Tverrgående Definisjon

En tverrgående produserer 8 vinkler, som vist i grafen ovenfor:

• 4 med hver av de to linjene, nemlig α, β, γ og δ og deretter α _{1 , β 1 , γ 1 og δ 1 < /sub>; og}

• Hvorav 4 er interiør (mellom de to linjene), nemlig α, β, γ _{1 og δ 1 og 4 hvorav det er ytre, nemlig α 1 , β 1 , γ og δ ;.}

En tverrgående som kutter to parallelle linjer ved rette vinkler kalles en vinkelrett transversal. I dette tilfellet er alle 8 vinklene rett vinkler. Når linjene er parallelle, et tilfelle som ofte blir vurdert, produserer en tverrgående flere kongruent og flere tilleggsvinkler . Noen av disse vinkelparene har spesifikke navn og blir diskutert nedenfor:

Alternative vinkler

Ett par alternative vinkler. Med parallelle linjer er de kongruente.

Alternative vinkler er de fire vinkelparene som:

• Have distinct vertex points,

• Ligge på motsatte sider av tverrgående og

• Begge vinklene er indre eller begge vinkler er ytre.

Hvis de to vinklene til det ene paret er kongruente, er også vinklene til hvert av de andre parene kongruente. Et teorem av absolutt geometri (derav gyldig i både hyperbolsk og euklidisk geometri ), beviser at hvis vinklene til et par alternative vinkler på en transverser er kongruente, er de to linjene til et par alternative vinkler på en transversal kongruente er parallelle (ikke-interesserende). Det følger av Euclids parallelle postulat at hvis de to linjene er parallelle, så er vinklene til et par alternative vinkler på en transversal kongruente.

Tilsvarende vinkler

Ett par tilsvarende vinkler. Med parallelle linjer er de kongruente.

Tilsvarende vinkler er de fire vinkelparene som:

• Har forskjellige toppunktpoeng,

• Ligge på samme side av tverrgående og

• Den ene vinkelen er interiør og den andre er utvendig.

To linjer er parallelle hvis og bare hvis de to vinklene til et hvilket som helst par tilsvarende vinkler i en hvilken som helst tverrgående er kongruente. Et teorem av absolutt geometri (derav gyldig i både hyperbolsk og euklidisk geometri), beviser at hvis vinklene til et par tilsvarende vinkler på en tverrgående er kongruente, er de to linjene parallelt (ikke-interesserende) . Det følger av Euclids parallelle postulat at hvis de to linjene er parallelle, så er vinklene til et par tilsvarende vinkler på en transversal kongruente. Hvis vinklene til det ene par tilsvarende vinkler er kongruente, er også vinklene til hvert av de andre parene kongruente. I de forskjellige bildene med parallelle linjer på denne siden er tilsvarende vinkelpar: α = α _{1 , β = β 1 , γ = γ 1 og δ = δ 1 .}

Påfølgende indre vinkler

Ett par vinkler på rad. Med parallelle linjer legger de opp til to rette vinkler.

Påfølgende indre vinkler er de to vinkelparene som:

• Har forskjellige toppunktpoeng,

• Ligge på samme side av tverrgående og

• Er begge interiør.

To linjer er parallelle hvis og bare hvis de to vinklene til et par par påfølgende innvendige vinkler av en hvilken som helst tverrgående er supplerende (sum til 180 °). Et teorem om absolutt geometri (derav gyldig i både hyperbolsk og euklidisk geometri), beviser at hvis vinklene til et par påfølgende indre vinkler er supplerende, så er de to linjene parallelle (ikke-interesserende). Det følger av Euclids parallelle postulat at hvis de to linjene er parallelle, så er vinklene til et par påfølgende innvendige vinkler til en transverseral supplerende. Hvis det ene par påfølgende indre vinkler er supplerende, er det andre paret også supplerende.

Hvis tre linjer i generell posisjon danner en trekant, kuttes deretter av en tverrgående, tilfredsstiller lengdene på de seks resulterende segmentene Menelaus teorem .

Euclids formulering av det parallelle postulatet kan angis i form av en tverrgående. Spesifikt, hvis de indre vinklene på samme side av transversalen er mindre enn to rette vinkler, må linjer krysse. Faktisk bruker Euclid den samme frasen på gresk som vanligvis oversettes som tverrgående.

Euclids proposisjon 27 sier at hvis en tverrgående krysser to linjer slik at alternative indre vinkler er kongruente, så er linjene parallelle. Euclid beviser dette ved motsetning: Hvis linjene ikke er parallelle, må de krysse og en trekant dannes. Da er en av de alternative vinklene en utvendig vinkel lik den andre vinkelen som er en motsatt indre vinkel i trekanten. Dette er i strid med forslag 16 som sier at en utvendig vinkel på en trekant alltid er større enn de motsatte indre vinkler.

Euclids proposisjon 28 utvider dette resultatet på to måter. For det første, hvis en tverrgående krysser to linjer slik at tilsvarende vinkler er kongruente, er linjene parallelle. For det andre, hvis en tverrgående krysser to linjer slik at indre vinkler på samme side av tverrgående er supplerende, er linjene parallelle. Disse følger av det forrige forslaget ved å bruke det faktum at motsatte vinkler på kryssende linjer er like og at tilstøtende vinkler på en linje er supplerende. Som bemerket av Proclus, gir Euclid bare tre av en mulige seks slike kriterier for parallelle linjer.

Euclids forslag 29 er en samtale til de to foregående. For det første, hvis en tverrgående krysser to parallelle linjer, er de alternative indre vinklene kongruente. Hvis ikke, er den ene større enn den andre, noe som innebærer at tillegget er mindre enn tilskuddet av den andre vinkelen. Dette innebærer at det er indre vinkler på samme side av tverrgående som er mindre enn to rette vinkler, og motsier det femte postulatet. Forslaget fortsetter med å oppgi at tilsvarende vinkler er kongruente på en tverrgående av to parallelle linjer, og de indre vinklene på samme side er lik to rette vinkler. Disse uttalelsene følger på samme måte som Prop. 28 følger fra Prop. 27.

Euclids bevis gjør essensiell bruk av det femte postulatet, men moderne behandlinger av geometri -bruk Playfairs Axiom i stedet. For å bevise forslag 29 forutsatt Playfairs aksiom, la en tverrgående krysse to parallelle linjer og anta at de alternative indre vinklene ikke er like. Tegn en tredje linje gjennom punktet der transversalen krysser den første linjen, men med en vinkel lik vinkelen gjør det tverrgående med den andre linjen. Dette produserer to forskjellige linjer gjennom et punkt, begge parallelle med en annen linje, og motsier aksiomet.

I høyere dimensjonale rom er en linje som krysser hvert av et sett med linjer i distinkte punkter en tverrgående av det settet med linjer. I motsetning til det todimensjonale (planet) tilfellet, er ikke tverrgående garantert å eksistere for sett på mer enn to linjer. I euklidisk 3-rom, er en regulus et sett med skjevlinjer , r, slik at gjennom hvert punkt på hver linje av r, passerer det en tverrgående r og gjennom Hvert punkt i en tverrgående R der passerer en linje med R. Settet med transversjoner av en regulus r er også en regulus, kalt den motsatte regulus, R °. På dette rommet kan tre gjensidig skjevlinjer alltid utvides til en regulus.

• Punkt
• Toppunkt

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).