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Transversal Definição

Uma transversal é uma linha que passa por duas linhas no mesmo plano em dois pontos distintos . Os transversals desempenham um papel no estabelecimento de duas outras linhas no plano euclidiano são . As interseções de uma transversal com duas linhas criam vários tipos de pares de ângulos: ângulos interiores consecutivos , ângulos correspondentes e ângulos alternativos . Como conseqüência do postulado paralelo de Euclides, se as duas linhas forem paralelas, os ângulos internos consecutivos são suplementares , os ângulos correspondentes são iguais e os ângulos alternativos são iguais. O diagrama abaixo ilustra uma transversal.

Ângulos de um transversal

Uma transversal produz 8 ângulos, como mostrado no gráfico acima:

  • 4 com cada uma das duas linhas, a saber, α, β, γ e δ e então α 1 , β 1 , γ 1 e δ 1 << /sub>; e

  • 4 dos quais são interiores (entre as duas linhas), a saber, α, β, γ dos quais são o exterior, nomeadamente α e δ.

Uma transversal que corta duas linhas paralelas nos ângulos retais é chamada de perpendicular transversal. Nesse caso, todos os 8 ângulos são ângulos retos. Quando as linhas são paralelas, um caso que é frequentemente considerado, uma transversal produz vários congruente e vários ângulos suplementares . Alguns desses pares de ângulo têm nomes específicos e são discutidos abaixo:

Ângulos alternativos

Um par de ângulos alternativos. Com linhas paralelas, elas são congruentes.

Ângulos alternativos são os quatro pares de ângulos que:

  • Have distinct vertex points,

  • Deite -se em lados opostos do transversal e

  • Ambos os ângulos são interiores ou ambos os ângulos são exterior.

Se os dois ângulos de um par são congruentes, os ângulos de cada um dos outros pares também são congruentes. Um teorema da geometria absoluta (portanto, válida em hiperbólica e geometria euclidiana ), prova que, se os ângulos de um par de ângulos alternativos de um transversal forem congruentes, então as duas linhas são paralelos (não intersectores). Segue -se do postulado paralelo de Euclides que, se as duas linhas forem paralelas, os ângulos de um par de ângulos alternativos de uma transversal são congruentes.

Ângulos correspondentes

Um par de ângulos correspondentes. Com linhas paralelas, elas são congruentes.

Ângulos correspondentes são os quatro pares de ângulos que:

  • Tem pontos de vértice distintos,

  • Mentir do mesmo lado do transversal e

  • Um ângulo é interior e o outro é o exterior.

Duas linhas são paralelas se e somente se os dois ângulos de qualquer par de ângulos correspondentes de qualquer transversal forem congruentes. Um teorema da geometria absoluta (portanto, válida na geometria hiperbólica e euclidiana), prova que, se os ângulos de um par de ângulos correspondentes de um transversal forem congruentes, as duas linhas forem paralelas (não intelectivas) . Segue -se do postulado paralelo de Euclides que, se as duas linhas forem paralelas, os ângulos de um par de ângulos correspondentes de um transversal são congruentes. Se os ângulos de um par de ângulos correspondentes são congruentes, os ângulos de cada um dos outros pares também são congruentes. Nas várias imagens com linhas paralelas nesta página, os pares de ângulo correspondentes são: α =#945; = β 1 , γ = γ 1 e δ = δ

Ângulos internos consecutivos

Um par de ângulos consecutivos. Com linhas paralelas, elas somam dois ângulos retos.

Ângulos internos consecutivos são os dois pares de ângulos que:

  • Tem pontos de vértice distintos,

  • Mentir do mesmo lado do transversal e

  • São ambos interiores.

Duas linhas são paralelas se e somente se os dois ângulos de qualquer par de ângulos internos consecutivos de qualquer transversal forem suplementares (soma a 180 °). Um teorema da geometria absoluta (portanto, válida na geometria hiperbólica e euclidiana), prova que, se os ângulos de um par de ângulos internos consecutivos forem suplementares, as duas linhas são paralelas (não intersectores). Segue -se do postulado paralelo de Euclides que, se as duas linhas forem paralelas, os ângulos de um par de ângulos internos consecutivos de um transversal são suplementares. Se um par de ângulos internos consecutivos for suplementar, o outro par também é suplementar.

Outras propriedades

Se três linhas na posição geral formam um triângulo, então é cortado por uma transversal, os comprimentos dos seis segmentos resultantes satisfazem teorema de Menelaus .

Teoremas relacionados

A formulação de Euclides do postulado paralelo pode ser declarada em termos de uma transversal. Especificamente, se os ângulos internos do mesmo lado da transversal forem inferiores a dois ângulos retos, as linhas devem se cruzar. De fato, Euclides usa a mesma frase em grego que geralmente é traduzido como transversal.

A Proposição 27 de Euclides afirma que, se um transversal cruzar duas linhas para que os ângulos internos alternativos sejam congruentes, as linhas são paralelas. Euclides prova isso por contradição: se as linhas não forem paralelas, elas devem se cruzar e um triângulo é formado. Então um dos ângulos alternativos é um ângulo externo igual ao outro ângulo, que é um ângulo interno oposto no triângulo. Isso contradiz a Proposição 16, que afirma que um ângulo externo de um triângulo é sempre maior que os ângulos internos opostos.

A Proposição 28 de Euclides estende esse resultado de duas maneiras. Primeiro, se um transversal cruzar duas linhas para que os ângulos correspondentes sejam congruentes, as linhas são paralelas. Segundo, se um transversal cruzar duas linhas, de modo que os ângulos interiores do mesmo lado do transversal sejam suplementares, as linhas são paralelas. Eles seguem da proposição anterior, aplicando o fato de que os ângulos opostos das linhas de cruzamento são iguais e que os ângulos adjacentes em uma linha são suplementares. Como observado pelo Proclus, Euclides fornece apenas três de seis desses critérios para linhas paralelas.

A Proposição 29 de Euclides é um inverso para os dois anteriores. Primeiro, se um transversal cruzar duas linhas paralelas, os ângulos internos alternativos são congruentes. Caso contrário, um é maior que o outro, o que implica que seu suplemento é menor que o suplemento do outro ângulo. Isso implica que existem ângulos internos no mesmo lado do transversal, que são menos de dois ângulos retos, contradizendo o quinto postulado. A proposição continua afirmando que, em uma transversal de duas linhas paralelas, os ângulos correspondentes são congruentes e os ângulos internos do mesmo lado são iguais a dois ângulos retos. Essas declarações seguem da mesma maneira que a Prop. 28 segue da Prop. 27.

A prova de Euclides faz uso essencial do quinto postulado, no entanto, os tratamentos modernos do uso da geometria Playfair Axiom . Para provar a Proposição 29 assumindo o axioma da Playfair, deixe um transversal cruzar duas linhas paralelas e suponha que os ângulos internos alternativos não sejam iguais. Desenhe uma terceira linha no ponto em que a transversal cruza a primeira linha, mas com um ângulo igual ao ângulo que o transversal faz com a segunda linha. Isso produz duas linhas diferentes através de um ponto, ambas paralelas a outra linha, contradizendo o axioma.

Dimensões mais altas

Em espaços dimensionais superiores, uma linha que cruza cada um de um conjunto de linhas em pontos distintos é uma transversal desse conjunto de linhas. Ao contrário do caso bidimensional (plano), não é garantido que os transversals existam para conjuntos de mais de duas linhas. No 3-space euclidiano, um regulus é um conjunto de linhas de inclinação , de modo que, através de cada ponto em cada linha de r, passa uma transversal de r e através de Cada ponto de uma transversal de R passa uma linha de R. O conjunto de transversals de um regulus r também é um regulus, chamado regulus oposto, r °. Nesse espaço, três linhas de distorção mutuamente podem sempre ser estendidas a um regulus.

Definições relacionadas

Fontes

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).

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