Poprzeczny Definicja

Transversal wytwarza 8 kątów, jak pokazano na powyższym wykresie:

• 4 Z każdą z dwóch linii, a mianowicie α, β, γ i δ a następnie α 1 , β _{1 , γ 1 i δ 1 < /sub>; I}

• 4 z nich to wewnętrzne (między dwiema liniami), a mianowicie α, β, γ 1 i δ 1 i 4 z których są zewnętrzne, a mianowicie α 1 , β 1 , γ i δ.

Transversal, który przecina dwie równoległe linie w kątów prostych , nazywa się prostopadle . W takim przypadku wszystkie 8 kąty są prostymi kątami. Gdy linie są równoległe, często rozpatrywany przypadek, poprzecznie daje kilka zgodnych i kilka kątów uzupełniających . Niektóre z tych par kątowych mają określone nazwy i są omówione poniżej:

Alternatywne kąty

Jedna para alternatywnych kątów. Z równoległymi liniami są one przystające.

Alternatywne kąty to cztery pary kątów, które:

• Have distinct vertex points,

• Leżeć po przeciwnych stronach poprzecznego i

• Oba kąty są wewnętrzne lub oba kąty są zewnętrzne.

Jeśli dwa kąty jednej pary są zgodne, wówczas kąt każdej z pozostałych par są również zgodne. Twierdzenie o geometrii absolutnej (stąd ważne zarówno w hiperbolicznych i geometrii euklidesowej ), dowodzi, że jeśli kąty pary alternatywnych kąty poprzecznego są zgodne, wówczas dwie linie są równoległe (nie przenikliwe). Wynika z równoległego postulatu Euclida, że ​​jeśli dwie linie są równoległe, wówczas kąt pary alternatywnych kątów poprzecznego są zgodne.

Odpowiadające kąty

Jedna para odpowiednich kąty. Z równoległymi liniami są one przystające.

Odpowiednie kąty to cztery pary kąty, które:

• Mają wyraźne punkty wierzchołkowe,

• Leżeć po tej samej stronie poprzecznej i

• Jeden kąt jest wewnętrzny, a drugi na zewnątrz.

Dwie linie są równoległe, jeśli tylko wtedy, gdy dwa kąty dowolnej pary odpowiednich kąty jakiegokolwiek poprzecznego są zgodne. Twierdzenie o geometrii bezwzględnej (stąd poprawne zarówno w geometrii hiperbolicznej, jak i euklidesowej), dowodzi, że jeśli kąty pary odpowiadających kątów przejściowych są zgodne, to dwie linie są równoległe (nieograniczające) . Wynika z równoległego postulatu Euclida, że ​​jeśli dwie linie są równoległe, wówczas kąty pary odpowiadających kątów poprzecznego są zgodne. Jeśli kąty jednej pary odpowiednich stron są zgodne, wówczas kąty każdej z pozostałych par są również zgodne. Na różnych obrazach z równoległymi wierszami na tej stronie odpowiednie pary kąta to: α = α 1 , β = β _{1 , γ = γ 1 i δ = δ 1 .}

Kolejne kąty wnętrz

Jedna para kolejnych kątów. W przypadku linii równoległych sumują się do dwóch kątów prostych.

Kolejne kąty wnętrza to dwie pary kąty, które:

• Mają wyraźne punkty wierzchołkowe,

• Leżeć po tej samej stronie poprzecznej i

• Oba są wewnętrzne.

Dwie linie są równoległe, jeśli tylko wtedy, gdy dwa kąty dowolnej pary kolejnych kątów wewnętrznych jakiegokolwiek poprzecznego są uzupełniające (suma do 180 °). Twierdzenie o geometrii absolutnej (stąd ważne zarówno w geometrii hiperbolicznej, jak i euklidesowej), dowodzi, że jeśli kąty pary kolejnych kąty wnętrza są uzupełniające, to dwie linie są równoległe (nie przetrwanie). Z równoległego postulatu Euclida wynika, że ​​jeśli dwie linie są równoległe, wówczas kąt parki kolejnych kątów wnętrza poprzecznego są uzupełniające. Jeśli jedna para kolejnych kątów wewnętrznych jest uzupełniająca, druga para jest również uzupełniająca.

Jeśli trzy linie w pozycji ogólnej tworzą trójkąt, a następnie są przecięte przez poprzecznie, długości sześciu wynikowych segmentów spełniają twierdzenie Menelausa .

Sformułowanie Euclida równoległego postulatu można określić pod względem poprzecznym. W szczególności, jeśli kąty wnętrza po tej samej stronie poprzecznej są mniejsze niż dwa kątowe kątki, linie muszą przecinać. W rzeczywistości Euclid używa tego samego wyrażenia w języku greckim, który jest zwykle tłumaczony jako poprzeczny.

Twierdzenie 27 Euclida stwierdza, że ​​jeśli poprzeczny przecina dwie linie, tak że alternatywne kąty wewnętrzne są zgodne, linie są równoległe. Euclid dowodzi tego ze sprzeczności: jeśli linie nie są równoległe, muszą one przecinać się i powstaje trójkąt. Następnie jeden z alternatywnych kątów jest kąt zewnętrzny równy drugiemu kątowi, który jest przeciwnym kątem wnętrza w trójkącie. Jest to sprzeczne z propozycją 16, która stwierdza, że ​​zewnętrzny kąt trójkąta jest zawsze większy niż przeciwne kąty wewnętrzne.

Propozycja 28 Euclida rozszerza ten wynik na dwa sposoby. Po pierwsze, jeśli poprzecznie przecina dwie linie, tak aby odpowiednie kąty były zgodne, linie są równoległe. Po drugie, jeśli poprzecznie przecina dwie linie, tak że kąty wewnętrzne po tej samej stronie poprzecznej były uzupełniające, linie są równoległe. Wynikają one z poprzedniej propozycji, stosując fakt, że przeciwne kąty linii przecinających się są równe i że sąsiednie kąty na linii są uzupełniające. Jak zauważył Proclus, Euclid podaje tylko trzy z możliwych sześciu takich kryteriów dla linii równoległej.

Propozycja 29 Euclida jest odwrotnością do dwóch poprzednich. Po pierwsze, jeśli poprzecznie przecina dwie równoległe linie, wówczas alternatywne kąty wnętrza są zgodne. Jeśli nie, to jedno jest większe od drugiego, co implikuje jego suplement jest mniejszy niż suplement drugiego kąta. Oznacza to, że po tej samej stronie poprzecznej istnieją kąty wewnętrzne, które są mniejsze niż dwa kątowe proste, sprzeczne z piątym postulatem. Propozycja trwa, stwierdzając, że na poprzecznie dwóch równoległych liniach odpowiednie kąty są przystające, a kąty wewnętrzne po tej samej stronie są równe dwoma kątami prawej. Oświadczenia te podążają w taki sam sposób, jak prop. 28 następuje z Prop. 27.

Dowód Euclida zasadniczo wykorzystuje piąty postulat, jednak nowoczesne traktowanie geometrii PlayFair's Axiom . Aby udowodnić propozycję 29 Zakładając aksjomat PlayFair, pozwól przejściu przekroczyć dwie równoległe linie i przypuść, że alternatywne kąty wnętrza nie są równe. Narysuj trzecią linię przez punkt, w którym poprzecznie przecina pierwszą linię, ale z kątem równym kątowi, który wykonuje poprzecznie z drugą linią. To wytwarza dwie różne linie przez punkt, obie równolegle do innej linii, sprzeczne z aksjomatem.

W przestrzeniach o wyższych wymiarach linia, która przecina każdy z zestawu linii w różnych punktach, jest poprzecznie tego zestawu linii. W przeciwieństwie do dwuwymiarowej (płaskiej) przypadku, nie gwarantuje się, że istnieją dla zestawów więcej niż dwóch linii. W 3-przestrzeni euklidesowej A regulus jest zestawem linii skośnych , r, tak że przez każdy punkt na każdym wierszu r przechodzi poprzecznie r i przez r i przez r. Każdy punkt przejściowy R przechodzi linię R. Zestaw poprzecznych regulusa R jest również regulus, zwany przeciwnym regulusem, R °. W tej przestrzeni trzy wzajemnie skośne linie można zawsze rozszerzyć na regulus.

• Punkt
• Wierzchołek

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).