Trasnaí Sainmhíniú

Táirgeann trasnaí 8 uillinn, mar a thaispeántar sa ghraf thuas:

• 4 le gach ceann den dá líne, eadhon α ;, β, γ agus δ agus ansin α /sub>; is

• Tá 4 acu taobh istigh (idir an dá líne), eadhon α, β, γ as a bhfuil taobh amuigh, eadhon α agus δ.

Tugtar ingearach ar thrasnú a laghdaíonn dhá líne chomhthreomhara ag dronuillinneacha . Sa chás seo, is dronuillinneacha iad na 8 n -uillinneacha. Nuair a bhíonn na línte comhthreomhar, cás a bhreithnítear go minic, táirgeann trasnaí roinnt comhchuibheas agus roinnt uillinneacha forlíontacha . Tá ainmneacha sonracha ag cuid de na péirí uillinn seo agus pléitear thíos iad:

Uillinneacha malartacha

Péire amháin de uillinneacha malartacha. Le línte comhthreomhara, tá siad iomchuí.

Is iad uillinneacha malartacha na ceithre phéire uillinneacha a:

• Have distinct vertex points,

• Luí ar thaobh os coinne an trasnaí agus

• Tá an dá uillinn taobh istigh nó tá an dá uillinn taobh amuigh.

Má tá an dá uillinn de phéire amháin iomchuí, ansin tá uillinneacha gach ceann de na péirí eile comhchuí freisin. Cruthaíonn teoirim de gheoiméadracht absalóideach (dá bhrí sin bailí sa dá cheann hipearbóileach agus geoiméadracht Euclidean ), má tá uillinneacha péire uillinneacha malartacha trasnaí comhchuí ansin an dá líne atá comhthreomhar (neamh-in-imeall). Leanann sé ó chur chun cinn comhthreomhar Euclid go bhfuil uillinneacha uillinneacha malartacha de thrasnaí ag an dá líne.

Uillinneacha comhfhreagracha

Péire amháin de uillinneacha comhfhreagracha. Le línte comhthreomhara, tá siad iomchuí.

Is iad uillinneacha comhfhreagracha na ceithre phéire uillinneacha a:

• Tá pointí rinn ar leith agat,

• Luí ar an taobh céanna den trasnaí agus

• Tá uillinn amháin taobh istigh agus tá an ceann eile taobh amuigh.

Tá dhá líne chomhthreomhar más rud é, agus mura bhfuil an dá uillinn in aon péire uillinneacha comhfhreagracha d'aon thrasnú comhchuí. Teoirim de geoiméadracht absalóideach (dá bhrí sin bailí i gcéimseata hipearbóileach agus eoclideach araon), cruthaíonn sé go bhfuil an dá líne comhthreomhar (neamh-in-imoibriú) má tá uillinneacha péire uillinneacha comhfhreagracha trasnaí comhchuí ( . Leanann sé ó Euclid a chur in iúl go bhfuil an dá líne chomhthreomhar, ansin go bhfuil uillinneacha péire uillinneacha comhfhreagracha trasnaí. Má tá uillinneacha péire amháin uillinneacha comhfhreagracha comhchuí, ansin tá uillinneacha gach ceann de na péirí eile comhchuí freisin. Sna híomhánna éagsúla le línte comhthreomhara ar an leathanach seo, is iad na péirí uillinn comhfhreagracha ná: α = α = β 1 , γ = γ = δ

Uillinneacha inmheánacha i ndiaidh a chéile

Péire uillinneacha as a chéile. Le línte comhthreomhara, cuireann siad suas le dhá dronuillinn.

Is iad uillinneacha inmheánacha as a chéile an dá phéire uillinneacha a:

• Tá pointí rinn ar leith agat,

• Luí ar an taobh céanna den trasnaí agus

• Tá siad araon taobh istigh.

Tá dhá líne chomhthreomhar más rud é, agus amháin má tá an dá uillinn d'aon phéire uillinneacha inmheánacha as a chéile d'aon trasnú forlíontach (suim go 180 °). Cruthaíonn teoirim de gheoiméadracht absalóideach (dá bhrí sin bailí i gcéimseata hipearbóileach agus Eoiclídeach araon), má tá uillinneacha péire de uillinneacha inmheánacha i ndiaidh a chéile forlíontach ansin go bhfuil an dá líne comhthreomhar (neamh-inmheánach). Leanann sé ó Euclid a chur in iúl go bhfuil an dá líne chomhthreomhar, ansin go bhfuil uillinneacha péire uillinneacha inmheánacha i ndiaidh a chéile forlíontach. Má tá péire amháin de uillinneacha taobh istigh as a chéile forlíontach, tá an péire eile forlíontach freisin.

Má ghearrtar trí líne i suíomh ginearálta triantán ansin trí thrasnú, sásaíonn faid na sé mhír a leanann as teoirim Menelaus .

Féadfar foirmiú Euclid den phostarú comhthreomhar a lua i dtéarmaí trasnaí. Go sonrach, má tá na huillinneacha istigh ar an taobh céanna den trasnaí níos lú ná dhá dronuillinneacha ansin caithfidh na línte trasnú. Go deimhin, úsáideann Euclid an frása céanna i nGréigis a aistrítear de ghnáth mar thrasnaí.

Deir tairiscint Euclid 27 má thrasnaíonn trasnaí dhá líne ionas go mbeidh uillinneacha inmheánacha malartacha comhchuí, ansin tá na línte comhthreomhar. Cruthaíonn Euclid é seo trí chontrárthacht: mura bhfuil na línte comhthreomhar ansin caithfidh siad trasnú agus cruthaítear triantán. Ansin is uillinn sheachtrach é ceann de na huillinneacha malartacha atá cothrom leis an uillinn eile atá ina uillinn taobh istigh eile sa triantán. Tá sé seo ag teacht salach ar an tairiscint 16 a deir go bhfuil uillinn sheachtrach triantáin níos mó i gcónaí ná na huillinneacha taobh istigh eile.

Leathnaíonn tairiscint Euclid 28 an toradh seo ar dhá bhealach. Ar an gcéad dul síos, má thrasnaíonn trasnaí dhá líne ionas go mbeidh uillinneacha comhfhreagracha comhchuí, ansin tá na línte comhthreomhar. Ar an dara dul síos, má thrasnaíonn trasnaí dhá líne ionas go mbeidh uillinneacha taobh istigh ar an taobh céanna den trasnaí forlíontach, ansin tá na línte comhthreomhar. Leanann siad seo ón tairiscint roimhe seo tríd an bhfíric go bhfuil uillinneacha os coinne na línte trasnaithe cothrom agus go bhfuil uillinneacha in aice láimhe ar líne forlíontach. Mar a thug Proclus faoi deara, ní thugann Euclid ach trí cinn de na sé chritéar sin a d'fhéadfadh a bheith ann maidir le línte comhthreomhara.

Tá tairiscint Euclid 29 ina choinbhleacht leis an dá cheann roimhe seo. Ar an gcéad dul síos, má thrasnaíonn trasnaí dhá líne chomhthreomhara, ansin tá na huillinneacha inmheánacha malartacha iomchuí. Mura bhfuil, ansin tá ceann níos mó ná an ceann eile, rud a thugann le tuiscint go bhfuil a fhorlíonadh níos lú ná forlíonadh na huillinne eile. Tugann sé seo le tuiscint go bhfuil uillinneacha taobh istigh ar an taobh céanna den trasnaí atá níos lú ná dhá dronuillinn, ag teacht salach ar an gcúigiú postú. Leanann an tairiscint ar aghaidh ag rá go bhfuil uillinneacha comhfhreagracha comhchuí ar thrasnú dhá líne chomhthreomhara agus go bhfuil na huillinneacha istigh ar an taobh céanna cothrom le dhá dronuillinn. Leanann na ráitis seo ar an mbealach céanna a leanann Prop. 28 ó Prop. 27.

Déanann cruthúnas Euclid úsáid riachtanach as an gcúigiú postulate, áfach, cóireálacha nua -aimseartha a bhaineann le geoiméadracht a úsáid Playfair's Axiom ina ionad. Chun tairiscint a chruthú 29 ag glacadh leis go bhfuil Axiom Playfair, lig do thrasnú dhá líne chomhthreomhara agus is dócha nach bhfuil na huillinneacha inmheánacha malartacha cothrom. Tarraing an tríú líne tríd an bpointe ina dtrasnaíonn an trasnaí an chéad líne, ach le huillinn atá cothrom leis an uillinn a dhéanann an trasnaí leis an dara líne. Táirgeann sé seo dhá líne dhifriúla trí phointe, comhthreomhar le líne eile, ag teacht salach ar an axiom.

I spásanna tríthoiseacha níos airde, tá líne a thrasnaíonn gach ceann de shraith línte i bpointí ar leith ina thrasnú den tsraith línte sin. Murab ionann agus an cás déthoiseach (eitleán), ní ráthaítear go mbeidh trasnaí ann do shraitheanna de níos mó ná dhá líne. I 3-spás Euclidean, is sraith de línte sceabhacha é regulus , mar sin, trí gach pointe ar gach líne R, go dtéann sé thar r agus trí thrí gach pointe ar gach líne R, Gabhann gach pointe de thrasnú R ann líne de R. Is regulus é an tacar trasnaithe de regulus R, ar a dtugtar an regulus eile, r °. Sa spás seo, is féidir trí líne sceabhacha a shíneadh i gcónaí chuig regulus.

• Pointe a fháil
• Veírx

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).