Poprečni Definicija

Poprečni stvara 8 kutova, kao što je prikazano na gornjem grafikonu:

• 4 sa svakim od dva retka, naime α, β, γ i δ i onda α 1 , β 1 , γ 1 i δ 1 < /sub>; i

• 4 od kojih su unutrašnjost (između dva retka), naime α, β, γ 1 i δ 1 i 4 od kojih su eksterijera, naime α 1 , β 1 sub>, γ i δ.

Dvije su linije paralelne ako i samo ako su dva kuta bilo kojeg para odgovarajućih kutova bilo kojeg poprečnog poprečnog. Teorem apsolutne geometrije (stoga vrijedi i u hiperboličkoj i u euklidskoj geometriji), dokazuje da ako su kutovi odgovarajućeg kuta poprečnog popreka kongruentni, tada su dvije linije paralelne (ne-interectirajuće) . Iz Euclidovog paralelnog postulata proizlazi da ako su dvije linije paralelne, tada su kutovi para odgovarajućih kutova popreke u skladu. Ako su kutovi jednog para odgovarajućih kutova kongruentni, tada su kutovi svakog drugog para također u skladu. U različitim slikama s paralelnim linijama na ovoj stranici odgovarajući parovi kuta su: α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 i δ = δ 1 .

Uzastopni unutarnji kutovi

Jedan par uzastopnih kutova. S paralelnim linijama dodaju se do dva desna kuta.

Uzastopni unutarnji kutovi su dva para kutova:

• Imaju različite vertex točke,

• Leći na istoj strani poprečnog i

• Su obje unutrašnjosti.

Dvije su linije paralelne ako i samo ako su dva kuta bilo kojeg para uzastopnih unutarnjih kutova bilo kojeg poprečnog dodatka (zbroj na 180 °). Teorem apsolutne geometrije (otuda vrijedi i u hiperboličkoj i euklidskoj geometriji), dokazuje da ako su kutovi par uzastopnih unutarnjih kutova dopunski, tada su dvije linije paralelne (ne-udruživanje). Iz Euclidovog paralelnog postulata proizlazi da ako su dvije linije paralelne, tada su kutovi par uzastopnih unutarnjih kutova poprečnog dodatka. Ako je jedan par uzastopnih unutarnjih kutova dopunski, drugi par je također dopunski.

Ako tri linije općenito formiraju trokut, tada se smanjuju poprečno, duljine od šest rezultirajućih segmenata zadovoljavaju Menelausov teorem .

Euclidova formulacija paralelnog postulata može se navesti u poprečnoj. Konkretno, ako su unutarnji kutovi na istoj strani popreke manji od dva desna kuta, tada se linije moraju presijecati. U stvari, Euclid koristi istu frazu na grčkom jeziku koja se obično prevodi kao poprečna.

Euclidov prijedlog 27 kaže da ako poprečni presijecaju dvije linije tako da su alternativni unutarnji kutovi kongruentni, tada su linije paralelne. Euclid to dokazuje kontradikcijom: ako linije nisu paralelne, tada se moraju presijecati i formirati trokut. Tada je jedan od alternativnih kutova vanjski kut jednak drugom kutu koji je suprotni unutarnji kut u trokutu. To je u suprotnosti s prijedlogom 16 koji kaže da je vanjski kut trokuta uvijek veći od suprotnih unutarnjih kutova.

Euclidov prijedlog 28 proširuje ovaj rezultat na dva načina. Prvo, ako poprečni presijecaju dvije linije tako da su odgovarajući kutovi kongruentni, tada su linije paralelne. Drugo, ako poprečni presijeca dvije linije tako da su unutarnji kutovi na istoj strani poprečnog dodatka, tada su linije paralelne. Oni slijede iz prethodnog prijedloga primjenom činjenice da su suprotni kutovi presijecanih linija jednaki i da su susjedni kutovi na liniji dopunski. Kao što je primijetio Proclus, Euclid daje samo tri od mogućih šest takvih kriterija za paralelne linije.

Euclidov prijedlog 29 obrnuto je s prethodna dva. Prvo, ako poprečni presijeca dvije paralelne linije, tada su alternativni unutarnji kutovi kongruentni. Ako ne, onda je jedan veći od drugog, što podrazumijeva da je njegov dodatak manji od dodatka drugog kuta. To podrazumijeva da na istoj strani popreke postoje unutarnji kutovi koji su manji od dva prava kuta, što je u suprotnosti s petim postulatom. Prijedlog se nastavlja tako što su na poprečnosti dviju paralelnih linija odgovarajući kutovi, a unutarnji kutovi na istoj strani jednaki dva desna kuta. Te izjave slijede na isti način na koji prop. 28 slijedi iz prop. 27.

Euclidov dokaz koristi ključno peti postulat, međutim, moderni tretmani geometrije upotrebljavaju Playfair's Axiom umjesto toga. Da biste dokazali prijedlog 29, pretpostavljajući Axiom Playfaira, neka poprečni prijelaz prijeđe dvije paralelne linije i pretpostavimo da alternativni unutarnji kutovi nisu jednaki. Nacrtajte treću liniju kroz točku gdje poprečni prelazi prvu liniju, ali s kutom jednakim kutom koji poprečno izrađuje s drugom linijom. To stvara dvije različite linije kroz točku, obje paralelne s drugom linijom, u suprotnosti s aksiomom.

U prostorima veće dimenzije, linija koja presijeca svaki skup linija u različitim točkama poprečna je tog skupa linija. Za razliku od dvodimenzionalnog slučaja (ravnine), ne jamči da će popreci postojati za skupove više od dvije linije. U euklidskom 3-prostoru A Regulus je skup nagibnih linija , r, tako da kroz svaku točku na svakoj liniji R prolazi poprečni R i kroz kroz kroz kroz poprečni R i kroz kroz poprečni R i kroz kroz kroz poprečni R i kroz kroz kroz poprečni poprečni r i kroz kroz kroz poprečni poprečni R i kroz kroz. Svaka točka poprečnog r tamo prolazi liniju R. Skup poprečnih regulata R je također regulus, nazvan suprotni regulus, r °. U ovom se prostoru tri međusobno naginjačke linije uvijek mogu proširiti na regulus.

• Točka
• Vrha

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).