Tværgående Definition

En tværgående producerer 8 vinkler, som vist i grafen ovenfor:

• 4 med hver af de to linjer, nemlig α, β, γ og δ og derefter α ₁ , β ₁ , γ ₁ og δ _{1 < /sub>; og}

• 4, hvoraf er interiør (mellem de to linjer), nemlig α, β, γ ₁ og δ ₁ og 4 hvoraf er udvendigt, nemlig α ₁ , β ₁ , γ og δ.

En tværgående, der skærer to parallelle linjer ved rigtige vinkler kaldes et vinkelret tværgående. I dette tilfælde har alle 8 vinkler rigtige vinkler. Når linjerne er parallelle, en sag, der ofte overvejes, producerer en tværgående flere kongruente og flere supplerende vinkler . Nogle af disse vinkelpar har specifikke navne og diskuteres nedenfor:

Alternative vinkler

Et par alternative vinkler. Med parallelle linjer er de kongruente.

Alternative vinkler er de fire par vinkler, der:

• Have distinct vertex points,

• Ligge på modsatte sider af tværs og

• Begge vinkler er indvendige, eller begge vinkler er udvendige.

Hvis de to vinkler på et par er kongruente, er vinklerne på hvert af de andre par også kongruente. En sætning af absolut geometri (dermed gyldig i både hyperbolisk og euklidisk geometri ), beviser, at hvis vinklerne på et par alternative vinkler af en tværgående er kongruent, så er de to linjer de to linjer, da de to linjer er kongruent. er parallelle (ikke-sammenkobling). Det følger af Euclids parallelle postulat, at hvis de to linjer er parallelle, så er vinklerne på et par alternative vinkler i en tværgående kongruent.

Tilsvarende vinkler

Et par tilsvarende vinkler. Med parallelle linjer er de kongruente.

Tilsvarende vinkler er de fire par vinkler, der:

• Har forskellige toppunktpunkter,

• Ligge på samme side af tværs og

• Den ene vinkel er interiør, og den anden er udvendig.

To linjer er parallelle, hvis og kun hvis de to vinkler på et par tilsvarende vinkler af enhver tværgående er kongruente. En sætning af absolut geometri (dermed gyldig i både hyperbolisk og euklidisk geometri), beviser, at hvis vinklerne for et par tilsvarende vinkler i en tværgående er kongruent, er de to linjer parallelle (ikke-intersektering) . Det følger af Euclids parallelle postulat, at hvis de to linjer er parallelle, så er vinklerne på et par tilsvarende vinkler på en tværgående kongruent. Hvis vinklerne på et par tilsvarende vinkler er kongruente, er vinklerne på hvert af de andre par også kongruente. I de forskellige billeder med parallelle linjer på denne side er tilsvarende vinkelpar: α = α ₁ , β = β ₁ , γ = γ ₁ og δ = δ ₁ .

På hinanden følgende indvendige vinkler

Et par på hinanden følgende vinkler. Med parallelle linjer tilføjer de op til to rigtige vinkler.

På hinanden følgende indvendige vinkler er de to par vinkler, der:

• Har forskellige toppunktpunkter,

• Ligge på samme side af tværs og

• Er begge interiør.

To linjer er parallelle, hvis og kun hvis de to vinkler på et par på hinanden følgende indvendige vinkler af enhver tværgående er supplerende (sum til 180 °). En sætning af absolut geometri (dermed gyldig i både hyperbolisk og euklidisk geometri), beviser, at hvis vinklerne på et par på hinanden følgende indvendige vinkler er supplerende, er de to linjer parallelle (ikke-overtrængende). Det følger af Euclids parallelle postulat, at hvis de to linjer er parallelle, så er vinklerne på et par på hinanden følgende indvendige vinkler i en tværgående supplerende. Hvis et par på hinanden følgende indvendige vinkler er supplerende, er det andet par også supplerende.

Hvis tre linjer i generel position danner en trekant, skæres derefter af en tværgående, længderne af de seks resulterende segmenter tilfredsstiller menelaus 'teorem .

Euclids formulering af det parallelle postulat kan angives i form af en tværgående. Specifikt, hvis de indvendige vinkler på den samme side af tværs er mindre end to rigtige vinkler, skal linjer krydses. Faktisk bruger Euclid den samme sætning på græsk, som normalt oversættes som tværgående.

Euclids forslag 27 siger, at hvis en tværgående krydser to linjer, så alternative indvendige vinkler er kongruente, er linjerne parallelle. Euclid beviser dette ved modsigelse: Hvis linjerne ikke er parallelle, skal de krydse hinanden, og der dannes en trekant. Derefter er en af ​​de alternative vinkler en udvendig vinkel lig med den anden vinkel, som er en modsat indvendig vinkel i trekanten. Dette modsiger forslag 16, der siger, at en udvendig vinkel på en trekant altid er større end de modsatte indvendige vinkler.

Euclids forslag 28 udvider dette resultat på to måder. For det første, hvis en tværgående krydser to linjer, så tilsvarende vinkler er kongruente, er linjerne parallelle. For det andet, hvis en tværgående krydser to linjer, så indvendige vinkler på den samme side af tværs er supplerende, er linjerne parallelle. Disse følger af det forrige forslag ved at anvende det faktum, at modsatte vinkler på krydsende linjer er ens, og at tilstødende vinkler på en linje er supplerende. Som bemærket af Proclus giver Euclid kun tre af mulige seks sådanne kriterier for parallelle linjer.

Euclid's Proposition 29 er en samtale til de to foregående. For det første, hvis en tværgående krydser to parallelle linjer, er de alternative indvendige vinkler kongruente. Hvis ikke, er den ene større end den anden, hvilket indebærer, at dens supplement er mindre end supplementet til den anden vinkel. Dette indebærer, at der er indvendige vinkler på den samme side af den tværgående, som er mindre end to rigtige vinkler, der modsiger det femte postulat. Forslaget fortsætter med at oplyse, at på en tværgående af to parallelle linjer er tilsvarende vinkler kongruente, og de indvendige vinkler på samme side er lig med to rigtige vinkler. Disse udsagn følger på samme måde som Prop. 28 følger af prop. 27.

Euclids bevis gør det væsentligt brug af det femte postulat, men moderne behandlinger af geometri -brug playfairs Axiom i stedet. For at bevise forslag 29 under forudsætning af Playfairs aksiom, skal du lade en tværgående krydse to parallelle linjer og antage, at de alternative indvendige vinkler ikke er ens. Tegn en tredje linje gennem det punkt, hvor den tværgående krydser den første linje, men med en vinkel lig med den vinkel, som transversalen gør med den anden linje. Dette producerer to forskellige linjer gennem et punkt, begge parallelt med en anden linje, der modsiger aksiomet.

I højere dimensionelle rum er en linje, der skærer hvert af et sæt linjer i forskellige punkter, en tværgående af dette sæt linjer. I modsætning til den to-dimensionelle (plan) sag er tværgående ikke garanteret at eksistere for sæt på mere end to linjer. I euklidisk 3-rum er en regulus et sæt skæv linjer , r, således at der gennem hvert punkt på hver linje af R passerer en transversal af R og gennem Hvert punkt i en tværgående af R der passerer en linje af R. Sættet med tværgående af en regulus R er også en regulus, kaldet den modsatte regulus, R °. I dette rum kan tre gensidigt skæve linjer altid udvides til en regulus.

• Punkt
• Vertex

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).