Thuis ❯ Alle Definities ❯ Geometrie ❯ Transversaal Definitie
Transversaal Definitie
Een transversale is een lijn die door twee lijnen in hetzelfde -vlak gaat op twee verschillende punten . Transversals spelen een rol bij het vaststellen of twee andere lijnen in het euclidische vlak parallel zijn. De kruispunten van een transversaal met twee lijnen maken verschillende soorten hoekenparen: opeenvolgende interieurhoeken , Correspondende hoeken en alternatieve hoeken . Als gevolg van Euclid's parallel postulaat , als de twee lijnen parallel zijn, zijn opeenvolgende binnenhoeken aanvullende , overeenkomstige hoeken zijn gelijk en zijn alternatieve hoeken gelijk. Het onderstaande diagram illustreert een transversaal.
Hoeken van een transversaal
Een transversaal produceert 8 hoeken, zoals weergegeven in de bovenstaande grafiek:
4 Met elk van de twee regels, namelijk α, β, γ en δ en vervolgens α 1 , β 1 , γ 1 en δ 1 < /sub>; En
Waarvan 4 interieur zijn (tussen de twee regels), namelijk α, β, γ 1 en δ 1 en 4 waarvan exterieur, namelijk α 1 , β 1 , γ en δ.
Een transversaal die twee parallelle lijnen snijdt bij rechterhoeken wordt een loodrechte transversaal genoemd. In dit geval staan alle 8 hoeken rechte hoeken. Wanneer de lijnen parallel zijn, een case die vaak wordt overwogen, produceert een transversaal verschillende congruent en verschillende aanvullende hoeken . Sommige van deze hoekparen hebben specifieke namen en worden hieronder besproken:
Alternatieve hoeken
Een paar alternatieve hoeken. Met parallelle lijnen zijn ze congruent.
Alternatieve hoeken zijn de vier paar hoeken die:
Have distinct vertex points,
Liggen aan tegenovergestelde zijden van de transversal en
Beide hoeken zijn interieur of beide hoeken zijn buitenkant.
Als de twee hoeken van één paar congruent zijn, zijn de hoeken van elk van de andere paren ook congruent. Een stelling van absolute geometrie (dus geldig in zowel hyperbolische als euclidische geometrie ), bewijst dat als de hoeken van een paar alternatieve hoeken van een transversaal congruent zijn, dan de twee lijnen dan de twee lijnen, dan zijn parallel (niet-instanties). Uit Euclid's parallel postulaat dat als de twee lijnen parallel zijn, de hoeken van een paar alternatieve hoeken van een transversaal congruent zijn.
Corresponderende hoeken
Een paar overeenkomstige hoeken. Met parallelle lijnen zijn ze congruent.
Overeenkomstige hoeken zijn de vier paar hoeken die:
Hebben verschillende hoekpuntpunten,
Liggen aan dezelfde kant van de transversal en
De ene hoek is interieur en de andere is buitenkant.
Twee lijnen zijn parallel als en alleen als de twee hoeken van een paar overeenkomstige hoeken van een transversaal congruent zijn. Een stelling van Absolute Geometry (dus geldig in zowel hyperbolische als Euclidische geometrie), bewijst dat als de hoeken van een paar overeenkomstige hoeken van een transversaal congruent zijn, de twee lijnen parallel zijn (niet-instorting) . Uit Euclid's parallel postulaat dat als de twee lijnen parallel zijn, de hoeken van een paar overeenkomstige hoeken van een transversaal congruent zijn. Als de hoeken van een paar overeenkomstige hoeken congruent zijn, zijn de hoeken van elk van de andere paren ook congruent. In de verschillende afbeeldingen met parallelle lijnen op deze pagina zijn overeenkomstige hoekparen: α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 en δ = δ 1 .
Opeenvolgende binnenhoeken
Een paar opeenvolgende hoeken. Met parallelle lijnen kloppen ze tot twee rechte hoeken.
Opeenvolgende binnenhoeken zijn de twee paren hoeken die:
Hebben verschillende hoekpuntpunten,
Liggen aan dezelfde kant van de transversal en
Zijn beide interieur.
Twee lijnen zijn parallel als en alleen als de twee hoeken van een paar opeenvolgende binnenhoeken van een transversaal aanvullend zijn (som tot 180 °). Een stelling van de absolute geometrie (dus geldig in zowel hyperbolische als Euclidische geometrie), bewijst dat als de hoeken van een paar opeenvolgende binnenhoeken aanvullend zijn, de twee lijnen parallel zijn (niet-instorting). Uit Euclid's parallel postulaat dat als de twee lijnen parallel zijn, de hoeken van een paar opeenvolgende binnenhoeken van een transversaal aanvullend zijn. Als een paar opeenvolgende binnenhoeken aanvullend is, is het andere paar ook aanvullend.
Andere eigenschappen
Als drie lijnen in algemene positie een driehoek vormen, worden vervolgens gesneden door een transversaal, de lengtes van de zes resulterende segmenten voldoen aan
Gerelateerde stellingen
Euclid's formulering van het parallelle postulaat kan worden vermeld in termen van een transversale. In het bijzonder, als de binnenhoeken aan dezelfde zijde van de transversaal minder dan twee rechte hoeken zijn, moeten lijnen kruisen. Euclid gebruikt in feite dezelfde zin in het Grieks die meestal wordt vertaald als transversaal.
Euclid's voorstel 27 stelt dat als een transversaal twee lijnen snijdt zodat alternatieve binnenhoeken congruent zijn, de lijnen parallel zijn. Euclid bewijst dit door tegenspraak: als de lijnen niet parallel zijn, moeten ze kruisen en wordt een driehoek gevormd. Dan is een van de alternatieve hoeken een buitenhoek gelijk aan de andere hoek die een tegenovergestelde binnenhoek in de driehoek is. Dit is in tegenspraak met propositie 16 die stelt dat een buitenhoek van een driehoek altijd groter is dan de tegenovergestelde binnenhoeken.
Euclid's voorstel 28 breidt dit resultaat op twee manieren uit. Ten eerste, als een transversaal twee lijnen snijdt zodat overeenkomstige hoeken congruent zijn, zijn de lijnen parallel. Ten tweede, als een transversaal twee lijnen snijdt zodat binnenhoeken aan dezelfde zijde van de transversaal aanvullend zijn, zijn de lijnen parallel. Deze volgen uit de vorige propositie door het feit toe te passen dat tegengestelde hoeken van kruisende lijnen gelijk zijn en dat aangrenzende hoeken op een lijn aanvullend zijn. Zoals opgemerkt door ProClus, geeft Euclid slechts drie van een mogelijke zes van dergelijke criteria voor parallelle lijnen.
Euclid's Proposition 29 is een omgekeerde van de vorige twee. Ten eerste, als een transversaal twee parallelle lijnen snijdt, zijn de alternatieve interieurhoeken congruent. Zo niet, dan is de ene groter dan de andere, wat betekent dat het supplement minder is dan het supplement van de andere hoek. Dit houdt in dat er binnenhoeken zijn aan dezelfde kant van de transversale die minder dan twee rechte hoeken zijn, die het vijfde postulaat tegenspreken. De propositie gaat door door te stellen dat bij een transversaal van twee parallelle lijnen, overeenkomstige hoeken congruent zijn en de binnenhoeken aan dezelfde zijde gelijk zijn aan twee rechte hoeken. Deze verklaringen volgen op dezelfde manier dat Prop. 28 volgt uit Prop. 27.
Het bewijs van Euclid maakt essentieel gebruik van het vijfde postulaat, maar moderne behandelingen van geometrie gebruiken Playfair's Axiom in plaats daarvan. Om Proposition 29 te bewijzen dat het axioma van Playfair uitgaande, laat een transversaal twee parallelle lijnen kruisen en veronderstellen dat de alternatieve binnenhoeken niet gelijk zijn. Trek een derde regel door het punt waar de transversal de eerste lijn overschrijdt, maar met een hoek gelijk aan de hoek maakt de transversal met de tweede regel. Dit produceert twee verschillende lijnen door een punt, beide parallel aan een andere lijn, die het axioma tegenspreken.
Hogere dimensies
In hogere dimensionale ruimtes is een lijn die elk van een set lijnen in verschillende punten snijdt een transversale van die set lijnen. In tegenstelling tot het tweedimensionale (vlak) geval, bestaan transversals niet gegarandeerd voor sets van meer dan twee lijnen. In Euclidische 3-ruimte is een regulus een set van skew lijnen , r, zodat via elk punt op elke lijn van r een transversaal van R en door Elk punt van een transversaal van R daar passeert een lijn van R. De set transversals van een regulus r is ook een regulus, de tegenovergestelde regulus, r ° genoemd. In deze ruimte kunnen drie wederzijds scheef lijnen altijd worden uitgebreid tot een regulus.
Bronnen
“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).