ಶಮನಕಾರಿ ವಿವರಣೆ

ಮೇಲಿನ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್ 8 ಕೋನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ:

• 4 ಎರಡು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ α ;, β ;, γ ಮತ್ತು δ ತದನಂತರ α <ಉಪ> /ಉಪ>; ಮತ್ತು

• ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 4 ಒಳಾಂಗಣ (ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ನಡುವೆ), ಅವುಗಳೆಂದರೆ α ;, β ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ α <ಉಪ> 1 , β <ಉಪ> 1 , γ ಮತ್ತು δ.

<ಸ್ಪ್ಯಾನ್> ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್ ಅನ್ನು <ಸ್ಪ್ಯಾನ್> ಲಂಬ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ 8 ಕೋನಗಳು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ. ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್ ಹಲವಾರು <ಸ್ಪ್ಯಾನ್> ಸಮಂಜಸ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು <ಸ್ಪ್ಯಾನ್> ಪೂರಕ ಕೋನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಲವು ಕೋನ ಜೋಡಿಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು

ಒಂದು ಜೋಡಿ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು. ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು ನಾಲ್ಕು ಜೋಡಿ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ:

• Have distinct vertex points,

• ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್‌ನ ಎದುರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದೆ ಮತ್ತು

• ಎರಡೂ ಕೋನಗಳು ಒಳಾಂಗಣ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಕೋನಗಳು ಹೊರಭಾಗದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ಜೋಡಿಯ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮಂಜಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇತರ ಜೋಡಿಗಳ ಕೋನಗಳು ಸಹ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪ್ರಮೇಯ (ಆದ್ದರಿಂದ <ಸ್ಪ್ಯಾನ್> ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮತ್ತು <ಸ್ಪ್ಯಾನ್> ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ

ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳು

ಒಂದು ಜೋಡಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳು. ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳು ನಾಲ್ಕು ಜೋಡಿ ಕೋನಗಳು:

• ವಿಭಿನ್ನ ಶೃಂಗದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ,

• ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್‌ನ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಲಗಿರಿ ಮತ್ತು

• ಒಂದು ಕೋನವು ಒಳಾಂಗಣ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಹೊರಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮಂಜಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. <ಸ್ಪ್ಯಾನ್> ಸಂಪೂರ್ಣ ಜ್ಯಾಮಿತಿ (ಆದ್ದರಿಂದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ), ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್‌ನ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳ ಕೋನಗಳು ಸಮಂಜಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದ) . ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್‌ನ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳ ಕೋನಗಳು ಸಮಂಜಸವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಜೋಡಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳ ಕೋನಗಳು ಸಮಂಜಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿಗಳ ಕೋನಗಳು ಸಹ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿವಿಧ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನ ಜೋಡಿಗಳು: α = α <ಉಪ> 1 , β = β 1 , γ = γ <ಉಪ> 1 ಮತ್ತು δ = δ <ಉಪ> 1 .

ಸತತ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು

ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸತತ ಕೋನಗಳು. ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅವು ಎರಡು ಲಂಬ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ.

ಸತತ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು ಎರಡು ಜೋಡಿ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ:

• ವಿಭಿನ್ನ ಶೃಂಗದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ,

• ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್‌ನ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಲಗಿರಿ ಮತ್ತು

• ಎರಡೂ ಒಳಾಂಗಣ.

ಯಾವುದೇ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಸತತ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಮೊತ್ತ 180 °). ಸಂಪೂರ್ಣ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪ್ರಮೇಯ (ಆದ್ದರಿಂದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಸತತ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಮಧ್ಯಂತರವಲ್ಲದ). ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್‌ನ ಸತತ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸತತ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇತರ ಜೋಡಿ ಸಹ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಮೂರು ಸಾಲುಗಳು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್ ಮೂಲಕ ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಆರು ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದವು <ಸ್ಪ್ಯಾನ್> ಮೆನೆಲೌಸ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯ ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಪೋಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ನ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಲ್ ಪ್ರಕಾರ ಹೇಳಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್‌ನ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು ಎರಡು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ರೇಖೆಗಳು ect ೇದಿಸಬೇಕು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಗ್ರೀಕ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅದೇ ನುಡಿಗಟ್ಟು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್ ಎಂದು ಅನುವಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ects ೇದಿಸಿದರೆ ಪರ್ಯಾಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು ಸಮಂಜಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಪ್ರಸ್ತಾಪ 27 ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಇದನ್ನು ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ: ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಅವು ect ೇದಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇತರ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನವಾಗಿದ್ದು ಅದು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ಇದು ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನವು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಪ್ರಸ್ತಾಪ 28 ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ects ೇದಿಸಿದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ects ೇದಿಸಿದರೆ, ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್‌ನ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. Ers ೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ವಿರುದ್ಧ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಿಂದಿನ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯಿಂದ ಇವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರೊಕ್ಲಸ್ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅಂತಹ ಆರು ಮಾನದಂಡಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಪ್ರಸ್ತಾಪ 29 ಹಿಂದಿನ ಎರಡಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಂವಾದಿಯಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ects ೇದಿಸಿದರೆ, ಪರ್ಯಾಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಅದರ ಪೂರಕವು ಇತರ ಕೋನದ ಪೂರಕಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್‌ನ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳಿವೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳು ಎರಡು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತವೆ, ಇದು ಐದನೇ ಪೋಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್‌ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್‌ನಲ್ಲಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳು ಸಮಂಜಸವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು ಎರಡು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಪ್ರಾಪ್. 28 ರಿಂದ ಪ್ರಾಪ್ 27 ರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ.

ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಪುರಾವೆ ಐದನೇ ಪೋಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್‌ನ ಅಗತ್ಯ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಆಧುನಿಕ ಚಿಕಿತ್ಸೆಗಳು <ಸ್ಪ್ಯಾನ್> ಪ್ಲೇಫೇರ್‌ನ ಆಕ್ಸಿಯಮ್ ಬದಲಿಗೆ. ಪ್ಲೇಫೇರ್‌ನ ಆಕ್ಸಿಯಮ್ ಅನ್ನು uming ಹಿಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಸ್ತಾಪ 29 ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ದಾಟಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ದಾಟುವ ಹಂತದ ಮೂಲಕ ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, ಆದರೆ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನೊಂದಿಗೆ ಮಾಡುವ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ. ಇದು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಎರಡೂ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ, ಆಕ್ಸಿಯಮ್‌ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ects ೇದಿಸುವ ಒಂದು ಸಾಲು ಆ ಸಾಲುಗಳ ಗುಂಪಿನ ವರ್ಗಾವಣೆಯಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ (ವಿಮಾನ) ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಎರಡು ಸಾಲುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್‌ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ 3-ಸ್ಪೇಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ಎ <ಸ್ಪ್ಯಾನ್> ರೆಗ್ಯುಲಸ್ ಎನ್ನುವುದು <ಸ್ಪ್ಯಾನ್> ಓರೆಯಾದ ರೇಖೆಗಳು , ಆರ್, ಅಂದರೆ ಆರ್ ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲೂ, ಆರ್ ಮತ್ತು ಥ್ರೂನ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್ ಅನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಆರ್ ನ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಆರ್ ನ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ರೆಗ್ಯುಲಸ್ ಆರ್ ನ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ಸಹ ರೆಗ್ಯುಲಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ರೆಗ್ಯುಲಸ್, ಆರ್ ° ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಪರಸ್ಪರ ಓರೆಯಾದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ರೆಗ್ಯುಲಸ್‌ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.

• ಬಿಂದು
• ಶೃಂಗ

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).