Trasversale Definizione

Una trasversale produce 8 angoli, come mostrato nel grafico sopra:

• 4 con ciascuna delle due linee, vale a dire α, β, γ e δ e poi α ₁ , β ₁ , γ ₁ e δ _{1 < /sub>; E}

• 4 delle quali sono interne (tra le due righe), vale a dire α, β, γ ₁ e δ ₁ e 4 di cui sono esterni, vale a dire α ₁ , β ₁ , γ e δ.

Un trasversale che taglia due linee parallele agli angoli è chiamato trasversale perpendicolare . In questo caso, tutti gli 8 angoli sono angoli giusti. Quando le linee sono parallele, un caso che viene spesso considerato, un trasversale produce diversi congruenti e diversi angoli supplementari . Alcune di queste coppie angolari hanno nomi specifici e sono discusse di seguito:

Angoli alternativi

Una coppia di angoli alternativi. Con linee parallele, sono congruenti.

Gli angoli alternativi sono le quattro coppie di angoli che:

• Avere distinta Vertex punti,

• Giacciono sui lati opposti del trasversale e

• Entrambi gli angoli sono interni o entrambi gli angoli sono esterni.

Se i due angoli di una coppia sono congruenti, anche gli angoli di ciascuna delle altre coppie sono congruenti. Un teorema della geometria assoluta (quindi valida in entrambi i iperbolico e geometria euclidea ), dimostra che se gli angoli di una coppia di angoli alternativi di una trasversione sono congruenti, le due linee sono le due linee sono paralleli (non intersecanti). Segue dal postulato parallelo di Euclide che se le due linee sono parallele, allora sono congruenti gli angoli di una coppia di angoli alternativi di trasversale.

Angoli corrispondenti

Una coppia di angoli corrispondenti. Con linee parallele, sono congruenti.

Gli angoli corrispondenti sono le quattro coppie di angoli che:

• Avere punti di vertice distinti,

• Sdraiarsi sullo stesso lato del trasversale e

• Un angolo è interno e l'altro è esterno.

Due linee sono parallele se e solo se i due angoli di qualsiasi coppia di angoli corrispondenti di qualsiasi trasversale sono congruenti. Un teorema della geometria assoluta (quindi valido sia nella geometria iperbolica che euclidea), dimostra che se gli angoli di una coppia di angoli corrispondenti di un trasversale sono congruenti, le due linee sono parallele (non intersecanti) . Segue dal postulato parallelo di Euclide che se le due linee sono parallele, sono congruenti gli angoli di una coppia di angoli corrispondenti di una trasversale. Se gli angoli di una coppia di angoli corrispondenti sono congruenti, anche gli angoli di ciascuna delle altre coppie sono congruenti. Nelle varie immagini con linee parallele in questa pagina, le coppie angolari corrispondenti sono: α = α ₁ , β = β _{1 , γ = γ 1 e δ = δ 1 .}

Angoli interni consecutivi

Una coppia di angoli consecutivi. Con linee parallele, aggiungono fino a due angoli retti.

Gli angoli interni consecutivi sono le due coppie di angoli che:

• Avere punti di vertice distinti,

• Sdraiarsi sullo stesso lato del trasversale e

• Sono entrambi interni.

Due linee sono parallele se e solo se i due angoli di qualsiasi coppia di angoli interni consecutivi di qualsiasi trasversale sono supplementari (somma a 180 °). Un teorema della geometria assoluta (quindi valida nella geometria iperbolica ed euclidea), dimostra che se gli angoli di una coppia di angoli interni consecutivi sono supplementari, le due linee sono parallele (non intersecanti). Segue dal postulato parallelo di Euclide che se le due linee sono parallele, sono supplementari gli angoli di una coppia di angoli interni consecutivi di una trasversale. Se una coppia di angoli interni consecutivi è supplementare, anche l'altra coppia è supplementare.

Se tre linee in posizione generale formano un triangolo vengono quindi tagliate da un trasversale, le lunghezze dei sei segmenti risultanti soddisfano il teorema di Menelaus .

La formulazione di Euclide del postulato parallelo può essere dichiarata in termini di trasversale. In particolare, se gli angoli interni sullo stesso lato del trasversale sono inferiori a due angoli retti, le linee devono intersecare. In effetti, Euclide usa la stessa frase in greco che di solito viene tradotta come trasversale.

La proposta di Euclide 27 afferma che se una trasversale interseca due righe in modo che gli angoli interni alternativi siano congruenti, le linee sono parallele. Euclide lo dimostra per contraddizione: se le linee non sono parallele, allora devono intersecarsi e si forma un triangolo. Quindi uno degli angoli alternati è un angolo esterno uguale all'altro angolo che è un angolo interno opposto nel triangolo. Ciò contraddice la proposizione 16 che afferma che un angolo esterno di un triangolo è sempre maggiore degli angoli interni opposti.

La proposizione di Euclide 28 estende questo risultato in due modi. Innanzitutto, se una trasversale interseca due righe in modo che gli angoli corrispondenti siano congruenti, le linee sono parallele. In secondo luogo, se una trasversale interseca due linee in modo che gli angoli interni sullo stesso lato della trasversale siano supplementari, le linee sono parallele. Questi seguono dalla proposta precedente applicando il fatto che gli angoli opposti delle linee intersecanti sono uguali e che gli angoli adiacenti su una linea sono supplementari. Come notato da Proclus, Euclid fornisce solo tre dei possibili sei criteri per le linee parallele.

La proposta di Euclide 29 è un contrario ai due precedenti. Innanzitutto, se una trasversale interseca due linee parallele, gli angoli interni alternativi sono congruenti. In caso contrario, uno è maggiore dell'altro, il che implica che il suo integratore è inferiore al supplemento dell'altro angolo. Ciò implica che ci sono angoli interni sullo stesso lato del trasversale che sono meno di due angoli retti, contraddicendo il quinto postulato. La proposta continua affermando che su una trasversale di due linee parallele, gli angoli corrispondenti sono congruenti e gli angoli interni sullo stesso lato sono uguali a due angoli retti. Queste dichiarazioni seguono nello stesso modo in cui Prop. 28 segue dalla Prop. 27.

La prova di Euclid fa invece un uso essenziale del quinto postulato, tuttavia, moderni trattamenti di geometria Playfair's Axiom . Per dimostrare la proposta 29 assumendo l'assioma di Playfair, lascia che una trasversale attraversa due linee parallele e supponga che gli angoli interni alternativi non siano uguali. Disegna una terza linea attraverso il punto in cui la trasversale attraversa la prima linea, ma con un angolo pari all'angolo che la trasversale fa con la seconda linea. Ciò produce due linee diverse attraverso un punto, entrambe parallele a un'altra linea, contraddicendo l'assioma.

In spazi dimensionali più elevati, una linea che interseca ciascuna di una serie di linee in punti distinti è una trasversale di quell'insieme di linee. A differenza del caso bidimensionale (piano), i trasversali non sono garantiti per esistere per serie di più di due linee. In 3-space euclideo, un regulus è un insieme di linee di inclinazione , r, tale che attraverso ogni punto su ciascuna linea di R, passa un trasversale di r e attraverso Ogni punto di una trasversale di R passa una linea di R. L'insieme di trasversali di un regulus R è anche un regulus, chiamato regulus opposto, r °. In questo spazio, tre linee reciprocamente inclinate possono sempre essere estese a un regolaus.

• Punto
• Vertice

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).