ตามขวาง คำนิยาม

สิ่งที่ขวางจะผลิต 8 มุมดังแสดงในกราฟด้านบน:

• 4 กับแต่ละสองบรรทัดคือ α, β, γ และ δ และจากนั้น α 1 , β 1 , γ 1 และ δ 1 ; และ

• 4 ซึ่งคือการตกแต่งภายใน (ระหว่างสองบรรทัด) คือ α, β, γ 1 และ δ 1 และ 4 ซึ่งเป็นภายนอกคือ α 1 , β 1 , γ และ δ

ขวางที่ตัดสองเส้นคู่ขนานที่ มุมขวา เรียกว่า ตั้งฉาก ตามขวาง ในกรณีนี้ทั้ง 8 มุมเป็นมุมขวา เมื่อเส้นขนานกันกรณีที่มักจะถูกพิจารณาการข้ามสายจะสร้าง หลายครั้งที่สอดคล้องกัน และมุมเสริม หลายมุม คู่มุมเหล่านี้มีชื่อเฉพาะและมีการกล่าวถึงด้านล่าง:

มุมอื่น

มุมทางเลือกหนึ่งคู่ ด้วยเส้นคู่ขนานพวกเขาสอดคล้องกัน

มุมทางเลือกคือมุมสี่คู่ที่:

• Have distinct vertex points,

• นอนอยู่ด้านตรงข้ามของขวางและ

• มุมทั้งสองมีการตกแต่งภายในหรือทั้งสองมุมภายนอก

หากสองมุมของคู่หนึ่งมีความสอดคล้องกันมุมของคู่อื่น ๆ ก็สอดคล้องกันเช่นกัน ทฤษฎีบทของเรขาคณิตสัมบูรณ์ (ใช้ได้ทั้งใน ไฮเพอร์โบลิก และ เรขาคณิต Euclidean ) พิสูจน์ได้ว่าถ้ามุมของคู่ของมุมทางเลือกของการขวางนั้นสอดคล้องกัน เป็นแบบขนาน (ไม่ตัดกัน) มันตามมาจากการบอกเล่าแบบขนานของยูคลิดว่าถ้าทั้งสองเส้นนั้นขนานกันมุมของมุมทางเลือกของคู่ของ transversal นั้นสอดคล้องกัน

มุมที่สอดคล้องกัน

มุมหนึ่งของมุมที่สอดคล้องกัน ด้วยเส้นคู่ขนานพวกเขาสอดคล้องกัน

มุมที่สอดคล้องกันคือมุมสี่คู่ที่:

• มีจุดยอดที่แตกต่างกัน

• นอนอยู่ด้านเดียวกันของขวางและ

• มุมหนึ่งคือการตกแต่งภายในและอีกมุมหนึ่งอยู่ภายนอก

สองบรรทัดจะขนานกันถ้าถ้าสองมุมของมุมใด ๆ ของมุมที่สอดคล้องกันของขวางใด ๆ จะสอดคล้องกัน ทฤษฎีบทของ เรขาคณิตสัมบูรณ์ (ดังนั้นจึงถูกต้องทั้งในรูปทรงเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิกและยุคลิด) พิสูจน์ว่าถ้ามุมของมุมของมุมที่สอดคล้องกันของการขวางนั้นสอดคล้องกันทั้งสองเส้นจะขนานกัน . มันตามมาจากการบอกเล่าแบบคู่ขนานของยูคลิดว่าถ้าทั้งสองบรรทัดขนานกันมุมของมุมที่สอดคล้องกันของการข้ามเส้นจะสอดคล้องกัน หากมุมของมุมที่สอดคล้องกันหนึ่งคู่สอดคล้องกันดังนั้นมุมของคู่อื่นก็สอดคล้องกันเช่นกัน ในภาพต่าง ๆ ที่มีเส้นคู่ขนานในหน้านี้คู่มุมที่สอดคล้องกันคือ: α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 และ δ = δ 1

มุมภายในติดต่อกัน

มุมหนึ่งของมุมติดต่อกัน ด้วยเส้นคู่ขนานพวกเขาเพิ่มมุมขวาถึงสองมุม

มุมภายในที่ต่อเนื่องกันคือมุมสองคู่ที่:

• มีจุดยอดที่แตกต่างกัน

• นอนอยู่ด้านเดียวกันของขวางและ

• มีทั้งภายใน

สองบรรทัดจะขนานกันถ้าถ้าสองมุมของมุมภายในของคู่ใด ๆ ที่ต่อเนื่องกันของขวางใด ๆ จะเสริม (ผลรวมถึง 180 °) ทฤษฎีบทของเรขาคณิตสัมบูรณ์ (ดังนั้นจึงถูกต้องทั้งในรูปทรงเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิกและยุคลิด) พิสูจน์ให้เห็นว่าถ้ามุมของมุมของการตกแต่งภายในต่อเนื่องเป็นคู่เสริมแล้วทั้งสองเส้นจะขนานกัน มันตามมาจากการบอกเล่าแบบขนานของยูคลิดว่าถ้าทั้งสองเส้นเป็นเส้นขนานมุมของมุมภายในของคู่ของการข้ามเส้นตรงจะเป็นแบบเสริม หากมุมภายในที่ต่อเนื่องกันเป็นคู่เป็นส่วนเสริมคู่อื่นก็เป็นส่วนเสริม

หากสามบรรทัดในตำแหน่งทั่วไปรูปแบบสามเหลี่ยมจะถูกตัดด้วยการขวางความยาวของหกส่วนที่เกิดขึ้นตามทฤษฎีบทของ ของ Menelaus

สูตรของ Euclid ของการอ้างถึงแบบขนานอาจระบุไว้ในแง่ของการขวาง โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากมุมภายในของด้านเดียวกันของขวางมีมุมขวาน้อยกว่าสองมุมแล้วเส้นจะต้องตัดกัน ในความเป็นจริง Euclid ใช้วลีเดียวกันในภาษากรีกซึ่งมักจะแปลว่าเป็นขวาง

ข้อเสนอของ Euclid 27 ระบุว่าหากมีการตัดขวางสองบรรทัดเพื่อให้มุมภายในสำรองมีความสอดคล้องกันดังนั้นเส้นจะขนานกัน Euclid พิสูจน์สิ่งนี้โดยความขัดแย้ง: หากเส้นไม่ขนานกันพวกเขาจะต้องตัดกันและมีสามเหลี่ยมเกิดขึ้น จากนั้นหนึ่งในมุมทางเลือกคือมุมภายนอกเท่ากับมุมอื่น ๆ ซึ่งเป็นมุมภายในตรงข้ามในรูปสามเหลี่ยม สิ่งนี้ขัดแย้งกับข้อเสนอ 16 ซึ่งระบุว่ามุมภายนอกของสามเหลี่ยมนั้นยิ่งใหญ่กว่ามุมภายในตรงข้ามเสมอ

ข้อเสนอของ Euclid 28 ขยายผลลัพธ์นี้สองวิธี ก่อนอื่นถ้าตัดขวางสองบรรทัดเพื่อให้มุมที่สอดคล้องกันสอดคล้องกันดังนั้นเส้นจะขนานกัน ประการที่สองหากตัดขวางสองบรรทัดเพื่อให้มุมภายในที่ด้านเดียวกันของขวางเป็นส่วนเสริมแล้วเส้นจะขนานกัน สิ่งเหล่านี้ตามมาจากข้อเสนอก่อนหน้าโดยใช้ความจริงที่ว่ามุมตรงข้ามของเส้นตัดกันนั้นเท่ากันและมุมที่อยู่ติดกันในบรรทัดนั้นเสริม ตามที่ระบุไว้โดย Proclus Euclid ให้เพียงสามในหกเกณฑ์ที่เป็นไปได้สำหรับเส้นคู่ขนาน

ข้อเสนอของยูคลิด 29 เป็นการสนทนากับสองคนก่อนหน้า ก่อนอื่นถ้าตัดขวางสองเส้นคู่ขนานมุมภายในสำรองนั้นสอดคล้องกัน ถ้าไม่เช่นนั้นก็มากกว่าอีกอันหนึ่งซึ่งหมายถึงอาหารเสริมน้อยกว่าการเสริมของมุมอื่น นี่ก็หมายความว่ามีมุมภายในในด้านเดียวกันของขวางซึ่งน้อยกว่าสองมุมขวาซึ่งขัดแย้งกับการอ้างถึงที่ห้า ข้อเสนอยังคงดำเนินต่อไปโดยระบุว่าบนเส้นทางของสองเส้นคู่ขนานมุมที่สอดคล้องกันมีความสอดคล้องกันและมุมภายในในด้านเดียวกันเท่ากับสองมุมขวา ข้อความเหล่านี้ตามมาในลักษณะเดียวกับที่ข้อเสนอ 28 ตามมาจากข้อเสนอ 27

การพิสูจน์ของ Euclid ทำให้การใช้สิ่งที่สำคัญของการตั้งสมมติฐานที่ห้าอย่างไรก็ตามการรักษาที่ทันสมัยของการใช้เรขาคณิต ความจริงของ Playfair แทน ในการพิสูจน์ข้อเสนอ 29 สมมติว่าสัจพจน์ของ Playfair ให้ข้ามข้ามสองเส้นคู่ขนานและสมมติว่ามุมภายในสำรองไม่เท่ากัน วาดบรรทัดที่สามผ่านจุดที่ขวางข้ามบรรทัดแรก แต่มีมุมเท่ากับมุมที่ขวางที่ทำกับบรรทัดที่สอง สิ่งนี้สร้างสองบรรทัดที่แตกต่างกันผ่านจุดทั้งสองขนานกับเส้นอื่นที่ขัดแย้งกับสัจพจน์

ในช่องว่างมิติที่สูงขึ้นเส้นที่ตัดแต่ละชุดของเส้นในจุดที่แตกต่างกันคือการข้ามของชุดของเส้นนั้น ซึ่งแตกต่างจากกรณีสองมิติ (ระนาบ) transversals ไม่รับประกันว่าจะมีอยู่สำหรับชุดมากกว่าสองบรรทัด ใน Euclidean 3-space, A regulus เป็นชุดของ เส้นเบ้ , r เช่นผ่านแต่ละจุดในแต่ละบรรทัดของ r มีการข้ามเส้นทางของ R และผ่าน แต่ละจุดของ transversal ของ R มีสายของ R. ชุดของการข้ามสายของ regulus r ก็เป็น regulus ที่เรียกว่า Regulus ตรงข้าม, r ° ในพื้นที่นี้สามสายที่เบ้ร่วมกันสามารถขยายไปยัง Regulus ได้เสมอ

• จุด
• จุดยอด

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).