বাড়ি ❯ সব সংজ্ঞা ❯ জ্যামিতি ❯ ট্রান্সভার্সাল সংজ্ঞা
ট্রান্সভার্সাল সংজ্ঞা
ট্রান্সভার্সাল হ'ল একটি <স্প্যান> লাইন যা একই <স্প্যান> বিমান এ দুটি স্বতন্ত্র <স্প্যান> পয়েন্ট এ দুটি লাইনের মধ্য দিয়ে যায়। ট্রান্সভার্সালগুলি <স্প্যান> ইউক্লিডিয়ান প্লেন <স্প্যান> সমান্তরাল এর মধ্যে আরও দুটি লাইন কিনা তা প্রতিষ্ঠিত করতে ভূমিকা রাখে। দুটি লাইনের সাথে ট্রান্সভার্সালের ছেদগুলি বিভিন্ন ধরণের কোণ তৈরি করে: একটানা <স্প্যান> অভ্যন্তরীণ কোণ , <স্প্যান> সংশ্লিষ্ট কোণগুলি এবং <স্প্যান> বিকল্প কোণ । ইউক্লিডের <স্প্যান> সমান্তরাল পোস্টুলেট এর ফলস্বরূপ, যদি দুটি লাইন সমান্তরাল হয় তবে টানা অভ্যন্তরীণ কোণগুলি <স্প্যান> পরিপূরক , সংশ্লিষ্ট কোণগুলি সমান এবং বিকল্প কোণগুলি সমান। নীচের চিত্রটি একটি ট্রান্সভার্সাল চিত্রিত করে।
একটি ট্রান্সভার্সাল কোণ
একটি ট্রান্সভার্সাল 8 টি কোণ উত্পাদন করে, যেমন উপরের গ্রাফে দেখানো হয়েছে:
4 দুটি লাইনের প্রতিটি সহ, যথা α ;, β ;, γ এবং δ পরে /সাব>; এবং
যার মধ্যে 4 টি অভ্যন্তর (দুটি লাইনের মধ্যে), যথা α ;, β যার মধ্যে বাহ্যিক, যথা α <সাব> 1 , β <সাব> 1 , γ এবং δ।
একটি ট্রান্সভার্সাল যা <স্প্যান> ডান কোণ এ দুটি সমান্তরাল রেখা কেটে দেয় তাকে <স্প্যান> লম্ব ট্রান্সভার্সাল বলা হয়। এই ক্ষেত্রে, সমস্ত 8 টি কোণ সঠিক কোণ। যখন লাইনগুলি সমান্তরাল হয়, এমন একটি কেস যা প্রায়শই বিবেচনা করা হয়, একটি ট্রান্সভার্সাল বেশ কয়েকটি <স্প্যান> সম্মিলিত এবং বেশ কয়েকটি <স্প্যান> পরিপূরক কোণ উত্পাদন করে। এই কোণ জোড়গুলির কয়েকটি নির্দিষ্ট নাম রয়েছে এবং নীচে আলোচনা করা হয়েছে:
বিকল্প কোণ
এক জোড়া বিকল্প কোণ। সমান্তরাল লাইন সহ, তারা একত্রিত হয়।
বিকল্প কোণগুলি হ'ল চারটি কোণ যা:
Have distinct vertex points,
ট্রান্সভার্সাল এবং বিপরীত দিকে শুয়ে আছে
উভয় কোণ অভ্যন্তরীণ বা উভয় কোণ বহির্মুখী।
যদি এক জুটির দুটি কোণ একত্রিত হয় তবে অন্য জোড়গুলির প্রত্যেকটির কোণগুলিও একত্রিত। পরম জ্যামিতির একটি উপপাদ্য (সুতরাং <স্প্যান> হাইপারবোলিক এবং <স্প্যান> ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতি ) উভয় ক্ষেত্রেই বৈধ, প্রমাণ করে যে যদি ট্রান্সভার্সালের বিকল্প কোণগুলির একটি জোড়ের কোণগুলি দুটি লাইন থাকে তবে দুটি লাইন যদি একত্রিত হয় সমান্তরাল (নন-ইনটারেস্টিং)। এটি ইউক্লিডের সমান্তরাল পোস্টুলেট থেকে অনুসরণ করে যে দুটি লাইন যদি সমান্তরাল হয় তবে ট্রান্সভার্সালের বিকল্প কোণগুলির একটি জুটির কোণগুলি একত্রিত হয়।
সংশ্লিষ্ট কোণ
সংশ্লিষ্ট কোণগুলির এক জোড়া। সমান্তরাল লাইন সহ, তারা একত্রিত হয়।
সংশ্লিষ্ট কোণগুলি হ'ল চারটি কোণ যা:
স্বতন্ত্র ভার্টেক্স পয়েন্ট আছে,
ট্রান্সভার্সাল এবং একই দিকে শুয়ে থাকুন
একটি কোণ অভ্যন্তর এবং অন্যটি বাহ্যিক।
দুটি লাইন সমান্তরাল হয় যদি এবং কেবলমাত্র যদি কোনও ট্রান্সভার্সালের সংশ্লিষ্ট কোণগুলির কোনও জুটির দুটি কোণ একত্রিত হয়। <স্প্যান> পরম জ্যামিতি এর একটি উপপাদ্য (সুতরাং হাইপারবোলিক এবং ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতি উভয় ক্ষেত্রেই বৈধ) প্রমাণ করে যে যদি ট্রান্সভার্সালের সংশ্লিষ্ট কোণগুলির একটি জুটির কোণগুলি একত্রিত হয় তবে দুটি লাইন সমান্তরাল (অ-ইনটারেক্টিং) । এটি ইউক্লিডের সমান্তরাল পোস্টুলেট থেকে অনুসরণ করে যে দুটি লাইন যদি সমান্তরাল হয় তবে ট্রান্সভার্সালের সাথে সম্পর্কিত কোণগুলির একটি জুটির কোণগুলি একত্রিত হয়। যদি সংশ্লিষ্ট কোণগুলির এক জোড়া কোণগুলি একত্রিত হয় তবে অন্য জোড়গুলির প্রত্যেকটির কোণগুলিও একত্রিত হয়। এই পৃষ্ঠায় সমান্তরাল লাইন সহ বিভিন্ন চিত্রগুলিতে, সম্পর্কিত কোণ জোড়গুলি হ'ল: α = α <সাব> 1 , β = β <সাব> 1 , γ = γ <সাব> 1 এবং δ = δ <সাব> 1 ।
ধারাবাহিক অভ্যন্তর কোণ
একটানা কোণ এক জোড়া। সমান্তরাল রেখাগুলির সাথে, তারা দুটি ডান কোণ পর্যন্ত যুক্ত করে।
ধারাবাহিক অভ্যন্তর কোণগুলি দুটি জোড়া কোণ যা:
স্বতন্ত্র ভার্টেক্স পয়েন্ট আছে,
ট্রান্সভার্সাল এবং একই দিকে শুয়ে থাকুন
উভয় অভ্যন্তর হয়।
দুটি লাইন সমান্তরাল হয় যদি এবং কেবলমাত্র যদি কোনও ট্রান্সভার্সালের ধারাবাহিক অভ্যন্তরীণ কোণগুলির দুটি কোণ পরিপূরক হয় (যোগফল থেকে 180 °)। পরম জ্যামিতির একটি উপপাদ্য (সুতরাং হাইপারবোলিক এবং ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতি উভয় ক্ষেত্রেই বৈধ) প্রমাণ করে যে যদি একটানা অভ্যন্তরীণ কোণগুলির একটি জুটির কোণ পরিপূরক হয় তবে দুটি লাইন সমান্তরাল (অ-আন্ডারসেক্টিং) হয়। এটি ইউক্লিডের সমান্তরাল পোস্টুলেট থেকে অনুসরণ করে যে দুটি লাইন যদি সমান্তরাল হয় তবে ট্রান্সভার্সালের একটানা অভ্যন্তর কোণগুলির একটি জুটির কোণগুলি পরিপূরক হয়। যদি এক জোড়া একটানা অভ্যন্তর কোণ পরিপূরক হয় তবে অন্য জুটিও পরিপূরক।
অন্যান্য সম্পত্তি
যদি সাধারণ অবস্থানে তিনটি লাইন একটি ত্রিভুজ গঠন করে তবে ট্রান্সভার্সাল দ্বারা কাটা হয়, ছয়টি ফলাফলের অংশগুলির দৈর্ঘ্য <স্প্যান> মেনেলাউসের উপপাদ্য কে সন্তুষ্ট করে।
সম্পর্কিত উপপাদ্য
সমান্তরাল পোস্টুলেট ইউক্লিডের সূত্রটি ট্রান্সভার্সালের ক্ষেত্রে বর্ণিত হতে পারে। বিশেষত, যদি ট্রান্সভার্সালের একই পাশের অভ্যন্তর কোণগুলি দুটি ডান কোণের চেয়ে কম হয় তবে লাইনগুলি অবশ্যই ছেদ করতে হবে। প্রকৃতপক্ষে, ইউক্লিড গ্রীক ভাষায় একই বাক্যাংশ ব্যবহার করে যা সাধারণত ট্রান্সভার্সাল হিসাবে অনুবাদ করা হয়।
ইউক্লিডের প্রস্তাব 27 বলেছে যে যদি কোনও ট্রান্সভার্সাল দুটি লাইন ছেদ করে যাতে বিকল্প অভ্যন্তর কোণগুলি একত্রিত হয় তবে লাইনগুলি সমান্তরাল হয়। ইউক্লিড দ্বন্দ্ব দ্বারা এটি প্রমাণ করে: লাইনগুলি যদি সমান্তরাল না হয় তবে তাদের অবশ্যই ছেদ করতে হবে এবং একটি ত্রিভুজ গঠিত হবে। তারপরে বিকল্প কোণগুলির মধ্যে একটি হ'ল অন্য কোণের সমান একটি বাহ্যিক কোণ যা ত্রিভুজের বিপরীত অভ্যন্তর কোণ। এটি প্রস্তাব 16 এর বিরোধিতা করে যা বলে যে একটি ত্রিভুজের একটি বহির্মুখী কোণ সর্বদা বিপরীত অভ্যন্তর কোণগুলির চেয়ে বেশি থাকে।
ইউক্লিডের প্রস্তাব 28 এই ফলাফলটি দুটি উপায়ে প্রসারিত করে। প্রথমত, যদি কোনও ট্রান্সভার্সাল দুটি লাইন ছেদ করে যাতে সংশ্লিষ্ট কোণগুলি একত্রিত হয়, তবে লাইনগুলি সমান্তরাল হয়। দ্বিতীয়ত, যদি কোনও ট্রান্সভার্সাল দুটি লাইন ছেদ করে যাতে ট্রান্সভার্সালের একই পাশের অভ্যন্তর কোণগুলি পরিপূরক হয়, তবে লাইনগুলি সমান্তরাল হয়। এগুলি পূর্ববর্তী প্রস্তাবগুলি থেকে অনুসরণ করে এই সত্যটি প্রয়োগ করে যে ছেদযুক্ত রেখার বিপরীত কোণগুলি সমান এবং একটি লাইনে সংলগ্ন কোণগুলি পরিপূরক। প্রোক্লাসের দ্বারা উল্লিখিত হিসাবে, ইউক্লিড সমান্তরাল লাইনের জন্য সম্ভাব্য ছয়টি মানদণ্ডের মধ্যে কেবল তিনটিই দেয়।
ইউক্লিডের প্রস্তাব 29 পূর্ববর্তী দুটিটির কথোপকথন। প্রথমত, যদি কোনও ট্রান্সভার্সাল দুটি সমান্তরাল রেখা ছেদ করে, তবে বিকল্প অভ্যন্তর কোণগুলি একত্রিত হয়। যদি তা না হয় তবে একটি অন্যের চেয়ে বড়, যা বোঝায় যে এর পরিপূরকটি অন্য কোণের পরিপূরকের চেয়ে কম। এর দ্বারা বোঝা যায় যে ট্রান্সভার্সালের একই পাশে অভ্যন্তরীণ কোণ রয়েছে যা পঞ্চম পোস্টুলেটের বিরোধিতা করে দুটি ডান কোণগুলির চেয়ে কম। প্রস্তাবটি উল্লেখ করে অব্যাহত রয়েছে যে দুটি সমান্তরাল রেখার ট্রান্সভার্সাল, সংশ্লিষ্ট কোণগুলি একত্রিত হয় এবং একই পাশের অভ্যন্তর কোণগুলি দুটি ডান কোণগুলির সমান। এই বিবৃতিগুলি একইভাবে অনুসরণ করে যেমন প্রোপ। 28 প্রোপ। 27 থেকে অনুসরণ করে।
ইউক্লিডের প্রমাণ পঞ্চম পোস্টুলেটের প্রয়োজনীয় ব্যবহার করে, তবে, জ্যামিতির আধুনিক চিকিত্সা <স্প্যান> প্লেফায়ারের অ্যাক্সিয়ম এর পরিবর্তে। প্লেফায়ারের অক্ষটি ধরে নিয়ে প্রস্তাব 29 প্রমাণ করার জন্য, একটি ট্রান্সভার্সাল দুটি সমান্তরাল রেখাগুলি অতিক্রম করুন এবং অনুমান করুন যে বিকল্প অভ্যন্তর কোণগুলি সমান নয়। ট্রান্সভার্সালটি প্রথম লাইনটি অতিক্রম করে এমন একটি তৃতীয় লাইন আঁকুন, তবে ট্রান্সভার্সালটি দ্বিতীয় লাইনের সাথে তৈরি কোণের সমান একটি কোণ সহ। এটি একটি বিন্দু দিয়ে দুটি পৃথক লাইন তৈরি করে, উভয়ই অন্য লাইনের সমান্তরাল, অক্ষের সাথে বিরোধিতা করে।
উচ্চ মাত্রা
উচ্চতর মাত্রিক স্থানগুলিতে, একটি লাইন যা পৃথক পয়েন্টগুলিতে প্রতিটি লাইনের সেটকে ছেদ করে তা হ'ল সেই লাইনের সেটগুলির একটি ট্রান্সভার্সাল। দ্বি-মাত্রিক (বিমান) কেসের বিপরীতে, ট্রান্সভার্সালগুলি দুটি লাইনের বেশি সেটগুলির জন্য বিদ্যমান থাকার গ্যারান্টিযুক্ত নয়। ইউক্লিডিয়ান 3-স্পেসে, একটি <স্প্যান> রেগুলাস হ'ল <স্প্যান> স্কিউ লাইন , আর এর একটি সেট, যেমন আর এর প্রতিটি লাইনের প্রতিটি পয়েন্টের মাধ্যমে, আর এর একটি ট্রান্সভার্সাল পাস করে এবং এর মধ্য দিয়ে যায় আর এর ট্রান্সভার্সালের প্রতিটি বিন্দু আর এর একটি লাইন পাস করে একটি রেগুলাস আর এর ট্রান্সভার্সালগুলির সেটটিও একটি রেগুলাস, যা বিপরীত রেগুলাস, আর ° নামে পরিচিত ° এই স্পেসে, তিনটি পারস্পরিক স্কিউ লাইন সর্বদা একটি নিয়ামিতে প্রসারিত করা যেতে পারে।
উত্স
“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).