Ужо Вызначэнне

Перадача вырабляе 8 кутоў, як паказана на графіцы вышэй:

• 4 з кожнай з двух радкоў, а менавіта α, β, γ і δ а потым α 1 , β 1 , γ 1 і δ 1 < /sub>; і

• 4 з якіх знаходзяцца інтэр'ер (паміж двума радкамі), а менавіта α, β, γ _{1 і δ 1 і 4 з якіх ёсць знешні выгляд, а менавіта α 1 , β 1 , γ і δ}

Перадача, які выразае дзве паралельныя лініі пры правых кутах , называецца A перпендыкулярнай папярочнай. У гэтым выпадку ўсе 8 кутоў - правільны кут. Калі радкі паралельныя, выпадак, які часта разглядаецца, папярочны ўтварае некалькі convervent і некалькі дадатковыя куты . Некаторыя з гэтых кутных пар маюць пэўныя імёны і абмяркоўваюцца ніжэй:

Альтэрнатыўныя куты

Адна пара альтэрнатыўных кутоў. З паралельнымі лініямі яны сумяшчальныя.

Альтэрнатыўныя куты - гэта чатыры пары вуграў, якія:

• Have distinct vertex points,

• Ляжаць на супрацьлеглых баках папярочнага і

• Абодва вуглы ў інтэр'еры або абодва вуглы - знешнія.

Калі два куты адной пары супадаюць, то куты кожнай з іншых пар таксама супадаюць. Тэарэма абсалютнай геаметрыі (адсюль і сапраўдная ў абодвух гіпербалічны і эўклідавая геаметрыя ), даказвае, што калі куты пары альтэрнатыўных кутоў папярочнага перакладу будуць узгодненыя, то два радкі паралельныя (не націскаючы). З паралельнага пастулата Эўкліда вынікае, што калі дзве лініі паралельныя, то куты пары альтэрнатыўных кутоў папярочнага перакрыцця.

Адпаведныя куты

Адна пара адпаведных кутоў. З паралельнымі лініямі яны сумяшчальныя.

Адпаведныя куты - гэта чатыры пары вуграў, якія:

• Маюць розныя вяршыні,

• Ляжаць на адным баку папярочнага і

• Адзін кут - інтэр'ер, а другі - знешні выгляд.

Дзве радкі паралельныя, калі і толькі ў тым выпадку, калі два вуглы любой пары адпаведных кутоў любога папярочнага перакрыцця не адпавядаюць. Тэарэма абсалютнай геаметрыі (адсюль дзейнічае як у гіпербалічнай, так і ў эўклідавай геаметрыі), даказвае, што калі куты адпаведных кутоў папярочнага перакладу адпавядаюць, то дзве радкі паралельныя (не падключаецца) . З паралельнага пастулата Эўкліда вынікае, што калі дзве лініі паралельныя, то куты пары адпаведных кутоў папярочнага. Калі куты аднаго пары адпаведных кутоў супадаюць, то куты кожнай з іншых пар таксама адпавядаюць. У розных малюнках з паралельнымі радкамі на гэтай старонцы адпаведныя вуглавыя пар: α = α _{1 , β = β 1 , γ = γ 1 і δ = δ 1 .}

Пастаянныя куты інтэр'еру

Адна пара паслядоўных кутоў. З паралельнымі лініямі яны дадаюць да двух правых вуглоў.

Пастаянныя куты інтэр'еру - гэта дзве пары вуграў, якія:

• Маюць розныя вяршыні,

• Ляжаць на адным баку папярочнага і

• Абодва інтэр'еры.

Дзве радкі паралельныя, калі і толькі ў тым выпадку, калі два вуглы любой пары паслядоўных кутоў інтэр'еру любога папярочнага перакрыцця з'яўляюцца дадатковымі (сума да 180 °). Тэарэма абсалютнай геаметрыі (адсюль дзейнічае як у гіпербалічнай, так і ў эўклідавай геаметрыі), даказвае, што калі куты пары паслядоўных кутоў інтэр'еру дадатковыя, то дзве радкі паралельныя (не ўвасабляючы). З паралельнага пастулата Эўкліда вынікае, што калі дзве лініі паралельныя, то куты пары паслядоўных кутоў інтэр'еру папярочнага перакрыцця з'яўляюцца дадатковымі. Калі адна пара паслядоўных кутоў інтэр'еру дадатковая, іншая пара таксама дадатковая.

Калі тры радкі ў агульным становішчы ўтвараюць трохкутнік, то разразаюцца папярочным, даўжыня шасці атрыманых сегментаў задавальняе тэарэма Менелауса .

Рэцэптура Euclid паралельнага пастулата можа быць заяўлена з пункту гледжання папярочнага. У прыватнасці, калі куты інтэр'еру на той жа баку папярочнага перакрыцця маюць менш за два правыя куты, то лініі павінны перасякацца. На самай справе Эўклід выкарыстоўвае тую ж фразу ў грэчаскай мове, якая звычайна перакладаецца як папярочны.

Прапанова Эўкліда 27 абвяшчае, што калі папярочны перасякае дзве лініі, так што альтэрнатыўныя куты інтэр'еру адпавядаюць, то лініі паралельныя. Эўклід даказвае гэта супярэчнасцю: калі лініі не паралельныя, яны павінны перасякацца і ўтвараецца трохкутнік. Затым адным з альтэрнатыўных кутоў з'яўляецца знешні кут, роўны іншага кута, які з'яўляецца процілеглым кута інтэр'еру ў трохкутніку. Гэта супярэчыць меркаванню 16, у якім гаворыцца, што знешні кут трохкутніка заўсёды большы, чым супрацьлеглыя куты інтэр'еру.

Прапанова Эўкліда 28 пашырае гэты вынік двума спосабамі. Па -першае, калі папярочны перасякае дзве лініі, так што адпаведныя куты супадаюць, то лініі паралельныя. Па -другое, калі папярочны перасякае дзве лініі, так што куты інтэр'еру на той жа баку папярочнага перакрыцця з'яўляюцца дадатковымі, то лініі паралельныя. З гэтага вынікае з папярэдняга прапановы, ужываючы той факт, што супрацьлеглыя куты перасякальных ліній роўныя і што суседнія куты на лініі дадатковыя. Як адзначае Пракус, Эўклід дае толькі тры магчымыя шэсць такіх крытэрыяў для паралельных ліній.

Прапанова Эўкліда 29 з'яўляецца зваротам да папярэдніх двух. Па -першае, калі папярочны перасякае дзве паралельныя лініі, то альтэрнатыўныя куты інтэр'еру супадаюць. Калі няма, то адзін большы за другі, што азначае, што яго дадатак менш, чым дадатак іншага кута. Гэта азначае, што на адным баку папярочнага руху ёсць унутраныя куты, якія маюць менш за два правыя куты, што супярэчыць пятаму пастулату. Прапанова працягваецца, заяўляючы, што на папярочнай частцы двух паралельных ліній адпаведныя вуглы супадаюць, а куты інтэр'еру з аднаго боку роўныя двум правым вуглом. Гэтыя выказванні вынікаюць гэтак жа, як падпіранне 28 вынікае з падпіскі 27.

Доказ Эўкліда істотна выкарыстоўвае пятую пастулату, аднак, сучасныя метады лячэння выкарыстання геаметрыі Axiom Playfair . Каб даказаць прапанову 29, мяркуючы, што аксіёма Playfair, хай папярочны перасячэнне двух паралельных ліній і выкажам здагадку, што альтэрнатыўныя куты інтэр'еру не роўныя. Намалюйце трэцюю лінію праз кропку, калі папярочны перасякае першую радок, але з дапамогай кута, роўны куту, які перапоўнены з другой лініяй. Гэта вырабляе дзве розныя лініі праз кропку, як паралельна іншай лініі, супярэчыць аксіёме.

У больш высокіх вымяральных прасторах лінія, якая перасякае кожны набор ліній у розных кропках, - гэта папярочны набор ліній. У адрозненне ад двухмернага (плоскасці) корпуса, папярочныя перасылкі не будуць гарантавана існаваць для набораў больш за дзве радкі. У эўклідавым 3-прасторы, a regulus -гэта набор перакос ліній , r, так што праз кожную кропку на кожнай лініі r праходзіць пераход R і праз праз Кожная кропка папярочнага R. У гэтай прасторы тры ўзаемна перакосныя лініі заўсёды могуць быць распаўсюджаны на рэгуляцыю.

• Пункт
• Вяршыня

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).