У дома ❯ всичко Дефиниции ❯ Геометрия ❯ Напречно Определение
Напречно Определение
Трансверса е линия , която преминава през две линии в една и съща равнина при две различни точки . Трансверсалите играят роля за установяване дали два други реда в Euclidaen Plane са успоредни . Пресечните точки на напрежение с две линии създават различни видове двойки ъгли: последователни вътрешни ъгли , съответстващи ъгли и Алтернативни ъгли . В резултат на паралелен постулат , ако двете линии са успоредни, последователните вътрешни ъгли са Допълнителни , съответните ъгли са равни и алтернативните ъгли са равни. Диаграмата по -долу илюстрира напречно.
Ъгли на напречно
Трансверният произвежда 8 ъгъла, както е показано на графиката по -горе:
4 с всяка от двете линии, а именно α, β, γ и δ и тогава α 1 , β 1 , γ 1 и δ 1 < /sub>; и
4 от които са интериор (между двете линии), а именно α, β, γ 1 и δ 1 и 4 от които са екстериор, а именно α 1 , β 1 , γ и δ.
Трансверса, която отрязва две успоредни линии при прав ъгъл , се нарича перпендикулярна напречно. В този случай всичките 8 ъгъла са с прав ъгъл. Когато линиите са успоредни, случай, който често се разглежда, напречните произвежда няколко конгруентни и няколко допълнителни ъгли . Някои от тези ъглови двойки имат конкретни имена и са разгледани по -долу:
Алтернативни ъгли
Една двойка алтернативни ъгли. С паралелни линии те са конгруентни.
Алтернативните ъгли са четирите двойки ъгли, които:
Have distinct vertex points,
Лежат от противоположните страни на напречното и
И двата ъгъла са вътрешни или двата ъгъла са екстериорни.
Ако двата ъгъла на една двойка са конгруентни, тогава ъглите на всяка от другите двойки също са конгруентни. Теорема за абсолютна геометрия (следователно валидна и в двете хиперболична и евклидова геометрия ), доказва, че ако ъглите на двойка алтернативни ъгли на напрежение са конгруентни, тогава двете линии са паралелни (не-интерцектиращи). От паралелния постулат на Евклид следва, че ако двете линии са успоредни, тогава ъглите на двойка алтернативни ъгли на напречните са конгруентни.
Съответстващи ъгли
Една двойка съответни ъгли. С паралелни линии те са конгруентни.
Съответните ъгли са четирите двойки ъгли, които:
Имайте различни точки на върха,
Лежат от същата страна на напречното и
Единият ъгъл е вътрешен, а другият е екстериор.
Две линии са успоредни, ако и само ако двата ъгъла на която и да е двойка съответстващи ъгли на всякакви напречни условия са конгруентни. Теорема за Абсолютна геометрия (следователно валидна както в хиперболична, така и в евклидова геометрия), доказва, че ако ъглите на двойка съответстващи ъгли на напрежението са конгруентни, тогава двете линии са успоредни (неинтекторинг) . От паралелния постулат на Евклид следва, че ако двете линии са успоредни, тогава ъглите на двойка съответстващи ъгли на напречните са конгруентни. Ако ъглите на една двойка съответстващи ъгли са конгруентни, тогава ъглите на всяка от другите двойки също са конгруентни. В различните изображения с паралелни линии на тази страница съответните ъглови двойки са: α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 и δ = δ 1 .
Поредни вътрешни ъгли
Една двойка последователни ъгли. С паралелни линии те добавят до два прави ъгъла.
Поредните вътрешни ъгли са двете двойки ъгли, които:
Имайте различни точки на върха,
Лежат от същата страна на напречното и
Са и двете интериор.
Две линии са успоредни, ако и само ако двата ъгъла на която и да е двойка последователни вътрешни ъгли на всякакви напречни условия са допълнителни (сума до 180 °). Теорема за абсолютната геометрия (следователно валидна както в хиперболична, така и в евклидова геометрия), доказва, че ако ъглите на двойка последователни вътрешни ъгли са допълнителни, тогава двете линии са успоредни (неинтекциониращи). От паралелния постулат на Euclid следва, че ако двете линии са успоредни, тогава ъглите на двойка последователни вътрешни ъгли на напречно е допълнително. Ако едната двойка последователни вътрешни ъгли е допълнителна, другата двойка също е допълнителна.
Други свойства
Ако три реда в обща позиция образуват триъгълник, след това се отрежат с напречен, дължините на шестте получени сегмента удовлетворяват теоремата на Менелаус .
Свързани теореми
Формулирането на Евклид на паралелния постулат може да бъде посочено по отношение на напречен. По -конкретно, ако вътрешните ъгли от една и съща страна на напречното е по -малко от два правилни ъгъла, тогава линиите трябва да се пресичат. Всъщност Евклид използва същата фраза на гръцки, която обикновено се превежда като напречно.
Предложението на Euclid 27 се посочва, че ако напречните се пресича две линии, така че алтернативните вътрешни ъгли да са конгруентни, тогава линиите са успоредни. Евклид доказва това чрез противоречие: Ако линиите не са успоредни, тогава те трябва да се пресичат и се образува триъгълник. Тогава един от алтернативните ъгли е външен ъгъл, равен на другия ъгъл, който е противоположен вътрешен ъгъл в триъгълника. Това противоречи на предложение 16, което гласи, че външен ъгъл на триъгълник винаги е по -голям от противоположните вътрешни ъгли.
Предложението на Euclid 28 разширява този резултат по два начина. Първо, ако напречно се пресича две линии, така че съответните ъгли да са конгруентни, тогава линиите са успоредни. Второ, ако напречно се пресича с две линии, така че вътрешните ъгли от една и съща страна на напречното е допълнително, тогава линиите са успоредни. Те следват от предишното предложение чрез прилагане на факта, че противоположните ъгли на пресичащите се линии са равни и че съседните ъгли на линия са допълнителни. Както бе отбелязано от Proclus, Euclid дава само три от възможните шест такива критерия за паралелни линии.
Предложението на Евклид 29 е обрат на предишните две. Първо, ако напречните се пресича две успоредни линии, тогава алтернативните вътрешни ъгли са конгруентни. Ако не, тогава единият е по -голям от другия, което предполага, че добавката му е по -малка от добавката на другия ъгъл. Това означава, че има вътрешни ъгли от една и съща страна на напрежението, които са по -малко от два правилни ъгъла, противоречащи на петия постулат. Предложението продължава, като се посочва, че при напрежение от две успоредни линии съответните ъгли са конгруентни и вътрешните ъгли от една и съща страна са равни на два правилни ъгъла. Тези изявления следват по същия начин, по който Prop. 28 следва от Prop. 27.
Доказателството на Euclid използва съществено използването на петия постулат, обаче, съвременните лечения на геометрията използват Playfair's Axiom вместо това. За да се докаже предложение 29, ако приемем аксиомата на Playfair, нека напречните пресечени две паралелни линии и да предположат, че алтернативните вътрешни ъгли не са равни. Начертайте трети ред през точката, в която напречните пресича първия ред, но с ъгъл, равен на ъгъла, който напречните прави с втория ред. Това произвежда две различни линии през точка, и двете успоредни на друга линия, противоречащи на аксиомата.
По -високи размери
В по -високи размерени пространства линия, която пресича всеки от набор от линии в различни точки, е напречен на този набор от линии. За разлика от двуизмерния (равнинен) случай, не е гарантиран, че съществуват набори от повече от два реда. В евклидов 3-пространство, regulus е набор от наклонени линии , R, така че през всяка точка на всяка линия от r, там преминава напрежение на R и през Всяка точка на напрежение на r там преминава линия от R. Наборът от напречни средства на регулус R също е регул, наречен противоположния регул, r °. В това пространство три взаимно наклонени линии винаги могат да бъдат разширени до регулус.
Източници
“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).