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आड़ा परिभाषा

एक ट्रांसवर्सल एक <स्पैन> लाइन है जो एक ही <स्पैन> प्लेन में दो अलग -अलग <स्पैन> पॉइंट्स में दो लाइनों से गुजरता है। ट्रांसवर्सल यह स्थापित करने में एक भूमिका निभाते हैं कि क्या <स्पैन> यूक्लिडियन प्लेन में दो अन्य लाइनें हैं <स्पैन> समानांतर । दो पंक्तियों के साथ एक ट्रांसवर्सल के चौराहे विभिन्न प्रकार के जोड़े कोण बनाते हैं: लगातार आंतरिक कोण , इसी कोण , और वैकल्पिक कोण । Euclid के <स्पैन> समानांतर पोस्टुलेट के परिणामस्वरूप, यदि दो लाइनें समानांतर हैं, तो लगातार आंतरिक कोण हैं <स्पैन> सप्लीमेंट्री , इसी कोण समान हैं, और वैकल्पिक कोण समान हैं। नीचे दिया गया आरेख एक ट्रांसवर्सल दिखाता है।

एक ट्रांसवर्सल के कोण

एक ट्रांसवर्सल 8 कोणों का उत्पादन करता है, जैसा कि ऊपर ग्राफ में दिखाया गया है:

  • 4 दो लाइनों में से प्रत्येक के साथ, अर्थात् α, β, γ और δ और तब α <सब> 1 , β <सब> 1 , γ <सब> 1 और δ <सब> 1 < /उप>; और

  • जिनमें से 4 इंटीरियर हैं (दो पंक्तियों के बीच), अर्थात् α, β, γ <सब> 1 और δ <सब> 1 और 4 जिनमें से बाहरी हैं, अर्थात् α <सब> 1 , β <सब> 1 , γ और δ ;;

एक ट्रांसवर्सल जो दो समानांतर रेखाओं को काटता है <स्पैन> राइट एंगल्स को <स्पैन> लंबवत ट्रांसवर्सल कहा जाता है। इस मामले में, सभी 8 कोण समकोण हैं। जब लाइनें समानांतर होती हैं, तो एक ऐसा मामला जिसे अक्सर माना जाता है, एक ट्रांसवर्सल कई <स्पैन> बधाई और कई <स्पैन> सप्लीमेंट्री एंगल्स का उत्पादन करता है। इनमें से कुछ कोण जोड़े में विशिष्ट नाम हैं और नीचे चर्चा की गई है:

वैकल्पिक कोण

वैकल्पिक कोणों की एक जोड़ी। समानांतर लाइनों के साथ, वे बधाई हैं।

वैकल्पिक कोण चार जोड़े कोण हैं कि:

  • Have distinct vertex points,

  • ट्रांसवर्सल के विपरीत किनारों पर लेटें और

  • दोनों कोण आंतरिक हैं या दोनों कोण बाहरी हैं।

यदि एक जोड़ी के दो कोण बधाई हैं, तो प्रत्येक जोड़े में से प्रत्येक के कोण भी बधाई हैं। निरपेक्ष ज्यामिति का एक प्रमेय (इसलिए दोनों <स्पैन> हाइपरबोलिक और <स्पैन> यूक्लिडियन ज्यामिति ) में मान्य है, यह साबित करता है कि यदि एक ट्रांसवर्सल के वैकल्पिक कोणों की एक जोड़ी के कोणों को बधाई दी जाती है तो दो पंक्तियाँ हैं। समानांतर (गैर-इंटर्स्टिंग) हैं। यह यूक्लिड के समानांतर पोस्ट से इस प्रकार है कि यदि दो लाइनें समानांतर हैं, तो एक ट्रांसवर्सल के वैकल्पिक कोणों की एक जोड़ी के कोण बधाई हैं।

सभी तरीके से

इसी कोणों की एक जोड़ी। समानांतर लाइनों के साथ, वे बधाई हैं।

इसी कोणों को कोण के चार जोड़े हैं:

  • अलग -अलग वर्टेक्स पॉइंट हैं,

  • ट्रांसवर्सल के एक ही तरफ लेटें और

  • एक कोण आंतरिक है और दूसरा बाहरी है।

दो पंक्तियाँ समानांतर होती हैं यदि और केवल अगर किसी भी ट्रांसवर्सल के इसी कोणों के किसी जोड़ी के दो कोण बधाई हो। <स्पैन> निरपेक्ष ज्यामिति का एक प्रमेय (इसलिए हाइपरबोलिक और यूक्लिडियन ज्यामिति दोनों में मान्य), यह साबित करता है कि यदि एक ट्रांसवर्सल के इसी कोणों की एक जोड़ी के कोण बधाई हैं तो दो पंक्तियाँ समानांतर हैं (गैर-इंटर्स्टिंग) । यह यूक्लिड के समानांतर पोस्ट से इस प्रकार है कि यदि दो पंक्तियाँ समानांतर हैं, तो एक ट्रांसवर्सल के संगत कोणों की एक जोड़ी के कोण बधाई हैं। यदि इसी कोणों के एक जोड़े के कोण बधाई हैं, तो प्रत्येक जोड़े में से प्रत्येक के कोण भी बधाई हैं। इस पृष्ठ पर समानांतर लाइनों के साथ विभिन्न छवियों में, इसी कोण जोड़े हैं: α = α <सब> 1 , β = β <सब> 1 , γ = γ <सब> 1 और δ = δ <सब> 1 ।

लगातार आंतरिक कोण

लगातार कोणों की एक जोड़ी। समानांतर लाइनों के साथ, वे दो समकोण तक जोड़ते हैं।

लगातार आंतरिक कोण दो जोड़े कोण हैं:

  • अलग -अलग वर्टेक्स पॉइंट हैं,

  • ट्रांसवर्सल के एक ही तरफ लेटें और

  • दोनों इंटीरियर हैं।

दो पंक्तियाँ समानांतर होती हैं यदि और केवल अगर किसी भी ट्रांसवर्सल के लगातार आंतरिक कोणों के किसी भी जोड़े के दो कोण पूरक होते हैं (योग 180 ° तक)। निरपेक्ष ज्यामिति का एक प्रमेय (इसलिए हाइपरबोलिक और यूक्लिडियन ज्यामिति दोनों में मान्य), यह साबित करता है कि यदि लगातार आंतरिक कोणों की एक जोड़ी के कोण पूरक हैं तो दो लाइनें समानांतर (गैर-इंटर्स्टिंग) हैं। यह यूक्लिड के समानांतर पोस्ट से इस प्रकार है कि यदि दो लाइनें समानांतर हैं, तो एक ट्रांसवर्सल के लगातार आंतरिक कोणों की एक जोड़ी के कोण पूरक हैं। यदि लगातार आंतरिक कोणों की एक जोड़ी पूरक है, तो दूसरी जोड़ी भी पूरक है।

अन्य गुण

यदि सामान्य स्थिति में तीन लाइनें एक त्रिभुज बनाते हैं, तो एक ट्रांसवर्सल द्वारा काट दिया जाता है, छह परिणामी खंडों की लंबाई <स्पैन> मेनेलॉस के प्रमेय को संतुष्ट करती है।

संबंधित प्रमेय

समानांतर पोस्टुलेट के यूक्लिड के सूत्रीकरण को एक ट्रांसवर्सल के संदर्भ में कहा जा सकता है। विशेष रूप से, यदि ट्रांसवर्सल के एक ही तरफ आंतरिक कोण दो समकोण से कम हैं, तो लाइनों को प्रतिच्छेद करना चाहिए। वास्तव में, यूक्लिड ग्रीक में उसी वाक्यांश का उपयोग करता है जिसे आमतौर पर ट्रांसवर्सल के रूप में अनुवादित किया जाता है।

यूक्लिड के प्रस्ताव 27 में कहा गया है कि यदि एक ट्रांसवर्सल दो लाइनों को काटता है ताकि वैकल्पिक आंतरिक कोण बधाई हो, तो लाइनें समानांतर हैं। यूक्लिड विरोधाभास द्वारा इसे साबित करता है: यदि लाइनें समानांतर नहीं हैं तो उन्हें प्रतिच्छेद करना चाहिए और एक त्रिकोण बनता है। फिर वैकल्पिक कोणों में से एक बाहरी कोण अन्य कोण के बराबर है जो त्रिभुज में एक विपरीत आंतरिक कोण है। यह विरोधाभास प्रस्ताव 16 में बताता है कि एक त्रिभुज का एक बाहरी कोण हमेशा विपरीत आंतरिक कोणों से अधिक होता है।

यूक्लिड का प्रस्ताव 28 इस परिणाम को दो तरीकों से बढ़ाता है। सबसे पहले, यदि एक ट्रांसवर्सल दो पंक्तियों को काटता है ताकि इसी कोण बधाई हो, तो लाइनें समानांतर हैं। दूसरा, यदि एक ट्रांसवर्सल दो पंक्तियों को काटता है, तो ट्रांसवर्सल के एक ही तरफ आंतरिक कोण पूरक होते हैं, तो लाइनें समानांतर होती हैं। ये पिछले प्रस्ताव से इस तथ्य को लागू करते हैं कि प्रतिच्छेदन लाइनों के विपरीत कोण समान हैं और एक रेखा पर आसन्न कोण पूरक हैं। जैसा कि प्रोक्लस द्वारा उल्लेख किया गया है, यूक्लिड समानांतर लाइनों के लिए संभावित छह ऐसे मानदंडों में से केवल तीन देता है।

यूक्लिड का प्रस्ताव 29 पिछले दो के लिए एक आक्षेप है। सबसे पहले, यदि एक ट्रांसवर्सल दो समानांतर लाइनों को काटता है, तो वैकल्पिक आंतरिक कोण बधाई हैं। यदि नहीं, तो एक दूसरे से अधिक है, जिसका अर्थ है कि इसका पूरक दूसरे कोण के पूरक से कम है। इसका तात्पर्य यह है कि ट्रांसवर्सल के एक ही तरफ आंतरिक कोण होते हैं जो दो समकोण से कम होते हैं, जो पांचवें पोस्टुलेट के विपरीत होते हैं। यह प्रस्ताव जारी है कि दो समानांतर लाइनों के एक ट्रांसवर्सल पर, इसी कोण बधाई हैं और एक ही तरफ के आंतरिक कोण दो समकोण के बराबर हैं। ये कथन उसी तरह से अनुसरण करते हैं जैसे कि प्रोप 28 प्रोप 27 से अनुसरण करता है।

Euclid का प्रमाण पांचवें पोस्टुलेट का आवश्यक उपयोग करता है, हालांकि, ज्यामिति के आधुनिक उपचारों का उपयोग <स्पैन> Playfair's Axiom के बजाय। Playfair के स्वयंसिद्ध मानते हुए प्रस्ताव 29 को साबित करने के लिए, एक ट्रांसवर्सल को दो समानांतर लाइनों को पार करने दें और मान लें कि वैकल्पिक आंतरिक कोण समान नहीं हैं। उस बिंदु के माध्यम से एक तीसरी पंक्ति खींचें जहां ट्रांसवर्सल पहली पंक्ति को पार करता है, लेकिन कोण के बराबर एक कोण के साथ ट्रांसवर्सल दूसरी पंक्ति के साथ बनाता है। यह एक बिंदु के माध्यम से दो अलग -अलग रेखाओं का उत्पादन करता है, दोनों दूसरी पंक्ति के समानांतर, स्वयंसिद्ध के विपरीत।

उच्च आयाम

उच्च आयामी रिक्त स्थान में, एक रेखा जो अलग -अलग बिंदुओं में लाइनों के एक सेट को प्रतिच्छेद करती है, वह लाइनों के उस सेट का एक ट्रांसवर्सल है। दो-आयामी (विमान) मामले के विपरीत, ट्रांसवर्सल को दो से अधिक लाइनों के सेट के लिए मौजूद होने की गारंटी नहीं है। यूक्लिडियन 3-स्पेस में, ए <स्पैन> रेगुलस <स्पैन> स्केव लाइन्स , आर का एक सेट है, जैसे कि आर की प्रत्येक पंक्ति पर प्रत्येक बिंदु के माध्यम से, आर और के माध्यम से एक ट्रांसवर्सल पास करता है। आर के एक ट्रांसवर्सल का प्रत्येक बिंदु आर की एक पंक्ति से गुजरता है। रेगुलस आर के ट्रांसवर्सल का सेट भी एक रेगुलस है, जिसे विपरीत रेगुलस, आर ° कहा जाता है। इस स्थान में, तीन पारस्परिक रूप से तिरछी रेखाओं को हमेशा एक रेगुलस तक बढ़ाया जा सकता है।

संबंधित परिभाषाएँ

सूत्रों का कहना है

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).

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