Transversāls Definīcija

Transversāls ražo 8 leņķus, kā parādīts augšējā grafikā:

• 4 Ar katru no abām līnijām, proti, α ;, β ;, γ un δ un pēc tam α ₁ , β ₁ , γ ₁ un δ _{1 < /apakš>; un}

• 4 no tiem ir interjers (starp abām līnijām), proti, α ;, β ;, no kuriem ir ārpuse, proti, α ₁ , β ₁ , γ un δ.

Transversālu, kas nogriež divas paralēlas līnijas taisni leņķi , sauc par perpendikulāriem šķērsvirziena. Šajā gadījumā visi 8 leņķi ir taisni leņķi. Kad līnijas ir paralēlas, gadījums, kas bieži tiek ņemts vērā, šķērsvirziens rada vairākus Connent un vairākus papildu leņķus . Dažiem no šiem leņķa pāriem ir īpaši nosaukumi, un tie ir apskatīti zemāk:

Alternatīvi leņķi

Viens alternatīvu leņķu pāris. Ar paralēlām līnijām tās ir sakrīt.

Alternatīvi leņķi ir četri leņķu pāri, kas:

• Have distinct vertex points,

• Gulēt pretējās šķērsvirziena pusēs un

• Abi leņķi ir interjers vai abi leņķi ir ārpuse.

Ja abi viena pāra leņķi ir sakritīgi, tad katra pāra leņķi ir arī sakritīgi. A theorem of absolute geometry (hence valid in both hyperbolic and Euclidean Geometry), proves that if the angles of a pair of alternate angles of a transversal are congruent then the two lines ir paralēli (neinterstarizējoši). No Eiklida paralēlā postulāta izriet, ka, ja abas līnijas ir paralēlas, tad šķērsvirziena alternatīvo leņķu pāri ir sakritīgi.

Atbilstošie leņķi

Viens atbilstošo leņķu pāris. Ar paralēlām līnijām tās ir sakrīt.

Atbilstošie leņķi ir četri leņķu pāri:

• Ir atšķirīgi virsotnes punkti,

• Gulēt tajā pašā šķērsvirziena pusē un

• Viens leņķis ir interjers, bet otrs ir ārpuse.

Divas līnijas ir paralēlas, ja un tikai tad, ja jebkura šķērsvirziena aspektu pāra divi leņķi ir saskanīgi. absolūtās ģeometrijas teorēma (tātad ir derīga gan hiperboliskā, gan Eiklīda ģeometrijā) pierāda, ka, ja šķērsvirziena pāra pāra leņķi ir sakritīgi, abas līnijas ir paralēlas (neintersterēšana) Apvidū No Eiklida paralēlā postulāta izriet, ka, ja abas līnijas ir paralēlas, tad, salīdzinot šķērseniskā, pāra pāra pāra leņķi ir saskanīgi. Ja vienas atbilstošo leņķu pāra leņķi ir sakritīgi, tad arī katra pāra pāra leņķi ir sakritīgi. Dažādos attēlos ar paralēlām līnijām šajā lapā atbilstošie leņķa pāri ir: α = α ₁ , β = β 1 , γ = γ ₁ un δ = δ ₁ .

Secīgi interjera leņķi

Viens pāris secīgu leņķu pāri. Ar paralēlām līnijām tās pievieno līdz diviem taisniem leņķiem.

Secīgi interjera leņķi ir divi leņķu pāri:

• Ir atšķirīgi virsotnes punkti,

• Gulēt tajā pašā šķērsvirziena pusē un

• Abi ir interjers.

Divas līnijas ir paralēlas, ja un tikai tad, ja abi secīgu iekšējo leņķu leņķi jebkura šķērseniskā leņķī ir papildu (summa līdz 180 °). Absolūtās ģeometrijas teorēma (tātad derīga gan hiperboliskā, gan Eiklīda ģeometrijā) pierāda, ka, ja secīgu iekšējo leņķu pāra leņķi ir papildu, abas līnijas ir paralēlas (neintersterējošas). No Eiklida paralēlā postulāta izriet, ka, ja abas līnijas ir paralēlas, tad papildu šķērsvirziena leņķu leņķi ir papildu šķērsvirziena leņķi. Ja viens pāris secīgu interjera leņķu pāris ir papildinājums, otrs pāris ir arī papildu.

Ja trīs līnijas vispārējā stāvoklī veido trīsstūri, pēc tam sagriež ar šķērsvirzienu, sešu iegūto segmentu garums ir apmierināts Menelaus teorēma .

Eiklīda formulējumu paralēli postulātu var noteikt ar šķērsvirzienu. Konkrēti, ja iekšējie leņķi vienā un tajā pašā pusē ir mazāki par diviem taisniem leņķiem, tad līnijām jābūt krustotām. Faktiski Eiklīds grieķu valodā izmanto to pašu frāzi, ko parasti tulko kā šķērsvirzienu.

Eiklīda 27. priekšlikums norāda, ka, ja šķērsvirziens šķērso divas līnijas tā, lai alternatīvi interjera leņķi būtu sakritīgi, tad līnijas ir paralēlas. Eiklīds to pierāda ar pretrunām: ja līnijas nav paralēlas, tām ir jāšķērso un veidojas trīsstūris. Tad viens no alternatīvajiem leņķiem ir ārējais leņķis, kas vienāds ar otru leņķi, kas ir pretējs iekšējais leņķis trīsstūrī. Tas ir pretrunā ar 16. priekšlikumu, kurā teikts, ka trīsstūra ārējais leņķis vienmēr ir lielāks par pretējiem iekšējiem leņķiem.

Eiklīda 28. priekšlikums paplašina šo rezultātu divos veidos. Pirmkārt, ja šķērsvirziens šķērso divas līnijas tā, lai atbilstošie leņķi būtu sakritīgi, tad līnijas ir paralēlas. Otrkārt, ja šķērsvirziens šķērso divas līnijas tā, lai iekšējie leņķi vienā un tajā pašā pusē būtu papildu, tad līnijas ir paralēlas. Tie izriet no iepriekšējā piedāvājuma, piemērojot faktu, ka krustojošo līniju pretējie leņķi ir vienādi un ka blakus esošie leņķi uz līnijas ir papildu. Kā atzīmēja Proclus, Eiklīds dod tikai trīs no iespējamiem sešiem šādiem paralēlu līniju kritērijiem.

Eiklida 29. priekšlikums ir pretējs iepriekšējiem diviem. Vispirms, ja šķērsvirziens krustojas divām paralēlām līnijām, tad alternatīvie iekšējie leņķi ir sakritīgi. Ja nē, tad viens ir lielāks par otru, kas nozīmē, ka tā papildinājums ir mazāks par otra leņķa papildinājumu. Tas nozīmē, ka vienā un tajā pašā transversālā pusē ir interjera leņķi, kas ir mazāki par diviem taisniem leņķiem, kas ir pretrunā ar piekto postulātu. Priekšlikums turpina, norādot, ka divu paralēlu līniju šķērsvirzienā atbilstošie leņķi ir sakritīgi un iekšējie leņķi vienā pusē ir vienādi ar diviem taisniem leņķiem. Šie paziņojumi notiek tāpat kā 28. prop., Seko no 27. prop.

Eiklīda pierādījums ir būtisks piekto postulātu izmanto, tomēr mūsdienu ģeometrijas lietošanas ārstēšana. Lai pierādītu 29. priekšlikumu, pieņemot Playfair aksiomu, ļaujiet šķērseniskam šķērsot divas paralēlas līnijas un pieņemt, ka alternatīvie interjera leņķi nav vienādi. Izmantojiet trešo līniju caur punktu, kurā šķērsvirziens šķērso pirmo līniju, bet ar leņķi, kas ir vienāds ar leņķi, ko šķērso, veic ar otro līniju. Tas caur punktu rada divas dažādas līnijas, abas paralēli citai līnijai, kas ir pretrunā ar aksiomu.

Augstākas dimensijas telpās līnija, kas krustojas ar katru līniju kopumu atšķirīgos punktos, ir šī līniju kopuma šķērsvirziens. Atšķirībā no divdimensiju (plaknes) gadījuma, netiek garantēts, ka šķērsvirzieni pastāv vairāk nekā divu līniju komplektiem. Eiklīda 3-telpā regulus ir šķībs līniju , r, tā, ka caur katru punktu uz katras r līnijas, šķērso r šķērsvirzienu un cauri Katrs r šķērsvirziena punkts nokārto Regulus R šķērsvirziena līniju. Šajā telpā trīs savstarpēji šķības līnijas vienmēr var paplašināt līdz regulēšanai.

• Strīdēties
• Virsotne

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).