מְשׁוּכָּל הַגדָרָה

רוחביות מייצרת 8 זוויות, כפי שמוצג בתרשים שלמעלה:

• 4 עם כל אחת משתי השורות, כלומר α, β, γ δ ואז α ₁ , β ₁ , γ _{1 δ 1 < /sub>; וכן}

• 4 מהם הם פנים (בין שתי השורות), כלומר α, β, γ _{1 δ 1 ו- 4 מהם הם חיצוניים, כלומר α 1 , β 1 , γ δ.}

רוחביות החותכת שני קווים מקבילים ב זוויות ימין נקראת בניצב רוחב. במקרה זה, כל 8 הזוויות הן זוויות ימניות. כאשר הקווים מקבילים, מקרה שנחשב לרוב, רוחב רוחב מייצר כמה קונפיטור וכמה זוויות משלימות . בחלק מזוגות הזווית הללו יש שמות ספציפיים ונדונים להלן:

זוויות חלופיות

זוג זוויות חלופיות אחד. עם קווים מקבילים הם חופפים.

זוויות חלופיות הן ארבע זוגות הזוויות:

• Have distinct vertex points,

• שוכבים בצדדים מנוגדים של הרוחב ו

• שתי הזוויות הן פנים או ששתי הזוויות הן חיצוניות.

אם שתי הזוויות של זוג אחד עולות בקנה אחד, אז הזוויות של כל אחד מהזוגות האחרים הם גם עולם. משפט של גיאומטריה מוחלטת (מכאן שתוקף בשני היפרבולי וגם גיאומטריה אוקלידית ), מוכיח שאם זוויות זוג זוויות חלופיות של רוחביות הן מקרביות אז שתי השורות הם מקבילים (שאינם צוינים). מכאן נובע מהתנוחה המקבילה של אוקליד שאם שני הקווים מקבילים, אז זוויות של זוג זוויות חלופיות של רוחביות הן בהתייחסות.

זוויות תואמות

זוג זוויות מתאימות. עם קווים מקבילים הם חופפים.

זוויות תואמות הן ארבע זוגות הזוויות:

• יש נקודות קודקוד מובחנות,

• שכב באותו צד של הרוחב ו

• זווית אחת היא פנים והשנייה חיצונית.

שני קווים מקבילים אם ורק אם שתי הזוויות של זוג זוויות תואמות של כל רוחביות כלשהן עולות בקנה אחד. משפט של גיאומטריה מוחלטת (מכאן שתוקף בגיאומטריה היפרבולית וגם אוקלידית), מוכיח שאם זוויות הזוויות של זוויות תואמות של רוחביות הן עונות על כך ששני הקווים מקבילים (שאינם מצדיקים) ו מכאן נובע מהתנוחה המקבילה של אוקליד כי אם שני הקווים מקבילים, אז זוויות של זוג זוויות תואמות של רוחביות הן עונות על. אם זוויות של זוג זוויות אחת תואמות עולות בקנה אחד, אז הזוויות של כל אחד מהזוגות האחרים עולה בקנה אחד. בתמונות השונות עם שורות מקבילות בעמוד זה, זוגות זווית תואמים הם: α = α ₁ , β = β ₁ , γ = γ ₁ ו- δ = δ ₁ .

זוויות פנים רצופות

זוג זוויות רצופות. עם קווים מקבילים הם מוסיפים לשתי זוויות ישרות.

זוויות פנים רצופות הן שני זוגות הזוויות:

• יש נקודות קודקוד מובחנות,

• שכב באותו צד של הרוחב ו

• שניהם פנים.

שני קווים מקבילים אם ורק אם שתי הזוויות של זוג זוויות פנים רצופות של כל רוחביות הן משלימות (סכום עד 180 מעלות). משפט של גיאומטריה מוחלטת (מכאן שתוקף בגיאומטריה היפרבולית וגם אוקלידית), מוכיח שאם זוויות זוג זוויות פנים רצופות משלימות אז שתי הקווים מקבילות (שאינן מצדיקות). מכאן נובע מהתנוחה המקבילה של אוקליד כי אם שני הקווים מקבילים, אז זוויות של זוג זוויות פנים רצופות של רוחביות משלימות. אם זוג זוויות פנים רצופות אחד משלים, הזוג השני משלים גם הוא.

אם שלוש שורות במיקום כללי יוצרים משולש נחתכים על ידי רוחב, אורכי ששת הקטעים שהתקבלו מספקים את משפט של מנלאוס

ניתן לומר את הניסוח של אוקליד לתנוחה המקבילה במונחים של רוחב. באופן ספציפי, אם זוויות הפנים באותו צד של הרוחב הן פחות משתי זוויות ישרות, אז הקווים חייבים להצטלב. למעשה, אוקליד משתמש באותו ביטוי ביוונית שמתורגמת בדרך כלל כרבעונית.

הצעתו של אוקליד 27 קובעת שאם חוצה רוחב מצטלבת שני קווים כך שזוויות פנים חלופיות הולכות וגוברות, הקווים מקבילים. אוקליד מוכיח זאת על ידי סתירה: אם הקווים אינם מקבילים, עליהם להצטלב ולהיווצר משולש. ואז אחת הזוויות החלופיות היא זווית חיצונית השווה לזווית השנייה שהיא זווית פנים הפוכה במשולש. זה סותר את ההצעה 16 הקובעת כי זווית חיצונית של משולש תמיד גדולה יותר מזוויות הפנים ההפוכות.

הצעתו של אוקליד 28 מרחיבה תוצאה זו בשתי דרכים. ראשית, אם רוחבי מצטלל שני קווים כך שזוויות תואמות תואמות, אז הקווים מקבילים. שנית, אם רוחבי מצטלל שני קווים כך שזוויות הפנים באותו צד של הרוחב הן משלימות, אז הקווים מקבילים. אלה נובעים מההצעה הקודמת על ידי יישום העובדה שזוויות הפוכות של קווים מצטלבים שווים וכי זוויות סמוכות בקו משלימות. כפי שצוין על ידי פרוקלוס, אוקליד נותן רק שלושה מתוך שישה קריטריונים אפשריים כאלה לקווים מקבילים.

ההצעה של אוקליד 29 היא שיחה לשניים הקודמים. ראשית, אם רוחב רוחב מצטלל שני קווים מקבילים, אז זוויות הפנים החלופיות הן בהתייחסות. אם לא, האחד גדול מהשני, שמשמעותו תוסףו הוא פחות מתוסף הזווית האחרת. זה מרמז שיש זוויות פנים באותו צד של הרוחב שהם פחות משתי זוויות ישרות, הסותרות את התנוחה החמישית. ההצעה ממשיכה בכך שהיא קובעת כי על רוחב של שני קווים מקבילים, זוויות תואמות הן עולות על זוויות הפנים באותו צד שוות לשתי זוויות ימניות. הצהרות אלה נובעות באותה צורה בה נובעת פרופ '28 מתוך הצעה 27.

ההוכחה של אוקליד עושה שימוש חיוני בתנוחה החמישית, עם זאת, טיפולים מודרניים בגיאומטריה משתמשים במקום זאת ב האקסיומה של Playfair . כדי להוכיח את ההצעה 29 בהנחה של האקסיומה של Playfair, תן לרוחב לחצות שני קווים מקבילים ולהניח שזוויות הפנים החלופיות אינן שוות. צייר קו שלישי דרך הנקודה בה הרוחב חוצה את הקו הראשון, אך עם זווית שווה לזווית שהטרנסברס משלם עם הקו השני. זה מייצר שני קווים שונים דרך נקודה, הן במקביל לקו אחר, סותר את האקסיומה.

בחללים ממדיים גבוהים יותר, קו המצטלב כל אחד מקבוצת הקווים בנקודות שונות הוא רוחב של קבוצת הקווים ההיא. בניגוד למקרה הדו-ממדי (המטוס), לא מובטחים טרנסים להתקיים עבור קבוצות של יותר משני קווים. בשטח של 3-שטח אוקלידיאני, regulus הוא קבוצה של קווי שיפורים , r, כך שדרך כל נקודה על כל שורה של R, ישנה רוחב של R כל נקודה של רוחב של R ישנה קו של R. מערך הרוחבים של רגולוס R הוא גם רגולוס, הנקרא הרגולוס ההפוך, r °. במרחב זה, תמיד ניתן להרחיב שלושה קווי שיפועים הדדיים לרגולוס.

• נְקוּדָה
• קָדקוֹד

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).