ट्रान्सव्हर्सल व्याख्या

वरील आलेखात दर्शविल्याप्रमाणे ट्रान्सव्हर्सल 8 कोन तयार करते:

• 4 दोन ओळींपैकी प्रत्येकासह, α, β, γ आणि δ आणि नंतर α <उप> 1 , β <उप> 1 , γ 1 आणि δ <सब> 1 < /सब>; आणि

• त्यापैकी 4 अंतर्गत आहेत (दोन ओळी दरम्यान), α, β, γ <उप> 1 आणि δ 1 आणि 4 त्यापैकी बाह्य आहेत, म्हणजे α <सब> 1 , β <उप> 1 , γ आणि δ.

उजव्या कोनात दोन समांतर रेषा कापणार्‍या ट्रान्सव्हर्सलला <स्पॅन> लंब ट्रान्सव्हर्सल म्हणतात. या प्रकरणात, सर्व 8 कोन योग्य कोन आहेत. जेव्हा रेषा समांतर असतात, बहुतेक वेळा विचार केला जातो, ट्रान्सव्हर्सल अनेक एकत्रित आणि अनेक पूरक कोन तयार करते. यापैकी काही कोन जोडींची विशिष्ट नावे आहेत आणि खाली चर्चा केली आहे:

वैकल्पिक कोन

वैकल्पिक कोनांची एक जोडी. समांतर रेषांसह ते एकसंध आहेत.

वैकल्पिक कोन हे कोनातील चार जोड्या आहेत:

• Have distinct vertex points,

• ट्रान्सव्हर्सलच्या उलट बाजूंनी आणि

• दोन्ही कोन आतील आहेत किंवा दोन्ही कोन बाह्य आहेत.

जर एका जोडीचे दोन कोन एकसंध असतील तर इतर प्रत्येक जोडीचे कोन देखील एकसंध आहेत. परिपूर्ण भूमितीचे एक प्रमेय (म्हणूनच <स्पॅन> हायपरबोलिक आणि युक्लिडियन भूमिती दोन्हीमध्ये वैध आहे, हे सिद्ध करते की जर ट्रान्सव्हर्सलच्या वैकल्पिक कोनाच्या जोडीचे कोन एकत्रीत असतील तर दोन ओळी एकत्रीत असतील तर समांतर (नॉन-डायरेक्टिंग) आहेत. हे युक्लिडच्या समांतर पोस्टचे अनुसरण करते की जर दोन ओळी समांतर असतील तर ट्रान्सव्हर्सलच्या वैकल्पिक कोनांच्या जोडीचे कोन एकसंध असतात.

संबंधित कोन

संबंधित कोनांची एक जोडी. समांतर रेषांसह ते एकसंध आहेत.

संबंधित कोन हे कोनातील चार जोड्या आहेत:

• वेगळ्या शिरोबिंदू आहेत,

• ट्रान्सव्हर्सलच्या त्याच बाजूला खोटे बोलणे आणि

• एक कोन आतील आहे आणि दुसरा बाह्य आहे.

कोणत्याही ट्रान्सव्हर्सलच्या संबंधित कोनातील कोणत्याही जोडीचे दोन कोन एकत्रित असल्यास दोन ओळी समांतर आहेत. परिपूर्ण भूमिती चे एक प्रमेय (म्हणूनच हायपरबोलिक आणि युक्लिडियन भूमिती या दोहोंमध्ये वैध), हे सिद्ध करते की जर ट्रान्सव्हर्सलच्या संबंधित कोनातील जोडीचे कोन एकत्रीत असतील तर दोन ओळी समांतर आहेत (नॉन-इंटरन्टिंग) ? हे युक्लिडच्या समांतर पोस्टचे अनुसरण करते की जर दोन ओळी समांतर असतील तर ट्रान्सव्हर्सलच्या संबंधित कोनांच्या जोडीचे कोन एकसंध असतात. जर संबंधित कोनातील एका जोडीचे कोन एकसंध असतील तर इतर प्रत्येक जोडीचे कोन देखील एकसंध आहेत. या पृष्ठावरील समांतर रेषांसह विविध प्रतिमांमध्ये, संबंधित कोन जोड्या आहेत: α = α <सब> 1 , β = β 1 , γ = γ <सब> 1 आणि δ = δ <सब> 1 .

सलग अंतर्गत कोन

सलग कोनांची एक जोडी. समांतर रेषांसह, ते दोन उजव्या कोनात जोडतात.

सलग अंतर्गत कोन हे कोनातील दोन जोड्या आहेत:

• वेगळ्या शिरोबिंदू आहेत,

• ट्रान्सव्हर्सलच्या त्याच बाजूला खोटे बोलणे आणि

• दोन्ही आतील आहेत.

कोणत्याही ट्रान्सव्हर्सलच्या सलग अंतर्गत आतील कोनांच्या कोणत्याही जोडीचे दोन कोन पूरक (बेरीज 180 °) असल्यास दोन ओळी समांतर आहेत. निरपेक्ष भूमितीचे एक प्रमेय (म्हणूनच हायपरबोलिक आणि युक्लिडियन भूमिती दोन्हीमध्ये वैध) हे सिद्ध करते की जर सलग अंतर्गत कोनांच्या जोडीचे कोन पूरक असतील तर दोन ओळी समांतर आहेत (नॉन-इंटरेक्टिंग). हे युक्लिडच्या समांतर पोस्ट्युलेटचे अनुसरण करते की जर दोन ओळी समांतर असतील तर ट्रान्सव्हर्सलच्या सलग अंतर्गत कोनाच्या जोडीचे कोन पूरक असतात. जर सलग अंतर्गत कोनाची जोडी पूरक असेल तर दुसरी जोडी पूरक देखील आहे.

जर सामान्य स्थितीत तीन ओळी त्रिकोण तयार केल्या गेल्या तर ट्रान्सव्हर्सलद्वारे कापल्या गेल्या तर सहा परिणामी विभागांची लांबी मेनेलेसच्या प्रमेय पूर्ण करते.

युक्लिडचे समांतर पोस्ट्युलेट तयार करणे ट्रान्सव्हर्सलच्या संदर्भात सांगितले जाऊ शकते. विशेषतः, जर ट्रान्सव्हर्सलच्या त्याच बाजूला आतील कोन दोन उजव्या कोनांपेक्षा कमी असेल तर रेषा छेदल्या पाहिजेत. खरं तर, युक्लिड ग्रीक भाषेत समान वाक्यांश वापरतो ज्याचे सहसा ट्रान्सव्हर्सल म्हणून भाषांतर केले जाते.

युक्लिडचा प्रस्ताव 27 असे नमूद करतो की जर ट्रान्सव्हर्सल दोन ओळी छेदते जेणेकरून वैकल्पिक आतील कोन एकत्रीत असेल तर रेषा समांतर आहेत. युक्लिड हे विरोधाभासानुसार सिद्ध करते: जर ओळी समांतर नसतील तर त्या छेदल्या पाहिजेत आणि त्रिकोण तयार झाला आहे. मग वैकल्पिक कोनातून एक बाह्य कोन दुसर्‍या कोनाच्या समान आहे जो त्रिकोणातील एक उलट आतील कोन आहे. हे प्रस्ताव 16 विरोधाभास आहे जे असे सांगते की त्रिकोणाचा बाह्य कोन नेहमीच उलट आतील कोनापेक्षा जास्त असतो.

युक्लिडचा प्रस्ताव 28 हा परिणाम दोन मार्गांनी वाढवितो. प्रथम, जर ट्रान्सव्हर्सल दोन ओळी छेदते जेणेकरून संबंधित कोन एकत्रीत असतील तर रेषा समांतर आहेत. दुसरे म्हणजे, जर ट्रान्सव्हर्सल दोन ओळी छेदत असेल जेणेकरून ट्रान्सव्हर्सलच्या त्याच बाजूला आतील कोन पूरक असेल तर रेषा समांतर आहेत. हे मागील प्रस्तावाचे अनुसरण करते की छेदनबिंदूच्या रेषांचे उलट कोन समान आहेत आणि एका ओळीवर जवळचे कोन पूरक आहेत. प्रोक्लसने नमूद केल्याप्रमाणे, युक्लिड समांतर रेषांसाठी अशा संभाव्य सहा निकषांपैकी फक्त तीन देते.

युक्लिडचा प्रस्ताव 29 हा मागील दोनशी संवाद आहे. प्रथम, जर ट्रान्सव्हर्सल दोन समांतर रेषा छेदत असेल तर वैकल्पिक आतील कोन एकसंध असतात. नसल्यास, तर एक दुसर्‍यापेक्षा जास्त आहे, जो त्याचा परिशिष्ट दुसर्‍या कोनाच्या परिशिष्टापेक्षा कमी आहे. याचा अर्थ असा होतो की ट्रान्सव्हर्सलच्या त्याच बाजूला आतील कोन आहेत जे दोन उजव्या कोनांपेक्षा कमी आहेत, पाचव्या पोस्ट्युलेटचा विरोधाभास आहेत. दोन समांतर रेषांच्या ट्रान्सव्हर्सलवर, संबंधित कोन एकसंध असतात आणि त्याच बाजूने आतील कोन दोन उजव्या कोनांच्या बरोबरीचे असतात असे सांगून हा प्रस्ताव कायम आहे. ही विधाने त्याच प्रकारे अनुसरण करतात ज्यायोगे प्रोप. 28 प्रोप. 27 पासून अनुसरण करते.

युक्लिडचा पुरावा पाचव्या पोस्ट्युलेटचा आवश्यक वापर करते, तथापि, भूमिती वापर प्लेफेयरच्या अ‍ॅक्सिओम च्या आधुनिक उपचारांऐवजी. प्लेफेयरच्या अ‍ॅक्सिओमचे गृहीत धरून प्रस्ताव 29 सिद्ध करण्यासाठी, ट्रान्सव्हर्सल दोन समांतर रेषा ओलांडू द्या आणि समजा वैकल्पिक आतील कोन समान नाहीत. ट्रान्सव्हर्सल प्रथम रेषा ओलांडते त्या बिंदूतून तिसरी ओळ काढा, परंतु ट्रान्सव्हर्सलने दुसर्‍या ओळीसह बनवलेल्या कोनाच्या समान कोनासह. हे एका बिंदूतून दोन भिन्न ओळी तयार करते, दोन्ही समांतर दुसर्‍या ओळीच्या समांतर, अक्षाच्या विरोधाभासी.

उच्च आयामी जागांमध्ये, एक ओळ जी प्रत्येक रेषेच्या प्रत्येक संचास वेगळ्या बिंदूंमध्ये छेदते ती त्या ओळींच्या संचाचा ट्रान्सव्हर्सल आहे. द्विमितीय (विमान) प्रकरणात, दोनपेक्षा जास्त ओळींच्या संचासाठी ट्रान्सव्हर्सल्स अस्तित्त्वात असल्याची हमी दिलेली नाही. युक्लिडियन 3-स्पेसमध्ये, ए <स्पॅन> रेग्युलस <स्पॅन> स्क्यू रेषा , आर चा एक संच आहे, जसे की आर च्या प्रत्येक ओळीवर, आर चे ट्रान्सव्हर्सल पार करते आणि त्यातून जाते आर च्या ट्रान्सव्हर्सलच्या प्रत्येक बिंदूला आर ची एक ओळ पास होते. रेग्युलस आरच्या ट्रान्सव्हर्सल्सचा संच देखील एक रेग्युलस आहे, ज्याला उलट रेग्युलस, आर les म्हणतात. या जागेत, तीन परस्पर स्क्यू रेषा नेहमीच रेग्युलसपर्यंत वाढविल्या जाऊ शकतात.

• पॉईंट
• शिरोबिंदू

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).