. ഈ വിരുദ്ധ നിർദ്ദേശത്തിന് 16 ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു ബാഹ്യ കോണെ എല്ലായ്പ്പോഴും എതിർ ആന്തരിക കോണുകളേക്കാൾ കൂടുതലാണ്.

യൂക്ലിഡിന്റെ പ്രൊപ്പോസിഷൻ 28 ഈ ഫലം രണ്ട് തരത്തിൽ വ്യാപിക്കുന്നു. ആദ്യം, ഒരു ട്രാൻസ്വേഴ്സ് രണ്ട് വരികളെ വിഭജിച്ചാൽ അനുബന്ധ കോണുകൾ രസം ആണെങ്കിൽ, വരികൾ സമാന്തരമായി. രണ്ടാമതായി, ഒരു ട്രാൻസ്വേഴ്സ് രണ്ട് വരികളെ മറികടക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിലൂടെ ട്രാൻസ്വേസലിന്റെ ഒരേ വശത്തുള്ള ആ ഇന്റീരിയർ കോണുകൾ അനുബന്ധമാണ്വെങ്കിൽ, വരികൾ സമാന്തരമായി. വിഭജിക്കുന്ന വരികളുടെ എതിർ കോണുകൾ തുല്യമാണെന്നും ഒരു വരിയിലെ അടുത്തുള്ള കോണുകൾ അനുബന്ധമാണെന്ന് പ്രയോഗിക്കുന്നതിലൂടെയും ഇവ മുൻ നിർദ്ദേശത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു. പ്രൊഫഷണലിനെ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഉദാരൽ വരികൾക്ക് അത്തരം ആറ് മാനദണ്ഡങ്ങൾ മാത്രമേ യൂക്ലിഡ് നൽകുകയുള്ളൂ.

യൂക്ലിഡിന്റെ പ്രൊപ്പോസിഷൻ 29 മുമ്പത്തെ രണ്ടിനോടുള്ള ഒരു സംഭാഷണമാണ്. ആദ്യം, ഒരു ട്രാൻസ്വേഴ്സ് രണ്ട് സമാന്തര വരികൾ വിഭജിച്ചാൽ, ഇതര ഇന്റീരിയർ കോണുകൾ പരസ്പരം യോജിക്കുന്നു. ഇല്ലെങ്കിൽ, ഒന്ന് മറ്റൊന്നിനേക്കാൾ വലുതാണ്, അത് അതിന്റെ സപ്ലിമെന്റ് മറ്റ് കോണിന്റെ അനുബന്ധത്തേക്കാൾ കുറവാണ്. അഞ്ചാം പേഴ്സൽ രണ്ട് വലത് കോണുകളിൽ കുറവുള്ള ട്രാൻസ്വേസലിന്റെ ഒരേ വശത്ത് ഇന്റീരിയർ കോണുകളുണ്ടെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. രണ്ട് സമാന്തര വരികൾ ഒരു ട്രാൻസ്വേഴ്സിൽ, അനുബന്ധ കോണുകൾ രസംഗതിയാണെന്നും ഒരേ വർഷത്തെ ഇന്റീരിയർ കോണുകൾ രണ്ട് വലത് കോണുകൾക്ക് തുല്യമാണെന്ന് പ്രസ്താവിക്കുന്നതിലൂടെയാണ് നിർദ്ദേശം തുടരുന്നത്. ഈ പ്രസ്താവനകൾ അതേ രീതിയിൽ തുടർന്നു. 28 പേർ പ്രോപ് 27 ൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു.

യൂക്ലിഡിന്റെ തെളിവ് അഞ്ചാമത്തെ കുറിപ്പ് അത്യന്താപേക്ഷിത ഉപയോഗമാണ്, എന്നിരുന്നാലും, ജ്യാമിതിയുടെ ആധുനിക ചികിത്സകൾ <സ്പാൻ> പ്ലേഫൈറിന്റെ പ്രപഞ്ചം repan ഉപയോഗിക്കുക. പ്രൊപ്പോസിഷൻ തെളിയിക്കാൻ, പ്ലേഫായറിന്റെ പ്രപഞ്ചം ആവിഷ്കരിക്കുന്നതിന്, ഒരു ട്രാൻസ്വേഴ്സ് ക്രോസ് സമാന്തര വരികൾ വിട്ടയക്കുകയും ഇതര ഇന്റീരിയർ കോണുകൾ തുല്യമല്ലെന്ന് കരുതുക. ട്രാൻസ്വേഴ്സ് ആദ്യ വരി ക്രോസ് ചെയ്യുന്ന സ്ഥലത്തിലൂടെ ഒരു മൂന്നാം വരി വരയ്ക്കുക, പക്ഷേ ഒരു കോണിനൊപ്പം ട്രാൻസ്വേഴ്സ് രണ്ടാമത്തെ വരിയുമായി മാറുന്നു. ഇത് ഒരു പോയിന്റിലൂടെ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ലൈനുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു, രണ്ടും മറ്റൊരു വരിയ്ക്ക് സമാന്തരമായി, പ്രപഞ്ചത്തിന് വിരുദ്ധമാണ്.

ഉയർന്ന അളവിലുള്ള സ്ഥലങ്ങളിൽ, വ്യതിരിക്തമായ പോയിന്റുകളിൽ ഓരോന്നും വിഭജിക്കുന്ന ഒരു വരി അത്തരം വരികളുടെ ഒരു ട്രാൻസ്വേർസാണ്. ദ്വിമാന (തലം) കേസിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, രണ്ട് വരികളിലെ ഒരു സെറ്റുകൾക്കായി ട്രാൻസ്വേർസലുകൾ നിലവിലുണ്ടെന്ന് ഉറപ്പില്ല. യൂക്ലിഡിയൻ 3-സ്പെയ്സിൽ, ഒരു <സ്പാൻ> റെഗുലസ് skew lsulus , R, r ന്റെ ഓരോ പോയിന്റുകളിലൂടെയും r, അതിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു R ന്റെ ഒരു ട്രാൻസ്വേർസലിന്റെ ഓരോ പോയിന്റും ആർ. ഈ സ്ഥലത്ത്, പരസ്പരം shew ലൈനുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു റെഗുലസിലേക്ക് വ്യാപിപ്പിക്കാം.

• ബിന്ദു
• വെർട്ടെക്സ്

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).